2020中考数学专题—存在性问题之特殊三角形

8．（2014•娄底）如图甲，在 ABC 中， ACB 90 ， AC 4cm ， BC 3cm ．如果点 P 由点 B 出 发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均 为1cm / s ．连接 PQ ，设运动时间为 t(s)(0 t 4) ，解答下列问题：
2
2
8
tan EAB 1 ． 2
M AB 90 ． tan M AE 2 ． M E 2AE 11 ， M (5 ，11) ． 2
同理： tan MBF 2 ．又 BF 5 ， FM 5 ， M (5 ， 9) ．
2
2
点 M 的坐标为 ( 5 ，11) 或 ( 5 ， 9) ．
例 1.解:(1)∵直线 y=3x+3, ∴当 x=0 时,y=3,当 y=0 时,x=-1, ∴点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(0,3). (2)设抛物线对应的函数表达式为 y=ax2+bx+c,
参考答案
由题意,得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3.
（3）∵抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3,配方,得 y=-(x-1)2+4,
2.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=7 cm,BC=4 cm,∠A=30°.点 P 从点 A 出发沿着 AB 边向点 B 运动, 速度为 1 cm/s.连结 PD,若设运动时间为 t(s),则当 t= s 时, △ADP 为等腰三角形.
3．（2019•泰安）已知一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y m 的图象交于点 A ，与 x 轴交于 x
=,
由勾股定理,得
= ,解得 a=± ,
此时点 Q 的坐标是(1, )或(1,- ).
综上所述,存在符合条件的点 Q,点 Q 的坐标为(1,1)或(1,0)或(1, )或(1,- ).
例 2.解:(1)把(1,-4)的坐标代入 y=kx-6,得 k=2, ∴直线 AB 对应的函数表达式为 y=2x-6. 令 y=0,解得 x=3,∴点 B 的坐标是(3,0). ∵点 A 为抛物线的顶点, ∴设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-1)2-4, 把 B(3,0)的坐标代入,得 4a-4=0,解得 a=1,
(2)当 AP=AD 时,如图②,t=4.
(3)当 AD=DP 时,如图③,作 DF⊥AB 于 F.
在 Rt△ADF 中,AD=4,∠A=30°.∴AF= 3 AD=2 3 = 1 AP= 1 t,∴t=4 3 .
2
22
综上所述:t 的值为 4
3
或4或4
3.
3
①
②
③
3.解：（1）如图 1，过点 A 作 AD x 轴于 D ，
C(0, 4) ， B(5, 4) ， BC 5 ． BD BC ．
在 ABC 和 ABD 中， AD AC ， AB AB ， BD BC ，
ABC ABD ，CAB BAD ， AB 平分 CAO ；
（3）如图所示：抛物线的对称轴交 x 轴与点 E ，交 BC 与点 F ．
抛 物 线 的 对 称 轴 为 x 5 ， 则 AE 11 ． A(3, 0) ， B(5, 4) ，
（1）设 APQ 的面积为 S ，当 t 为何值时， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？ （2）如图乙，连接 PC ，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC ，当四边形 PQPC 为菱形时，
求 t 的值； （3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？
5
2020 中考专题 17——存在性问题之特殊三角形
(1)求点 A,B 的坐标.
(2)求抛物线对应的函数表达式.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ABQ 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点 Q 的坐标;
若不存在,请说明理由.
例 2.如图,已知直线 y=kx-6 与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A,B 两点,且点 A(1,-4)为抛物线的顶点, 点 B 在 x 轴上. (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点 P,使△POB 与△POC 全等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若点 Q 是 y 轴上一点,且△ABQ 为直角三角形,求点 Q 的坐标.
将点
A(9,
3)
，
B(5,
0)
代入直线
y
kx
b
中，
9k 5k
b b
3 0
，
k b
3 4 15
4
， 直线
AB
的解析式为
y
3 4
x
15 4
；
（2）由（1）知， AB 5 ， ABP 是等腰三角形， ①当 AB PB 时， PB 5 ， P(0, 0) 或 (10, 0) ， ②当 AB AP 时，如图 2，由（1）知， BD 4 ， 易 知 ， 点 P 与 点 B 关 于 AD 对 称 ， DP BD 4 ， OP 5 4 4 13 ， P(13, 0) ，
③当 PB AP 时，设 P(a, 0) ， A(9,3) ， B(5, 0) ， AP2 (9 a)2 9 ， BP2 (5 a)2 ，
(9 a)2 9 (5 a)2 ，a 65 ， P(65 ， 0) ，
8
8
即：满足条件的点 P 的坐标为 (0,0) 或 (10, 0) 或 (13, 0) 或 (65 ， 0) ． 8
7
B(5, 0) ，OB
5
， SOAB
15 2
，
1 2
5
AD
15 2
，
AD
3
，
OB AB ， AB 5 ，在 RtADB 中， BD AB2 AD2 4 ， OD OB BD 9 ，
A(9,3) ，将点 A 坐标代入反比例函数 y m 中得， m 9 3 27 ， x
反比例函数的解析式为 y 27 ， x
则△BOQ3∽△Q3EA,∴ = ,即 = , ∴O -4OQ3+3=0,∴OQ3=1 或 3,即点 Q3 的坐标为(0,-1)或(0,-3).
综上,点 Q 的坐标为
或 或(0,-1)或(0,-3).
【巩固训练】参考答案
1.D 2.(1)当 AP=DP 时,如图①,作 PE⊥AD 于 E,
在 Rt△AEP 中,AE=2,∠A=30°,AP=t.∴t= 4 3 . 3
2
2
5.解：（1）抛物线与 x 轴交于点 B(2, 0) ， C(6, 0) ，设交点式 y a(x 2)(x 6)
接 AB ， AC ， BC ． （1）求抛物线的表达式； （2）求证： AB 平分 CAO ； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M ，使得 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，若存在，求 出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
5．（2019•随州）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交 于点 A(0, 6) ，与 x 轴交于点 B(2, 0) ， C(6, 0) ． （1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴； （2）如图 2，连接 AB ，AC ，设点 P(m, n) 是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧， 过点 P 作 PD AC 于点 E ，交 x 轴于点 D ，过点 P 作 PG / / AB 交 AC 于点 F ，交 x 轴于点 G ．设 线段 DG 的长为 d ，求 d 与 m 的函数关系式，并注明 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若 PDG 的面积为 49 ，
点
B(5, 0)
，若 OB
AB
，且
SOAB
15 2
．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点 P 为 x 轴上一点， ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标．
4．（2018•兰州）如图，抛物线 y ax2 bx 4 经过 A(3, 0) ， B(5, 4) 两点，与 y 轴交于点 C ，连
2020 中考专题 17——存在性问题之特殊三角形
班级
姓名
.
【方法解读】
特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三
角形等特殊三角形.解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论,避免漏解.
【例题分析】
例 1.如图,直线 y=3x+3 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C(3,0).
2
2
∴点 P 的坐标为（ 1- 13 ， 13 -1 ）.
2
2
(3)如图,①当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
5
7
∴ = ,即 = ,∴DQ1= ,∴OQ1= ,即点 Q1 的坐标为
;
2
2
②当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴ = ,即 = ,∴OQ2= ,即点 Q2 的坐标为 ; ③当∠AQ3B=90°时,过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E,
6
∴抛物线对应的函数表达式为 y=(x-1)2-4=x2-2x-3. (2)存在.∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC 时,△POB≌△POC, 此时 OP 是第二象限的角平分线,即直线 PO 对应的函数表达式为 y=-x. 设 P(m,-m),则-m=m2-2m-3,
解得 m= 1- 13 （m= 1- 13 >0 不在第二象限,舍去）,
4
7．（2019•长沙一模）如图，已知直线 y kx 6 与抛物线 y ax2 bx c 相交于 A ， B 两点，且点 A(1, 4) 为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P ，使 POB 与 POC 全等？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 Q 是 y 轴上一点，且 ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标．
4.
解：（1）将
A(3,
0)
，
B(5,
4)
代入得：
9a 3b 4 0
25a
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5b
4
4
，
解得： a 1 ， b 5 ．
6
6
抛物线的解析式为 y 1 x2 5 x 4 ． 66
（2） AO 3 ， OC 4 ， AC 5 ．取 D(2, 0) ，则 AD AC 5 ．
由两点间的距离公式可知 BD (5 2)2 (4 0)2 5 ．
∴抛物线的对称轴为直线 x=1,设 Q(1,a).
①当 AQ=BQ 时,如图①,
设抛物线的对称轴交 x 轴于点 D,过点 B 作 BF⊥DQ 于点 F.
由勾股定理,得 BQ=
=
,AQ=
=
,
得
=
,解得 a=1,∴点 Q 的坐标为(1,1).
②当 AB=BQ 时,如图②,由勾股定理,得 解得 a=0 或 a=6. 当点 Q 的坐标为(1,6)时, 其在直线 AB 上,A,B,Q 三点共线,舍去, ∴点 Q 的坐标是(1,0). ③当 AQ=AB 时,如图③,
12 ①求点 P 的坐标； ②设 M 为直线 AP 上一动点，连接 OM 交直线 AC 于点 S ，则点 M 在运动过程中，在抛物线上是否 存在点 R ，使得 ARS 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 及其对应的点 R 的坐标；若 不存在，请说明理由．
3
6．（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上， AB 、 BC 的长分别 是一元二次方程 x2 7x 12 0 的两个根 (BC AB) ， OA 2OB ，边 CD 交 y 轴于点 E ，动点 P 以 每秒 1 个单位长度的速度，从点 E 出发沿折线段 ED DA 向点 A 运动，运动的时间为 t(0 t 6) 秒， 设 BOP 与矩形 AOED 重叠部分的面积为 S ． （1）求点 D 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由．
1
【巩固训练】
1．（2019•宜宾）已知抛物线 y x2 1 与 y 轴交于点 A ，与直线 y kx(k 为任意实数）相交于 B ，C
两点，则下列结论不正确的是 ( ) A．存在实数 k ，使得 ABC 为等腰三角形 B．存在实数 k ，使得 ABC 的内角中有两角分别为 30 和 60 C．任意实数 k ，使得 ABC 都为直角三角形 D．存在实数 k ，使得 ABC 为等边三角形