2008第3章(光纤模式理论10)

e y e x j 0 hz x y
e z j 0 h y x
证明线偏振模式 分解的合理性
je x
hz jh y j e x y
(1) h y hx j e (4) z x y hz jhx j e y (2) (5) x e z je y j 0 hx y (3) (6)
0 1
1
e y (r ) C1 J m (k c r ) r a
其他分量与ey的关系：
e y (r ) C2 K m ac r r a
引入参量
hz
1
e y
j 0 x
r 其中 a
e y (r ) C 1J m (U ) 0 1
hx ey
EHmn
3 HE模式
模式截止条件：
J m 1 U UJ m (U )

K m 1 W WK m (W )
K m0
2 K 0 ln W
W 0
W 0
W=0, U=V
J 0 U K W 0 UJ 1 (U ) WK 1 (W )
2 1 / 2m 1! W
对应的模式是HE11模式。 该模式不截止
m2
J m1 U K W m1 UJ m (U ) WK m (W )

1 2( m 1)
单模光纤传输的模式 为HE11模式
J 'm U
m m J m U J m1 U J m U J m1 U U U
J 1 U 0
J m1 U 0
2.405
J m1 U 0
TE0n和TM0n简并；HE2n与TE0n和TM0n简并 HEm＋2，n和EHm，n简并
0 V 2.405
2.613 n1a 2
各模式的场图
图 1 几个低阶模的电磁场分布 （实线为电力线，虚线为磁力线， 2
HEmn
J m1 U UJ m (U ) K m1 W WK m (W )
J 1 U UJ 0 (U )

K1 W WK 0 (W )


m 1
m2
J m2 U c 0
J 0 (U ) 0
J m (U ) 0
U 0 J 1 (U ) 0
g
) 图中 HE 11模应是圆偏振模，与θ相关部分用 exp( jm表示， sin m cos m 但它可看作两个正交的线偏振模（ ， ）的叠加， 两者具有相同的传播常数。图中采用线偏振的描述。

）
图2 几个低阶模的电磁场分布
•而TE 0 , TM 0 模与θ无关，是径向对称模。
所以
UJ 0 (U ) 0
因为
J1 U 1/ 2 UJ 0 (U ) U 0
所以U不能等于0
得到
J 0 (U ) 0
截止条件下的特征方程 J 0 (U Vc ) 0 归一化截止频率
J 0 U
TE0n TM0n
2.405
5.520
8.654 U
只有归一化频率V大于归一化截止频率时，才能使W>0，此时才能传输
W 0

K m 1 W WK m (W )
K m0
0
2 1 / 2m 1! W
U 0
m
J m 0 U
K m 1 W WK m (W )
1 U m! 2
m
W=0, U=V

截止时对应的特征方程的第二式： 所以有： 因为当U为0时，有
1 C1 J m U e jm 0 1 hx C 2 K W e jm 1 m 2
jm j U sin 0 1 C1 cos a J m ' U jm a J m U e 0 hz jm j W sin C cos K m ' W jm K m W e 1 2 a a 0
又因为截止条件 J
J 0 U 0
因为导波模式存在于W从0当无穷大之间，所以导波模式将存在于
J 0 U 0和J1 U 0
这两个根之间
2.405 3.81 Vc TE01 TE02
2、EHmn模式
J m1 U 0
此模式位于
J m U 0和J m＋1 U 0 根之间
2 W 2 k02 n2


J 0 U 1
1/ 2
a
0
Vc＝U 模式截止时对应的特征方程
J1 U K W 1 UJ 0 (U ) WK 0 (W )
1 U J m 0 U m! 2
U 0
m
1 2 W 2 ln W
三．特征方程 在弱导近似下，e y 和ez 连续，得到
UJ m 1 U WK m 1 W 0 J m U K m W
或者
UJ m 1 U WK m 1 W 0 J m U K m W
四、LPy截止条件
W 0
UJ m 1 U WK m 1 W 0 J m U K m W
j e y ez y
e y (r ) C2 K m W 1
jm j U cos J m U e 0 1 C1 sin J m ' U jm a a e z x, y C j sin W K ' W jm cos K W e jm 1 m m 2 a a
1 ey hx ey 0 x x
j e y ez y
（9）
e y e y n 2 k02 2 e y 0 y y x x


（10） 可见分量满足波动方程
2 2 0 n 2 k 0
所以可以分为一组模式（0,ey,ez,hx,hy,hz)
Ht
0
ez Et
此时可以证明场分成两种偏振状态，x偏振和y偏振 X偏振：(0,ey,ez,hx，0,hz) ；Y偏振：(ex,0,ez,0,hy,hz) 这种模式称为线偏振模（Linear-polarization mode -LP）
t et j 0 hz t z jz et j 0 ht e t ht j e z t hz jz ht j et
同理，如果设 e y 0 就可以得到一组 (ex,0,ez,hx,hy,hz)模式 模式（0,ey,ez,hx,hy,hz)和(ex,0,ez,hx,hy,hz)分别用
LP 和LP 表示
考虑到光纤是弱导结构，所以光场二阶以上 的变化率可以忽略不计，此时两个模式就表 示成 (0,ey,ez,hx，0,hz) 和(ex,0,ez,0,hy,hz)
U 0
m
讨论截止特征方程
m 1
J 0 U UJ 1 (U ) U 0
W 0
J 0 U 1
1 U J m 0 U m! 2
U 0 m

所以有：UJ1 (U ) 0
此时有两个根
U 0和J1 (U ) 0
故U 0成立
即，截止频率VC 0
J m 1 U J m 2 U 1 UJ m (U ) 2m 1J m (U ) 2( m 1)
J m 2 U 0
TE和TM
J 0 (U ) 0
弱导 近似 在截 止条 件下 的特 征方 程
EH
J m (U ) 0
U 0和J1 (U ) 0
（实线为电力线，虚线为磁力线， g 2 ）
•其它高阶模则是电场和磁场的复杂混合分布。
图3 几个低阶模的电磁场分布
（实线为电力线，虚线为磁力线， g 2 ）
5.3
在弱导条件下，
标量法求解光纤
n1 n2 1 n1
可以证明所有模式的纵向分量比横向分量小得多，也 就是说弱导光纤中横向电磁场占主要地位。 这种形态的波成为准TEM模式，在准TEM中纵向分量 很小但是存在，横电场和横磁场垂直而且与传输方向 垂直。
V Vc
2

a n n
2 1

2 1/ 2 2


2
C
a n n
2 1

2 1/ 2 2

例：直径为8微米，芯区折射率为1.45，相对折射率差0.005， 输入波长为1.55微米，那么能否传输TE02阶模式？ V=2.35
2、 EH模式
J m 1 U UJ m (U )
模式截止条件：
hz jh y y
从而得到：
将（9）、（10）代入（6）得到 （7） （8） 整理得到：
2
hz
1
1
e y
j 0 x
2 ey hy 0 y x
2 0 1 e y 1 e y e y ey y y x x
3、HEmn模式
J m1 U 0
HE11在0到2.405之间取值， 而HEmn在 J m2 U 0和J m1 U 0 之间取值。
两个根
TE0n
弱导条件 特征方程 截特征 止方程 远离截 止方程 简并关 系 单模条 件
TM0n
EHmn
J m1 U UJ m (U ) K m1 W WK m (W )
UJ m (U ) 0
J m1 1 UJ m 2m 1
U 0orJ m (U ) 0
所以U不能为0
所以有
J m (U ) 0
截止特征方程
J m (U ) 0
J
J1 EH11 EH12 7.01559 10.17347 13.32369
3.83171
Vc
EH1n
m 1,2,3... n 1,2,3...
WK m 1 W K m W
J m x 1 J m x
HE
J m2 U 0
光纤的基模是HE11模式
六、远离截止状态
远离截止状态 1、TE和TM模式
V , W
K1 W WK 0 (W ) J 1 U UJ 0 (U ) 0
J 1 U 0 UJ 0 U
Km
W
1 2W
e W
即
J 1 U 0
五、导波模的截止参数和单模传输特性
1、TE和TM模式
K1 W WK 0 (W ) J 1 U UJ 0 (U ) 0
K m0
2 K 0 ln W
W 0
W 0
2 1 / 2m 1! W
U 0
m
某个模式在什么情况下截止了呢？
y
x
二 标量模式的场分布
e y x, y e y r , e y r e jm
X e y (r ) 1 e y (r ) m 2 X X X 1 X 2 e y (r ) 0
e y ( x, y ) C 1J m (U )e jm e y ( x, y ) C 2 K m (W )e jm
试将光场模式分成两组偏振模式；一组(0,ey,ez,hx,hy,hz)模式，另一组为 (ex,0,ez,hx,hy,hz)模式。
如果这样分解合理，那么分完后的分量将依然满足波动方程。
设：
ex ຫໍສະໝຸດ Baidu 0
e y x j 0 hz
（1）、（2）和（3）变成

e z j 0 h y x