2020中考数学专题—存在性问题之特殊三角形

例 1.解:(1)∵直线 y=3x+3, ∴当 x=0 时,y=3,当 y=0 时,x=-1, ∴点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(0,3). (2)设抛物线对应的函数表达式为 y=ax2+bx+c,
参考答案
由题意,得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3.
（3）∵抛物线对应的函数表达式为 y=-x2+2x+3,配方,得 y=-(x-1)2+4,
(2)当 AP=AD 时,如图②,t=4.
(3)当 AD=DP 时,如图③,作 DF⊥AB 于 F.
在 Rt△ADF 中,AD=4,∠A=30°.∴AF= 3 AD=2 3 = 1 AP= 1 t,∴t=4 3 .
2
22
综上所述:t 的值为 4
3
或4或4
3.
3
①
②
③
3.解：（1）如图 1，过点 A 作 AD x 轴于 D ，
2
2
8
tan EAB 1 ． 2
M AB 90 ． tan M AE 2 ． M E 2AE 11 ， M (5 ，11) ． 2
同理： tan MBF 2 ．又 BF 5 ， FM 5 ， M (5 ， 9) ．
2
2
点 M 的坐标为 ( 5 ，11) 或 ( 5 ， 9) ．
12 ①求点 P 的坐标； ②设 M 为直线 AP 上一动点，连接 OM 交直线 AC 于点 S ，则点 M 在运动过程中，在抛物线上是否 存在点 R ，使得 ARS 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 及其对应的点 R 的坐标；若 不存在，请说明理由．
3
6．（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上， AB 、 BC 的长分别 是一元二次方程 x2 7x 12 0 的两个根 (BC AB) ， OA 2OB ，边 CD 交 y 轴于点 E ，动点 P 以 每秒 1 个单位长度的速度，从点 E 出发沿折线段 ED DA 向点 A 运动，运动的时间为 t(0 t 6) 秒， 设 BOP 与矩形 AOED 重叠部分的面积为 S ． （1）求点 D 的坐标； （2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P ，使 BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐 标；若不存在，请说明理由．
4
7．（2019•长沙一模）如图，已知直线 y kx 6 与抛物线 y ax2 bx c 相交于 A ， B 两点，且点 A(1, 4) 为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P ，使 POB 与 POC 全等？若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 Q 是 y 轴上一点，且 ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标．
2
2
∴点 P 的坐标为（ 1- 13 ， 13 -1 ）.
2
2
(3)如图,①当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
5
7
∴ = ,即 = ,∴DQ1= ,∴OQ1= ,即点 Q1 的坐标为
;
2
2
②当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴ = ,即 = ,∴OQ2= ,即点 Q2 的坐标为 ; ③当∠AQ3B=90°时,过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E,
（1）设 APQ 的面积为 S ，当 t 为何值时， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？ （2）如图乙，连接 PC ，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC ，当四边形 PQPC 为菱形时，
求 t 的值； （3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？
5
2020 中考专题 17——存在性问题之特殊三角形
8．（2014•娄底）如图甲，在 ABC 中， ACB 90 ， AC 4cm ， BC 3cm ．如果点 P 由点 B 出 发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均 为1cm / s ．连接 PQ ，设运动时间为 t(s)(0 t 4) ，解答下列问题：
4.
解：（1）将
A(3,
0)
，
B(5,
4)
代入得：
9a 3b 4 0
25a
5b
4
4
，
解得： a 1 ， b 5 ．
6
6
抛物线的解析式为 y 1 x2 5 x 4 ． 66
（2） AO 3 ， OC 4 ， AC 5 ．取 D(2, 0) ，则 AD AC 5 ．
由两点间的距离公式可知 BD (5 2)2 (4 0)2 5 ．
6
∴抛物线对应的函数表达式为 y=(x-1)2-4=x2-2x-3. (2)存在.∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC 时,△POB≌△POC, 此时 OP 是第二象限的角平分线,即直线 PO 对应的函数表达式为 y=-x. 设 P(m,-m),则-m=m2-2m-3,
解得 m= 1- 13 （m= 1- 13 >0 不在第二象限,舍去）,
点
B(5, 0)
，若 OB
AB
，且
SOAB
15 2
．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点 P 为 x 轴上一点， ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标．
4．（2018•兰州）如图，抛物线 y ax2 bx 4 经过 A(3, 0) ， B(5, 4) 两点，与 y 轴交于点 C ，连
∴抛物线的对称轴为直线 x=1,设 Q(1,a).
①当 AQ=BQ 时,如图①,
设抛物线的对称轴交 x 轴于点 D,过点 B 作 BF⊥DQ 于点 F.
由勾股定理,得 BQ=
=
,AQ=
=
,
得
=
,解得 a=1,∴点 Q 的坐标为(1,1).
②当 AB=BQ 时,如图②,由勾股定理,得 解得 a=0 或 a=6. 当点 Q 的坐标为(1,6)时, 其在直线 AB 上,A,B,Q 三点共线,舍去, ∴点 Q 的坐标是(1,0). ③当 AQ=AB 时,如图③,
=,
由勾股定理,得
= ,解得 a=± ,
此时点 Q 的坐标是(1, )或(1,- ).
综上所述,存在符合条件的点 Q,点 Q 的坐标为(1,1)或(1,0)或(1, )或(1,- ).
例 2.解:(1)把(1,-4)的坐标代入 y=kx-6,得 k=2, ∴直线 AB 对应的函数表达式为 y=2x-6. 令 y=0,解得 x=3,∴点 B 的坐标是(3,0). ∵点 A 为抛物线的顶点, ∴设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-1)2-4, 把 B(3,0)的坐标代入,得 4a-4=0,解得 a=1,
③当 PB AP 时，设 P(a, 0) ， A(9,3) ， B(5, 0) ， AP2 (9 a)2 9 ， BP2 (5 a)2 ，
(9 a)2 9 (5 a)2 ，a 65 ， P(65 ， 0) ，
8
8
即：满足条件的点 P 的坐标为 (0,0) 或 (10, 0) 或 (13, 0) 或 (65 ， 0) ． 8
1
【巩固训练】
1．（2019•宜宾）已知抛物线 y x2 1 与 y 轴交于点 A ，与直线 y kx(k 为任意实数）相交于 B ，C
两点，则下列结论不正确的是 ( ) A．存在实数 k ，使得 ABC 为等腰三角形 B．存在实数 k ，使得 ABC 的内角中有两角分别为 30 和 60 C．任意实数 k ，使得 ABC 都为直角三角形 D．存在实数 k ，使得 ABC 为等边三角形
接 AB ， AC ， BC ． （1）求抛物线的表达式； （2）求证： AB 平分 CAO ； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M ，使得 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，若存在，求 出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
2
5．（2019•随州）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交 于点 A(0, 6) ，与 x 轴交于点 B(2, 0) ， C(6, 0) ． （1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴； （2）如图 2，连接 AB ，AC ，设点 P(m, n) 是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧， 过点 P 作 PD AC 于点 E ，交 x 轴于点 D ，过点 P 作 PG / / AB 交 AC 于点 F ，交 x 轴于点 G ．设 线段 DG 的长为 d ，求 d 与 m 的函数关系式，并注明 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若 PDG 的面积为 49 ，
2
2
5.解：（1）抛物线与 x 轴交于点 B(2, 0) ， C(6, 0) ，设交点式 y a(x 2)(x 6)
7
B(5, 0) ，OB
5
， SOAB
15 2
，
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
5
AD
15 2
，
AD
3
，
OB AB ， AB 5 ，在 RtADB 中， BD AB2 AD2 4 ， OD OB BD 9 ，
A(9,3) ，将点 A 坐标代入反比例函数 y m 中得， m 9 3 27 ， x
反比例函数的解析式为 y 27 ， x
C(0, 4) ， B(5, 4) ， BC 5 ． BD BC ．
在 ABC 和 ABD 中， AD AC ， AB AB ， BD BC ，
ABC ABD ，CAB BAD ， AB 平分 CAO ；
（3）如图所示：抛物线的对称轴交 x 轴与点 E ，交 BC 与点 F ．