清华大学微积分习题有复习资料版
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第十二周习题课
一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）
Jensen
不等式：设
)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则
1),,,2,1),1,0(],,[1
==∈∀∈∀∑=n
k k k k n k b a x λλΛ，有
2),(1
1≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k n
k k k n k k λλ （2）
广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得
1),,,2,1),1,0(,01
==∈∀>∑=n
k k k k n k x λλΛ，有
∑==≤∏n
k k k k n
k x x k
1
1
λλ
当),2,1(1
n k n
k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3）
Young 不等式：由（2）可得
设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q
y
p x y x q p +≤1
1
。
（4）
Holder 不等式：设11
1,
1,),,,2,1(0,=+>=≥q
p q p n k y x k k Λ，则有 q
n
k q k p
n k p k n k k k y x y x 111
11⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===
在（3）中，令∑∑======n
k q
k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1
1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式：
2
1122
1
121⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n
k k n
k k n k k k y x y x 。
（6）
Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有
()p
n
k p k p
n
k p k p
n
k p k k y x y x 11111
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：
()()()
()
()
∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+n
k p k k k n
k p k k k n
k p k k k k n
k p
k k
y x y y x x y x y x y x
1
1
1
1
1
1
1
记11
1,11=+>-=
q
p p p q ，由Holder 不等式 ()()()q
n
k p q k k p
n
k p k q
n
k p q k k p
n
k p k n
k p k k
y x y y x x y x
11)1(1111)1(1
11
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==
()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 1
1
1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()p
n
k p k p
n
k p k p
n
k p k k
y x y x 111111
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡
+∑∑∑===。
2． 相应的积分不等式
（1） Schwarz 积分不等式：],[,b a R g f ∈，则有
⎰⎰⎰⋅≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛b
a
b a
b a dx x g dx x f dx x g x f 222
)()()()( （2） Holder 积分不等式：],[,b a R g f ∈，11
1,
1,=+>q
p q p ，则有 q
b
a q
p
b
a p b
a
dx x g dx x f dx x g x f 11
)()()()(⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰
证明：n 等分],[b a ，由Holder 不等式,
q
n
k q k p
n
k p k n
k k k g f g f 11111
)()()()(⎪⎭⎫
⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑
===ξξξξ
q
n
k p k p
n
k p k n
k k k n a b g n a b f n a b g f 1111
1
)()()
()(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-∑∑∑
===ξξξξ +∞→n ,Riemann 积分的定义，q
b
a q p
b
a p b
a dx x g dx x f dx x g x f 11
)()()()(⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎰⎰⎰。 （3） Minkowski 积分不等式：],[,b a R g f ∈，1≥p ，则有
p
b
a p
p
b
a p
p
b
a p
dx x g dx x f dx x g x f 111
)()()()(⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰⎰
证明：可以用Holder 不等式证明。
（4） Young 积分不等式：设),0[+∞∈C f 严格单调增，)(,0)0(1
x f
f -=为)(x f 的反函