深圳公明春蕾学校数学全等三角形单元测试卷(含答案解析)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，在平面直角坐标系中，点D（m，m+8）在第二象限，点B（0，n）在y轴正半轴上，作DA⊥x轴，垂足为A，已知OA比OB的值大2，四边形AOBD的面积为12．

（1）求m和n的值．

（2）如图2，C为AO的中点，DC与AB相交于点E，AF⊥BD，垂足为F，求证：AF＝DE．

（3）如图3，点G在射线AD上，且GA＝GB，H为GB延长线上一点，作∠HAN交y轴于点N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．

【答案】（1）

4

2

m

n

=-

⎧

⎨

=

⎩

（2）详见解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【解析】

【分析】

（1）由点D，点B的坐标和四边形AOBD的面积为12，可列方程组，解方程组即可；（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝25，利用SAS可证

△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面积公式即可求证；

（3）取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，证明

△ABH≌△CAN，即可得到结论.

【详解】

解：（1）由题意()()

2

1

812

2

m n

n m m

--=

⎧

⎪

⎨

++-=

⎪⎩

解得

4

2

m

n

=-

⎧

⎨

=

⎩

；

（2）如图2中，

由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），

∴AD

＝OA ＝4，OB ＝2，

∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝25，

∵AC ＝OC ＝2，

∴AC ＝OB ，

∵∠DAC ＝∠AOB ＝90°，AD ＝OA ，

∴△DAC ≌△AOB （SAS ），

∴∠ADC ＝∠BAO ，

∵∠ADC +∠ACD ＝90°，

∴∠EAC +∠ACE ＝90°，

∴∠AEC ＝90°，

∵AF ⊥BD ，DE ⊥AB ，

∴S △ADB ＝12•AB •AE ＝12

•BD •AF ， ∵AB ＝BD ，

∴DE ＝AF ．

（3）解：如图，取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，

∵AG ＝BG ，

∴∠GAB ＝∠GBA ，

∵G 为射线AD 上的一点，

∴AG ∥y 轴，

∴∠GAB ＝∠ABC ，

∴∠ACB ＝∠EBA ，

∴180°﹣∠GBA ＝180°﹣∠ACB ，

即∠ABG ＝∠ACN ，

∵∠GAN ＝∠GBO ，

∴∠AGB ＝∠ANC ，

在△ABG 与△ACN 中，

ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

， ∴△ABH ≌△ACN （AAS ），

∴BF ＝CN ，

∴NB ﹣HB ＝NB ﹣CN ＝BC ＝2OB ，

∵OB＝2

∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），

即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【点睛】

本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使

△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5

Q

（厘米/秒）；（2）点P、Q

在AB边上相遇，即经过了80

3

秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．

【解析】

【分析】

（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得

△BPD≌△CQP；

②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度；

（2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x

秒，即可列出方程15

6220

2

x x，解方程即可得到结果.

【详解】

（1）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，D为AB中点，∴BD＝10（厘米）

又∵PC ＝BC ﹣BP ＝16﹣6＝10（厘米）

∴PC ＝BD

∵AB ＝AC ，

∴∠B ＝∠C ，

在△BPD 与△CQP 中，

BP CQ B C PC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

, ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），

②因为V P ≠V Q ，

所以BP ≠CQ ，

又因为∠B ＝∠C ，

要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ，

故CQ ＝BD ＝10．

所以点P 、Q 的运动时间84663

BP t （秒）， 此时107.54

3Q CQ V t （厘米/秒）．

（2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程

设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得

1562202x x ， 解得x=803

(秒) 此时P 运动了

8061603（厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48，

所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了

803

秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】

此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.

3．(1)如图1：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF =60°．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．

小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ．使DG =BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，

他的结论是 （直接写结论，不需证明）；

(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，