浙江省高考文科数学试题及答案
2003年浙江高考文科数学真题及答案
2003年浙江高考文科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x2．（5分）已知x∈（，0），cos x，则tan2x等于（ ）A．B．C．D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）A．B．C．8 D．﹣84．（5分）等差数列{a n}中，已知a1，a2+a5＝4，a n＝33，则n为（ ）A．48 B．49 C．50 D．515．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）A．lg2 B．lg32 C．D．8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B．C．D．π9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）A．2πR2B．C．D．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ）A．B．C．D．112．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A．3πB．4πC．3D．6π二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式的解集是 ．14．（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 ．”16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝3n﹣1+a n﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．20．（12分）已知函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．2003年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为（ ）A．B．C．y＝﹣2x D．y＝2x 【解答】解：∵直线y＝f（x）关于x对称的直线方程为y＝﹣f（x），∴直线y＝2x关于x对称的直线方程为：y＝﹣2x．故选：C．2．（5分）已知x∈（，0），cos x，则tan2x等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵cos x，x∈（，0），∴sin x．∴tan x．∴tan2x．故选：D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）A．B．C．8 D．﹣8 【解答】解：抛物线y＝ax2的标准方程是x2y，则其准线方程为y2，所以a．故选：B．4．（5分）等差数列{a n}中，已知a1，a2+a5＝4，a n＝33，则n为（ ）A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：设{a n}的公差为d，∵，a2+a5＝4，∴d4d＝4，即5d＝4，解得d．∴an（n﹣1），令a n＝33，即33，解得n＝50．故选：C．5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：根据双曲线对称性可知∠OMF2＝60°，∴tan∠OMF2，即c b，∴a b，∴e．故选：B．6．（5分）设函数若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：当x0≤0时，，则x0＜﹣1，当x0＞0时，则x0＞1，故x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：D．7．（5分）已知f（x5）＝lgx，则f（2）＝（ ）A．lg2 B．lg32 C．D．【解答】解：令x5＝2，∴得x，∵f（x5）＝lgx，∴f（2）＝lg lg2．故选：D．8．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（ ）A．0 B．C．D．π【解答】解：当φ＝0时，y＝sin（x+φ）＝sin x为奇函数不满足题意，排除A；当φ时，y＝sin（x+φ）＝sin（x）为非奇非偶函数，排除B；当φ时，y＝sin（x+φ）＝cos x，为偶函数，满足条件．当φ＝π时，y＝sin（x+φ）＝﹣sin x，为奇函数，故选：C．9．（5分）已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3＝0的距离为1，则a＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：由点到直线的距离公式得：，∵a＞0，∴a．故选：C．10．（5分）已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ）A．2πR2B．C．D．【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为h，则，解得，所以圆柱的全面积为：s＝2．故选：B．11．（5分）已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB 上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ＝（ ）A．B．C．D．1【解答】解：由于若P4与P0重合，故P2、P3也都是所在边的中点，因为ABCD是长方形，根据对称性可知P0P1的斜率是，则tgθ．故选：C．12．（5分）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A．3πB．4πC．3D．6π【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径．则球的半径R，∴球的表面积为3π，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）不等式的解集是 （2，4] ．【解答】解：∵x0，∴x＞0，∵不等式，两边平方得，4x﹣x2＜x2，∴2x2﹣4x＞0，解得，x＞2，x＜0（舍去），∵4x﹣x2≥0，∴0≤x≤4，∴综上得：不等式的解集为：（2，4]，故答案为（2，4]．14．（4分）在的展开式中，x3的系数是 （用数字作答）【解答】解：根据题意，对于，有T r+1＝C99﹣r•x9﹣r•（）r＝（）r•C99﹣r•x9﹣2r，令9﹣2r＝3，可得r＝3，当r＝3时，有T4x3，故答案．15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则 S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2 ．”【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．故答案为：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种．（以数字作答）【解答】解：由题意，选用3种颜色时：涂色方法C43•A33＝24种4色全用时涂色方法：C21•A44＝48种所以不同的着色方法共有72种．故答案为：72三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．【解答】解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有V E﹣DBD1＝V D1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA1＝2，AB＝1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．18．（12分）已知复数z的辐角为60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中项．求|z|．【解答】解：设z＝（r cos60°+r sin60°i），则复数z的实部为．由题设|z﹣1|2＝|z|•|z﹣2|，即：（z﹣1）（1）＝|z|∴r2﹣r+1＝r，整理得r2+2r﹣1＝0．解得r1，r1（舍去）．即|z|1．19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝3n﹣1+a n﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，∴a2＝3+1＝4，∴a3＝32+4＝13；（Ⅱ）证明：由已知a n﹣a n﹣1＝3n﹣1，n≥2故a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1．n≥2当n＝1时，也满足上式．所以．20．（12分）已知函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间上的图象．【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sin x cos x＝1﹣cos2x+sin2x所以函数的最小正周期为π，最大值为；（2）由（1）列表得：xy 11111故函数y＝f（x）在区间上的图象是：21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）＝10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．22．（14分）已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．【解答】解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．按题意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）设k（0≤k≤1），由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）．直线OF的方程为：2ax+（2k﹣1）y＝0，①直线GE的方程为：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a＝0．②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程2a2x2+y2﹣2ay＝0，整理得．当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值；当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a．。
2024年浙江高考数学真题及答案
2024年浙江高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.（）A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为427，求AD ．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A.{1,0}- B.{2,3} C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2.若1i 1zz =+-，则z =（）A.1i --B.1i-+ C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A.3m -B.3m -C.3m D.3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r =即=，故3r =，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.故选：B.7.当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.3B.4C.6D.8【答案】C 【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8.已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >>D.(2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC．10.设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时，()2()f x f x<C.当12x <<时，4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC 的面积为3c ．【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得22222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而2sin 2C ==，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由（1）可得π3B =，2cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而623136,4222a cbc +====，由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ，由已知ABC 的面积为3+，可得23338c =，所以c =16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ==.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则5352d ==，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，5=，解得6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，设()00,B x y，则220012551129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π1255=，联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443k x k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP 的距离1255d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --的正弦值为7，求AD ．【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而//AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即42sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，42DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故242tan 4DFE x∠==x =AD =．18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19.设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.31/31而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(浙江卷)
2021年普通高等学校招生全国统一考试浙江文科数学选择题局部(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1.(2021浙江,文1)集合P ={x|x 2 -2x ≥3},Q ={x|2<x<4},那么P ∩Q =( ) A .[3,4) B .(2,3] C .( -1,2) D .( -1,3] 答案:A解析:因为P ={x|x ≤ -1或x ≥3},所以P ∩Q ={x|3≤x<4},应选A .2.(2021浙江,文2)某几何体的三视图如下图(单位:cm),那么该几何体的体积是( )A .8 cm 3B .12 cm 3C .323 cm 3 D .403cm 3 答案:C解析:由三视图知,该几何体是由一个正四棱锥和一个正方体组成.其中正四棱锥的底面边长为2 cm,高为2 cm,所以正四棱锥的体积V 1 =13×22×2 =83(cm 3);因为正方体的棱长为2 cm,所以其体积V 2 =8 cm 3.故该几何体的体积为83+8 =323(cm 3).3.(2021浙江,文3)设a ,b 是实数,那么 "a +b>0〞是 "ab>0〞的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 答案:D解析:当a = -2,b =3时,a +b>0,但ab<0;当a = -1,b = -2时,ab>0,但a +b<0.所以 "a +b>0〞是 "ab>0〞的既不充分也不必要条件.4.(2021浙江,文4)设α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,且l ⊂α,m ⊂β.( ) A .假设l ⊥β,那么α⊥β B .假设α⊥β,那么l ⊥m C .假设l ∥β,那么α∥β D .假设α∥β,那么l ∥m 答案:A解析:假设l ⊥β,又l ⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β,应选项A 正确;选项B,l ⊥m 或l ∥m 或l 与m 相交或异面都有可能;选项C,α∥β或α与β相交都有可能;选项D,l ∥m 或l 与m 异面都有可能. 5.(2021浙江,文5)函数f (x ) =(x −1x)cos x ( -π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案:D解析:因为f( -x) =(−x+1x )cos( -x) = -(x−1x)cos x = -f(x),所以f(x)为奇函数.排除A,B;又f(π) =(π−1π)cos π = -π +1π<0,排除C.应选D.6.(2021浙江,文6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最|低的总费用(单位:元)是()A.ax +by +czB.az +by +cxC.ay +bz +cxD.ay +bx +cz答案:B解析:不妨设x =1,y =2,z =3,a =4,b =5,c =6,选项A,ax +by +cz =4 +10 +18 =32;选项B,az +by +cx =12 +10 +6 =28;选项C,ay +bz +cx =8 +15 +6 =29;选项D,ay +bx +cz =8 +5 +18 =31,应选B.7.(2021浙江,文7)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB =30°,那么点P的轨迹是()A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案:C解析:因为AB为定线段,∠PAB =30°,所以在空间中直线AP是以AB为轴的圆锥面的母线所在的直线,又因为点P在平面α内,所以点P的轨迹可以看成平面α与圆锥面的交线.因为AB与平面α所成的角为60°,所以平面α与圆锥的轴斜交.由平面与圆锥面的截面性质,可得点P的轨迹为椭圆.8.(2021浙江,文8)设实数a,b,t满足|a +1| =|sin b| =t.()A.假设t确定,那么b2唯一确定B.假设t确定,那么a2 +2a唯一确定C.假设t确定,那么sin b2唯一确定D.假设t确定,那么a2 +a唯一确定答案:B解析:当t =0时,sin b =0,b =kπ,k∈Z,所以b2不确定,故A错;sin b2 =sin kπ2=0或1或 -1,故C错;当t =2时,|a +1| =2,解得a =1或a = -3,所以a2 +a =2或a2 +a =6,故D错;因为|a +1| =t,所以a2 +2a =t2 -1;当t确定时,t2 -1唯一确定,即a2 +2a唯一确定,故B正确.非选择题局部(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9.(2021浙江,文9)计算:log2√22=,2log23+log43 =.答案: -123√3解析:log 2√22=log 22−12 = -12;2log 23+log 43=2log 23·2log 43 =3×2log 2√3 =3√3.10.(2021浙江,文10){a n }是等差数列,公差d 不为零.假设a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1 +a 2 =1,那么a 1 = ,d = .答案:23-1解析:由题意得{a 32=a 2·a 7,2a 1+a 2=1,即{(a 1+2d)2=(a 1+d)·(a 1+6d),2a 1+a 1+d =1,解得{a 1=23,d =−1.11.(2021浙江,文11)函数f (x ) =sin 2x +sin x cos x +1的最|小正周期是 ,最|小值是 . 答案:π3−√22解析:f (x ) =1−cos2x 2+12sin 2x +1 =√22sin (2x−π4)+32,所以函数f (x )的最|小正周期T =2π2=π,最|小值为3−√22. 12.(2021浙江,文12)函数f (x ) ={x 2,x ≤1,x +6x−6,x >1,那么f (f ( -2)) = ,f (x )的最|小值是 . 答案: -122√6 -6解析:f ( -2) =( -2)2 =4,f (f ( -2)) =f (4) =4 +64-6 = -12;当x ≤1时,f (x )min =0;当x>1时,f (x ) =x +6x-6≥2√6 -6,当且仅当x =6x,即x =√6时,f (x )取最|小值2√6 -6; 因为2√6 -6<0,所以f (x )的最|小值为2√6 -6.13.(2021浙江,文13)e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2 =12.假设平面向量b 满足b ·e 1 =b ·e 2 =1,那么|b | = . 答案:2√33解析:因为b ·e 1 =b ·e 2 =1,|e 1| =|e 2| =1,由数量积的几何意义,知b 在e 1,e 2方向上的投影相等,且都为1,所以b 与e 1,e 2所成的角相等.由e 1·e 2 =12知e 1与e 2的夹角为60°,所以b 与e 1,e 2所成的角均为30°,即|b |cos 30° =1,所以|b | =1cos30°=2√33. 14.(2021浙江,文14)实数x ,y 满足x 2 +y 2≤1,那么|2x +y -4| +|6 -x -3y|的最|大值是 . 答案:15解析:画出直线2x +y -4 =0和x +3y -6 =0以及圆x 2 +y 2 =1,如图.由于整个圆在两条直线的左下方,所以当x 2 +y 2≤1时,有{2x +y −4<0,x +3y −6<0,所以|2x +y -4| +|6 -x -3y| = -2x -y +4 +6 -x -3y = -3x -4y +10.令t = -3x -4y +10,那么3x +4y +t -10 =0,所以x 2 +y 2≤1与直线3x +4y +t -10 =0有公共点,所以圆心(0,0)到直线的距离d =|t−10|5≤1,解得5≤t ≤15.所以t 的最|大值为15,即|2x +y -4| +|6 -x -3y|的最|大值为15.15.(2021浙江,文15)椭圆x 2a 2+y 2b2 =1(a>b>0)的右焦点F (c ,0)关于直线y =b cx 的对称点Q 在椭圆上,那么椭圆的离心率是 . 答案:√22解析:设Q (x 0,y 0),那么{y 0x 0−c =−cb,b c ·(x 0+c 2)=y 02,解得{x 0=c(c 2−b 2)a 2,y 0=2bc 2a2.因为点Q 在椭圆上,所以c 2(c 2−b 2)2a 4·a2+4b 2c 4a 4·b2 =1,化简得a 4c 2 +4c 6 -a 6 =0,即4e 6 +e 2 -1 =0. 即4e 6 -2e 4 +2e 4 +e 2 -1 =0, 即(2e 2 -1)(2e 4 +e 2 +1) =0. 所以e =√22.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(此题总分值14分)(2021浙江,文16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.tan (π4+A) =2.(1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)假设B =π4,a =3,求△ABC 的面积.此题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等根底知识,同时考查运算求解能力.总分值14分. 解:(1)由tan (π4+A) =2,得tan A =13,所以sin2A sin2A+cos 2A =2tanA 2tanA+1=25. (2)由tan A =13,A ∈(0,π),得sin A =√1010,cos A =3√1010.又由a =3,B =π4及正弦定理a sinA =bsinB,得b =3√5.由sin C =sin(A +B ) =sin (A +π4)得sin C =2√55.设△ABC 的面积为S ,那么S =12ab sin C =9.17.(此题总分值15分)(2021浙江,文17)数列{a n }和{b n }满足a 1 =2,b 1 =1,a n +1 =2a n (n ∈N *),b 1 +12b 2 +13b 3 + (1)b n =b n +1 -1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ;(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .此题主要考查数列的通项公式、等差和等比数列等根底知识,同时考查数列求和等根本思想方法,以及推理论证能力.总分值15分.解:(1)由a 1 =2,a n +1 =2a n ,得a n =2n (n ∈N *).由题意知:当n =1时,b 1 =b 2 -1,故b 2 =2.当n ≥2时,1nb n =b n +1 -b n ,整理得b n+1n+1=b n n, 所以b n =n (n ∈N *). (2)由(1)知a n b n =n ·2n , 因此T n =2 +2·22 +3·23 +… +n ·2n , 2T n =22 +2·23 +3·24 +… +n ·2n +1, 所以T n -2T n =2 +22 +23 +… +2n -n ·2n +1. 故T n =(n -1)2n +1 +2(n ∈N *).18.(此题总分值15分)(2021浙江,文18)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =2,A 1A =4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是B 1C 1的中点.(1)证明:A 1D ⊥平面A 1BC ;(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值.此题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等根底知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.总分值15分.解:(1)设E 为BC 的中点,由题意得A 1E ⊥平面ABC ,所以A 1E ⊥AE.因为AB =AC ,所以AE ⊥BC. 故AE ⊥平面A 1BC.由D ,E 分别为B 1C 1,BC 的中点,得DE ∥B 1B 且DE =B 1B ,从而DE ∥A 1A 且DE =A 1A , 所以AA 1DE 为平行四边形. 于是A 1D ∥AE.又因为AE ⊥平面A 1BC ,所以A 1D ⊥平面A 1BC. (2)作A 1F ⊥DE ,垂足为F ,连结BF. 因为A 1E ⊥平面ABC ,所以BC ⊥A 1E. 因为BC ⊥AE ,所以BC ⊥平面AA 1DE. 所以BC ⊥A 1F ,A 1F ⊥平面BB 1C 1C.所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角. 由AB =AC =2,∠CAB =90°,得EA =EB =√2. 由A 1E ⊥平面ABC ,得A 1A =A 1B =4,A 1E =√14.由DE =BB 1 =4,DA 1 =EA =√2,∠DA 1E =90°,得A 1F =√72. 所以sin ∠A 1BF =√78.19.(此题总分值15分)(2021浙江,文19)如图,抛物线C 1:y =14x 2,圆C 2:x 2 +(y -1)2 =1,过点P (t ,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ,PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A ,B 为切点.(1)求点A ,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,那么称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.此题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等根底知识,同时考查解析几何的根本思想方法和综合解题能力.总分值15分.解:(1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y =k (x -t ),由{y =k(x −t),y =14x2消去y ,整理得:x 2 -4kx +4kt =0, 由于直线PA 与抛物线相切,得k =t. 因此,点A 的坐标为(2t ,t 2).设圆C 2的圆心为D (0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0),由题意知:点B ,O 关于直线PD 对称,故{y 02=−x02t +1,x 0t −y 0=0,解得{x 0=2t 1+t 2,y 0=2t 21+t 2.因此,点B 的坐标为(2t 1+t 2,2t 21+t 2). (2)由(1)知|AP| =t ·√1+t 2和直线PA 的方程tx -y -t 2 =0. 点B 到直线PA 的距离是d =2√1+t .设△PAB 的面积为S (t ),所以S (t ) =12|AP|·d =t 32.20.(此题总分值15分)(2021浙江,文20)设函数f (x ) =x 2 +ax +b (a ,b ∈R ).(1)当b =a 24+1时,求函数f (x )在[ -1,1]上的最|小值g (a )的表达式;(2)函数f (x )在[ -1,1]上存在零点,0≤b -2a ≤1.求b 的取值范围.此题主要考查函数的单调性与最|值、分段函数、不等式性质等根底知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等分析问题和解决问题的能力.总分值15分.解:(1)当b =a 24+1时,f (x ) =(x +a 2)2 +1,故对称轴为直线x = -a 2.当a ≤ -2时,g (a ) =f (1) =a 24 +a +2.当 -2<a ≤2时,g (a ) =f (−a2) =1.当a>2时,g (a ) =f ( -1) =a 24-a +2.综上,g (a ) ={ a 24+a +2,a ≤−2,1,−2<a ≤2,a 24−a +2,a >2.(2)设s ,t 为方程f (x ) =0的解,且 -1≤t ≤1,那么{s +t =−a,st =b.由于0≤b -2a ≤1,因此−2t t+2≤s ≤1−2tt+2( -1≤t ≤1). 当0≤t ≤1时,−2t 2t+2≤st ≤t−2t 2t+2,由于 -23≤−2t 2t+2≤0和 -13≤t−2t 2t+2≤9 -4√5,所以 -23≤b ≤9 -4√5.当 -1≤t<0时,t−2t 2t+2≤st ≤−2t 2t+2,由于 -2≤−2t 2t+2<0和 -3≤t−2t2t+2<0,所以 -3≤b<0.故b 的取值范围是[ -3,9 -4√5].附:自选模块1. "复数与导数〞模块(10分)(1)i 是虚数单位,a ,b ∈R ,复数z =1 +a i 满足z 2 +z =1 +b i,求a 2 +b 2的值. (2)设函数f (x ) =(x 2 +2x -2)e x (x ∈R ),求f (x )的单调递减区间. 解:(1)由题意得(2 -a 2) +3a i =1 +b i,解得a 2 =1,b =3a ,故a 2 +b 2 =10.(2)对f (x )求导,得f'(x ) =(x 2 +4x )e x , 由f'(x )<0,解得 -4<x<0,所以f (x )的单调递减区间为( -4,0). 2. "计数原理与概率〞模块(10分)(1)n 为正整数,在(1 +x )2n 与(1 +2x 3)n 展开式中x 3项的系数相同,求n 的值.(2)设袋中共有7个球,其中4个红球,3个白球.从袋中随机取出3个球,求取出的白球比红球多的概率.解:(1)(1 +x )2n 中x 3项的系数为C 2n 3,(1 +2x 3)n 中x 3项的系数为2n.由C 2n 3=2n 得2n(2n−1)(2n−2)3×2×1=2n ,解得n =2.(2)从袋中取出3个球,总的取法有C 73=35种;其中白球比红球多的取法有C 33+C 32·C 41=13种. 因此取出的白球比红球多的概率为1335.。
全国高考文科数学试题及答案浙江卷
绝密★考试完毕前2021年一般高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学〔文科〕本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。
总分值150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将全部试题答案涂、写在答题纸上。
选择题部分〔共50分〕考前须知：1．答题前，考生务必将自己姓名、准考证号用黑色字迹签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：球外表积公式 棱柱体积公式 24S R π= V Sh=球体积公式 其中S 表示棱柱底面积，h 表示棱柱高334R V π=棱台体积公式其中R 表示球半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥体积公式 其中S 1、S 2分别表示棱台上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台高其中S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥高 假如事务,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求.1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，那么UAB =〔 〕A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >1． B 【命题意图】本小题主要考察了集合中补集、交集学问，在集合运算考察对于集合理解和驾驭程度，当然也很好地考察了不等式根本性质． 【解析】 对于{}1U C B x x =≤，因此UA B ={|01}x x <≤．2．“0x >〞是“0x ≠〞〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2． A 【命题意图】本小题主要考察了命题根本关系，题中设问通过对不等关系分析，考察了命题概念和对于命题概念理解程度．【解析】对于“0x >〞⇒“0x ≠〞；反之不肯定成立，因此“0x >〞是“0x ≠〞充分而不必要条件．3．设1z i =+〔i 是虚数单位〕，那么22z z+=〔 〕A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i--3．D 【命题意图】本小题主要考察了复数运算和复数概念，以复数运算为载体，干脆考察了对于复数概念和性质理解程度． 【解析】对于2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++ 4．设,αβ是两个不同平面，l 是一条直线，以下命题正确是〔 〕A ．假设,l ααβ⊥⊥，那么l β⊂B ．假设//,//l ααβ，那么l β⊂C ．假设,//l ααβ⊥，那么l β⊥D ．假设//,l ααβ⊥，那么l β⊥ 4．C 【命题意图】此题主要考察立体几何线面、面面位置关系，通过对平行和垂直考察，充分调动了立体几何中根本元素关系．【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确．5．向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．假设向量c 满意()//+c a b ，()⊥+c a b ，那么c =〔 〕A ．77(,)93B ．77(,)39--C ．77(,)39D ．77(,)93--5．D 【命题意图】此题主要考察了平面对量坐标运算，通过平面对量平行和垂直关系考察，很好地表达了平面对量坐标运算在解决详细问题中应用．【解析】不妨设(,)C m n =，那么()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()//c a b +，那么有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，那么有30m n -=，那么有77,93m n =-=-6．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．假设2AP PB =，那么椭圆离心率是〔 〕A ．32 B ．22 C ．13 D ．126．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面对量结合考察，既表达了几何与向量交汇，也表达了数形结合奇妙应用．【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，那么12,2,2OA OF a c e =∴=∴= 7．某程序框图如下图，该程序运行后输出k 值是〔 〕 A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．A 【命题意图】此题考察了程序语言概念和根本应用，通过对程序语言考察，充分表达了数学程序语言中循环语言关键．【解析】对于0,1,1k s k ==∴=，而对于1,3,2k s k ==∴=，那么2,38,3k s k ==+∴=，后面是113,382,4k s k ==++∴=，不符合条件时输出4k =． 8．假设函数2()()af x x a x=+∈R ，那么以下结论正确是〔 〕 A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数 D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数8．C 【命题意图】此题主要考察了全称量词与存在量词概念和根底学问，通过对量词考察结合函数性质进展了交汇设问．【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数9．三角形三边长分别为3,4,5，那么它边与半径为1圆公共点个数最多为〔 〕 A ．3 B ．4 C ．5 D ．69．C 【命题意图】此题很好地考察了平面几何学问，全面而不失敏捷，考察方法上面要求平实而不失灵动，既有切线与圆位置，也有圆挪动【解析】对于半径为1圆有一个位置是正好是三角形内切圆，此时只有三个交点，对于圆位置稍一右移或其他改变，能实现4个交点状况，但5个以上交点不能实现． 10．a 是实数，那么函数()1sin f x a ax =+图象不行能．．．是〔 〕10．D 【命题意图】此题是一个考察三角函数图象问题，但考察学问点因含有参数而丰富，结合图形考察使得所考察问题形象而富有深度．【解析】对于振幅大于1时，三角函数周期为2,1,2T a Taππ=>∴<，而D不符合要求，它振幅大于1，但周期反而大于了2π．非选择题部分〔共100分〕考前须知：1．用黑色字迹签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2021年浙江高考数学文科试卷带详解
2021年浙江高考数学文科试卷带详解2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题：每小题5分，共50分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若p?{xx?1},q={xx?1}，则()a.p?qb.q?pc.erp?qd.q?erp【测量目标】集合间的基本关系.[检查方法]集合的表示（描述方法），以找到集合的包含关系[参考答案]d【试题解析】p?{xx?1}∴erp??x|x≥1?，又∵q={xx?1}，∴q?erp，故选d2.若复数z?1?i，i为虚数单位，则(1?z)z?（）a.1?3ib.3?3ic.3?id.3【测量目标】复数代数形式的四则运算.【检查方法】给出复数的乘法形式，检查复数的四种运算【参考答案】a【试题解析】∵z?1?i，∴(1?z)?z?(2?i)(1?i)?1?3i十、2岁？5.≥0? 3.如果实数x和y满足不等式组？2倍？Y7.≥ 0，然后是3？4Y 的最小值为（）?x≥0,y≥0?a.13b.15c.20d.28【测量目标】线性规划求最值.【检验方法】给出约束条件，利用数形结合的思想，画出不等式组表示的平面区域，得到线性规划目标函数的最小值【参考答案】a【试题分析】可行区域如图所示x2y50x3联立?，解之得?，∴当z?3x?4y过点（3，1）时，有最小值13.Y12倍？Y7.0 4. 如果直线L与平面不平行？，而我呢？？，（a）什么？公元前有一条独特的线平行于L.D.[测量目标]线和平面之间的位置关系【考查方式】本题主要考查线线，线面平行关系的转化，考查空间想象能力能力以及推理论证能力.【参考答案】b[问题分析]在哪里？有一条线与L相交，所以a是不正确的；如果有一条平行于L的直线∵ L∵??, 然后是我？？，与问题的设计相矛盾，∧ B是正确的，C是错误的；哪里但我和？相交的直线和l不同的平面，D是不正确的2（）5.在△abc中，角a,b,c所对的边分a,b,c.若acosa?bsinb，则sinacosa?cosb?没有平行于L的直线吗？图中的线与L相交a.?11b.c.?1d.122[测量目标]正弦定理【考查方式】根据正弦定理把边关系转化为正弦关系，再根据sinb?cosb?1转化求出结果.【参考答案】d2[试题分析]∵ 阿科萨？bsinb∴西纳科萨？辛布22222∴sinacosa?cosb?sinb?cosb?1.6.如果a和B是实数，“0？AB？1”是“B？1”的充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.充分和必要条件D.既不充分也不必要条件[测量目标]充分和必要条件【考查方式】主要考查了命题的基本关系、充分必要条件的判断，考查了学生的推理论证能力.【参考答案】d[问题分析]何时0？ab？1，a？0，b？0，B？‡“0？AB？1”是“B？11”，反之，当a？0时，既不存在AB？1，Aa1“a7”的充分必要条件。
2021年浙江省高考文科数学试题word版含答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（C U Q）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}【答案】D【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算。
【解析】Q{3，4，5}，∴C U Q={1，2，6}，∴P∩（C U Q）={1，2}.2. 已知i是虚数单位，则31ii+-=A 1-2iB 2-iC 2+iD 1+2i【答案】D【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。
【解析】31ii+-(3)(1)2412(1)(1)2i i iii i+++===+-+.3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 3 【答案】C【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学生空间想象能力的综合考查。
【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为11123132⨯⨯⨯⨯=.4．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 【答案】A【命题意图】本题考查的知识为依托于简易逻辑的直线平行问题的考查。
【解析】当121aa =+，解得1a =或2a =-.所以，当a ＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，1a =或2a =-，不是必要条件，故选A.5. 设l是直线，a，β是两个不同的平面A. 若l∥a，l∥β，则a∥βB. 若l∥a，l⊥β，则a ⊥βC. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥βD. 若a⊥β, l∥a，则l⊥β【答案】B【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。
高考浙江文科数学试题及答案(精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数 学(文科)一、选择题：本大题共１0小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1、设集合{|2},{|5}S x x T x x =≥=≤，则ST ＝（ )A.(,5]-∞ Ｂ．[2,)+∞ C.(2,5) Ｄ．[2,5]2、设四边形A ＢＣＤ的两条对角线A Ｃ，B Ｄ,则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD”的（ ） A.充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件 Ｃ.充要条件 D ．既不充分又不必要条件3、某几何体的三视图(单位：c ｍ)如图所示,则该几何体的的体积是( ） A.72 cm ３Ｂ.90 ｃm 3 Ｃ.108 c ｍ3 Ｄ.1３8 c ｍ34、为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数2cos3y x =的图像（ ） A.向右平移12π个单位 B.向右平移4π个单位C ．向左平移12π个单位 Ｄ.向左平移4π个单位5、已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为４，则实数a 的值是 A ．-2 B.-4 C ．-6 Ｄ．-8 ( )6、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面（ )A.若m n ⊥,//n α，则m α⊥B.若//m β，βα⊥则m α⊥ C ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥ D.若m n ⊥,n β⊥，βα⊥,则m α⊥ 7、已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A ．3≤c B.63≤<c C.96≤<c D.9>c８、在同一直角坐标系中，函数()a f x x =（0x >),()log a g x x =的图象可能是( ）4 4 3 33 3俯视图９、设θ为两个非零向量a ,b 的夹角,已知对任意实数t ,||b ta +是最小值为1( ） Ａ．若θ确定，则||a 唯一确定 B.若θ确定，则||b 唯一确定 C.若||a 确定，则θ唯一确定 D.若||b 确定,则θ唯一确定 10、如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点沿墙面的射击线移动,此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)。
高考最新-2021年全国高考文科数学试题及答案-浙江 精品
高考最新-2021年全国高考文科数学试题及答案-浙江精品2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件A、B互斥，那么柱体的体积公式 [P(A?B)?P(A)?P(B) V?Sh如果事件A、B相互独立，那么其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高P(AB)?P(A)P(B) 锥体的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p， V?1Sh 3那么n次独立重复试验中事件A 恰好发生其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高k次的概率kkn?kP(k?0,1,2,…n) 球的表面积公式 n(k)?Cnp(1?p)台体的体积公式S?4?R21V?hS1?S1S2?S2 球的体积公式343其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积， V??R3??h表示台体的高其中R表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设P?xx（A）x?1（C）x1?1?.Q?xx2x2??4，则P?Q?（B）x?3（D）x?2???x1??x4? ?x1?（2）已知函数f(x)?log?x?1?,若f(a)?1,则a?（A）0（B）1（C）2（D）3（3）设i为虚数单位，则（A）?2?3i5?i? 1?i（C）2?3i（D）2?3i（B）?2?3i（4）某程度框图如图所示，若输出的S?57，则判断框内为（A）k（C）k4? 6?（B）k（D）k5? 7?（5）设S1为等比数列?an?的前n项和，8a2?a2?0，则（A）－11（B）－8（C）5（D）11S1? S2（6）设0x?2,则“xsin2 x<1”是“xsin x<1”的（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件?x?3y?3?0,?（7）若实数x、y满足不等式组?2x?y?3?0,则x+y的最大值为 ?x?y?1?0,?（A）9 （C）1157 7（D）15（B）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）3523cm 32243cm （C）33203cm 31603cm （D）3（B）（9）已知x是函数f(x)?2?（A）f(x1)（C）f(x1)1的一个零点，若x2?(1,x0),x2?(xa,??)，则 1?x（B）f(x1)（D）f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0 00,f(x2)0,f(x2)0 0y2x2（10）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线2－2＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲ba线上存在点P，满足∠F1P F2=60°，OP=7a，则该双曲线的渐近线方程为（A）x±3y=0 (C) x±2y=0（B）3x±y=0 (D)2 x±y=0非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2021年高考数学试卷(浙江)(解析卷)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=L台体的体积公式121()3V S S h=其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =p 球的体积公式343V R =p 其中R 表示球的半径一､选择题1. 设集合{}1A x x =³，{}12B x x =-<<，则A B =I （ ）A. {}1x x >- B. {}1x x ³ C. {}11x x -<< D. {}12x x £<【答案】D 【解析】【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =£<I .故选：D.2. 已知a R Î，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A. 1- B. 1C. 3- D. 3【答案】C 【解析】【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=\=-.故选：C.3. 已知非零向量,,a b c r r r ，则“a c b c ×=×r r r r ”是“a b =r r”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r ,当AB OC ^时，a b -r r 与c r 垂直，，所以成立，此时a b ¹rr，∴不是a b =r r 的充分条件，当a b =r r 时，0a b -=r r r ，∴()00a b c c -×=×=r r r r r ,∴成立，∴是a b =rr的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.32B. 3D. 【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，，下底为1=故111113122ABCD A B C D V -=´=，故选：A.5. 若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +³ìï-£íï+-£î，则12z x y =-最小值是（）的A. 2-B. 32-C. 12-D.110【答案】B 【解析】【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22y x z =-，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y 轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1002310x x y x y +³ìï-£íï+-£î的可行域，如下图所示：目标函数12z x y =-化为22y x z =-，由12310x x y =-ìí+-=î，解得11x y =-ìí=î，设(1,1)A -，当直线22y x z =-过A 点时，12z x y =-取得最小值为32-.故选：B6. 如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）.A. 直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB. 直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ^平面11BDD BC. 直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD. 直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ^平面11BDD B 【答案】A 【解析】【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ^平面1ABD ，即可得出结论.【详解】连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN Ë平面,ABCD AB Ì平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD 则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ^，AB ^平面11AA D D ，所以1AB A D ^，1AD AB A Ç=，所以1A D ^平面1ABD ，1D B Ì平面1ABD ，所以11A D D B ^，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.7. 已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A. 1()()4y f x g x =+- B. 1()()4y f x g x =--C. ()()y f x g x = D. ()()g x y f x =【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x æö==+ç÷ø，则212sincos 4y x x x x æö¢=++ç÷èø，当4x p =时，2102164y pp æö¢=++>ç÷èø，与图象不符，排除C.故选：D.为8.已知,,a b g 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2a b b g g a ++£，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2a ba b +£，同理22sin cos sin cos 2b g b g +£，22sin cos sin cos 2g ag a +£，故3sin cos sin cos sin cos 2a b b g g a ++£，故sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 不可能均大于12.取6pa =，3pb =，4pg =，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222a b b g g a =<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设a b g <<，则cos cos cos ,sin sin sin a b g a b g >><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos a b b g g a a g b b g a ++£++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222a gb b g a g a b ++=++£，故sin cos ,sin cos ,sin cos a b b g g a 不可能均大于12.取6pa =，3pb =，4pg =，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222a b b g g a =<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.9.已知,R,0a b ab Î>，函数()2R ()f x ax b x =+Î.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b éùéù-+++=+ëûëû，对其进行整理变形：()()()22222222as at ast b as at ast b as b +-++++=+，()()222222(2)0asat b ast as b++--+=，()2222222240asat b at a s t ++-=，222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0t =，其中2212s t b ba a-=为双曲线，0t =为直线.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.10. 已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==Î.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A100321S << B. 10034S << C. 100942S <<D.100952S <<.【答案】A 【解析】【分析】显然可知，1001 2S>，利用倒数法得到21111124n na a+ö==+-÷÷ø，再放缩可得12<，由累加法可得24(1)nan³+，进而由1na+=局部放缩可得113nna na n++£+，然后利用累乘法求得6(1)(2)nan n£++，最后根据裂项相消法即可得到1003S<，从而得解．【详解】因为)111,Nna a n*+==Î，所以0na>，10012S>．由211111124nn naa a++ö=Þ==+-÷÷ø2111122na+ö\<+Þ<+÷÷ø12<11122n n-+£+=，当且仅当1n=时取等号，12412(1)311nn n na na a an nn++\³\=£=++++113nna na n++\£+，由累乘法可得6(1)(2)nan n£++，当且仅当1n=时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102Sæöæö£-+-+-++-=-<ç÷ç÷èøèøL，即100321S<<．故选：A．【点睛】的不等关系，再由累加法可求得24(1)nan³+，由题目条件可知要证100S小于某数，从而通过局部放缩得到1,nna a+的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n £++，最后由裂项相消法求得1003S <．二､填空题11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，则11S S =___________.【答案】25【解析】【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：5a ==，则其面积为：21525S ==，小正方形的面积：212543412S æö=-´´´=ç÷èø，从而2125251S S ==.故答案为：25.12. 已知R a Î，函数24,2()3,2,x x f x x a x ì->ï=í-+£ïî若3f f éù=ëû，则a =___________.【答案】2【解析】【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f ff f a éù=-==-+=ëû，故2a =，故答案为：2.13.已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】 (1). 5; (2). 10.【解析】【分析】根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论.【详解】332(1)331x x x x -=-+-，4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=，34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=.故答案为：5,10.14. 在ABC V 中，60,2B AB Ð=°=，M 是BC 的中点，AM =AC =___________，cos MAC Ð=___________.【答案】 (1). 【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC Ð.【详解】由题意作出图形，如图，在ABM V 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-××，即21124222BM BM =+-´´，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC V 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-××=+-´´´=，所以AC =在AMC V中，由余弦定理得222cos 2AC AM MC MAC AM AC +-Ð===×.故答案为：15.袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为x ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E x =___________.【答案】 (1). 1 (2).89【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得,m n 的值，再根据随机变量x 的分布列即可求出()E x ．【详解】2244224461(2)366m n m n m n C P C C C x ++++++====Þ=，所以49m n ++=，()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++×====Þ=, 所以2n =, 则1m n -=．由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C x x x ×´==========155158()2106918399E x \=´+´+´=+=．故答案为：1；89．16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c æö-+=ç÷èø相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ^轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.【答案】【解析】【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F Ð=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =Ð=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F AÐ=Ð==，12tan PF F Ð==所以k =由21212,24PF k F F c F F ===，所以2PF =，21121=sin PF PF PF F ´=∠，于是122PF a PF +==，即a =，所以c e a ===．．17.已知平面向量,,,(0)a b c c ¹r r r r r 满足()1,2,0,0a b a b a b c ==×=-×=r r r r r r r .记向量d u r 在,a b r r方向上的投影分别为x ，y ，d a -u r r 在c r方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.【答案】25【解析】【分析】设(1,0),(02),(,)a b c m n ===r r r，，由平面向量的知识可得22x y +=，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===r r r，，则()20a b c m n -×=-=r r r，即2m n =，又向量d u r 在,a b r r方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =u r ，所以d a -u r r 在c r 方向上的投影()||d a c z c -×===u r rrr ，即22x y +=m ,所以(()()222222222211221210105x y z x y z x y éù++=++++³+=êúëûm ，当且仅当212x y x y ì=ïíï+îm即25x y z ì=ïïïíïï=ïî时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：25.点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出,,x y z 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.三､解答题18. 设函数()sin cos (R)f x x x x =+Î.（1）求函数22y fx p éùæö=+ç÷êúèøëû的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x p æö=-ç÷èø在0,2p éùêúëû上的最大值.【答案】（1）p；（2）1+.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；【（2）由三角恒等变换可得sin 24y x p æö=-ç÷èø，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x p æö=+=+ç÷èø，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x p p p p éùùæöæöæö=+=+=+=-+=-ç÷ç÷ç÷êúúèøèøèøëûæöç÷øûè，所以该函数的最小正周期22T pp ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x p p p æöæöæö=-=+=+ç÷ç÷ç÷èøèøèø22sin cos x x x x x x ö=×+=+÷÷ø1cos 2222sin 224x x x x x p -æö=+=-=-+ç÷èø由0,2x p éùÎêúëû可得32,444x p p p éù-Î-êúëû，所以当242x pp-=即38x p =时，函数取最大值119. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA Ð=°===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ^^.（1）证明：AB PM ^；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）要证AB PM ^，可证DC PM ^，由题意可得，PD DC ^，易证DM DC ^，从而DC ^平面PDM ，即有DC PM ^，从而得证；（2）取AD 中点E ，根据题意可知，,,ME DM PM 两两垂直，所以以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN uuu r和平面PDM 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在DCM △中，1DC =，2CM =，60DCM Ð=o，由余弦定理可得DM =，所以222DM DC CM +=，\DM DC ^．由题意DC PD ^且PD DM D Ç=，DC \^平面PDM ，而PM Ì平面PDM ，所以DC PM ^，又//AB DC ，所以AB PM ^．（2）由PM MD ^，AB PM ^，而AB 与DM 相交，所以PM ^平面ABCD，因为AM =，所以PM =，取AD 中点E ，连接ME ，则,,ME DM PM 两两垂直，以点M 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(2,0),(0,0,A P D,(0,0,0),1,0)M C -又N 为PC中点，所以15,22N AN -=-uuu r .由（1）得CD ^平面PDM ，所以平面PDM 的一个法向量(0,1,0)n =r从而直线AN 与平面PDM所成角的正弦值为||sin ||AN n AN n q ×===uuu r r uuu r r ‖．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明AB PM ^，可以考虑DC PM ^，题中与DC 有垂直关系的直线较多，易证DC ^平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=Î，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b l £对任意N n *Î恒成立，求实数l 的取值范围.【答案】（1）33(4nn a =-×；（2）31l -££.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =³讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b l £对任意N n *Î恒成立，分类讨论分离参数l ，转化为l 与关于n 的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-\=-，当2n ³时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n na a +=122730,0,164n n n a a a a +=-¹\¹\=，又213,{}4n a a a =\是首项为94-，公比为34的等比数列，1933(3()444n n n a -\=-×=-×；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n æöæöæöæö=-´-´-´´++-×ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèè+øøL ，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +æöæöæöæöæö=-´-´-´++-×+-×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +æöæöæöæöæö=-´++++--×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL1193116493(4)34414n n n -+éùæö-êúç÷èøêúæöëû=-+--ç÷èø-111993334(4)44444n n n n n +++æöæöæö=-+---×=-×ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以134()4n n T n +=-×，由n n T b l £得1334((4)(44n nn n l +-×£-×恒成立，即(4)30n n l -+³恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n l £-=----，得1l £；4n >时，312344n n n l ³-=----，得3l ³-；所以31l -££.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n l -+³恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.21. 如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R，N ，且2RNPN QN =×，求直线l 在x 轴上截距的范围.【答案】（1）24y x =；（2）()(),771,é-¥---++¥ëU U .【解析】【分析】（1）求出p 的值后可求抛物线的方程.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，联立直线AB 的方程和抛物线的方程后可得12124,4y y y y t =-+=，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出,,P Q R y y y ，根据题设条件可得()222134121n t n t ++æö=ç÷-èø-，从而可求n 的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ¹且12t ¹.由214x ty y x=+ìí=î可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =×，故=2R P Q y y y =×.又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x nì=+ï+ïíï=+ïî可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+ìïí=+ïî可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++éù´êú-+-+-ëû，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -æö=-ç÷++-+-èø，()22221214212222t y y y y -=æöæö+-+-ç÷ç÷èøèø()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--´-+故()222134121n t n t ++æö=ç÷-èø-，令21s t =-，则12s t +=且0s ¹，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++æö==+=++³ç÷èø-，故213141n n n ì+æö³ïç÷-íèøï¹î即214101n n nì++³í¹î，解得7n £--71n -+£<或1n >.故直线l 在x轴上的截距的范围为7n £--71n -+£<或1n >.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.22. 设a ，b 为实数，且1a >，函数()2R ()xf x a bx e x =-+Î（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意22b e >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当a e =时，证明：对任意4b e >，函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，满足2212ln 2b b ex x e b>+.(注： 2.71828e =×××是自然对数的底数)【答案】(1)0b £时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln ab a æö-¥ç÷èø，单调增区间为log ,ln ab a æö+¥ç÷èø；(2)(21,e ùû；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a 的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)2(),()ln x x f x b f a x e a x a b ¢==+--，①若0b £，则()ln 0x f x a a b ¢=-³，所以()f x 在R 上单调递增；②若0b >，当,log ln a b x a æöÎ-¥ç÷èø时，()()'0,f x f x <单调递减，当log ,ln a b x a æöÎ+¥ç÷èø时，()()'0,f x f x >单调递增.综上可得，0b £时，()f x 在R 上单调递增；0b >时，函数的单调减区间为,log ln a b a æö-¥ç÷èø，单调增区间为log ,ln a b a æö+¥ç÷èø.(2)()f x 有2个不同零点20x a bx e Û-+=有2个不同解ln 20x a e bx e Û-+=有2个不同的解，令ln t x a =，则220,0ln ln t tb b e e e e t a a t t +-+=Þ=>，记()22222(1)(),()t t t t e t e e e e e t e g t g t t t t ¢×-++--===，记2()(1),()(1)10t t t t h t e t e h t e t e e t ¢=--=-+×=×>，又(2)0h =，所以(0,2)t Î时，()0,(2,)h t t <Î+¥时，()0h t >，则()g t 在(0,2)单调递减，(2,)+¥单调递增，22(2),ln ln b b g e a a e\>=\<，22222,ln ,21b b e a a e e>\>\£Þ<£Q .即实数a 的取值范围是(21,e ùû.(3)2,()x a e f x e bx e ==-+有2个不同零点，则2x e e bx +=，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为2x ，较小者为1x ，1222412x x e e e e b e x x ++==>，注意到函数2x e e y x+=在区间()0,2上单调递减，在区间()2,+¥上单调递增，故122x x <<，又由5245e e e +<知25x >，122211122x e e e e b x x x b+=<Þ<，要证2212ln 2b b e x x e b >+，只需22ln e x b b>+，222222x x e e e b x x +=<且关于b 的函数()2ln e g b b b=+在4b e >上单调递增，所以只需证()22222222ln 52x x e x e x x x e>+>，只需证2222222ln ln 02x x x e x e e x e -->，只需证2ln ln 202x e x x e-->，242e <Q ，只需证4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，由于()11()44410x x x h x xe e e x xx ¢---+-+-==>，故函数()h x 单调递增，又54520(5)ln 5l 20n 2ln 02h e e =--=->，故4()ln ln 2x x h x x e =--在5x >时为正，从而题中的不等式得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-浙江卷
（7）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交点个数是
（A）0（B）1（C）2（D）4
（8）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是
（A）3（B）5（C） （D）
（9）对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得
若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=。
（14）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若 则cosA=.
(15)如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC。
AB⊥BC，DA=AB=BC= ，则球O的体积等于。
（16）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a-b)=0,
（Ⅰ）p,q的值；
(Ⅱ)数列{xn}前n项和Sn的公式。
（19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 ;从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 .求：
（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；
（Ⅱ）袋中白球的个数。
（I）解：设 为C上的点，则
．
N到直线 的距离为 ．
由题设得 ．
化简，得曲线C的方程为 ．
（II）解法一：
设 ，直线l： ，则 ，从而
．
在Rt△QMA中，因为
，
．
所以
，
当k＝2时，
从而所求直线l方程为
解法二：
设 ，直线直线l： ，则 ，从而
过 垂直于l的直线l1： ，
因为 ，所以
，
，
当k＝2时， ，
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
高考文科数学浙江卷试题与答案解析版
14． (2013 浙江，文 14) 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于
__________．
x 2, 15． (2013 浙江，文 15) 设 z＝ kx＋ y，其中实数 x， y 满足 x 2 y 4 0, 若 z 的
2x y 4 0
＝－ kx，当 k＞ 0 时， y＝－ kx 为减函数，在 B 处 z 最大，此时 k
＝ 2；当 k＜ 0 时， y＝－ kx 为增函数，当－ k∈ 0, 1 时，在 B 处 2
非选择题部分 ( 共 100 分 )
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分．
11． 答案： 10
ab≥４知，正数
a，b 中至少
解析： 由 f ( a) ＝ a 1 ＝ 3，得 a－ 1＝ 9，故 a＝ 10.
12． 答案： 1 5
解析： 从 3 男， 3 女中任选两名，共有
15 种基本情况，而从
故选 A. 7． 答案： A
解析： 由 f (0) ＝ f (4) 知二次函数 f ( x) ＝ ax2＋ bx＋ c 对称轴为 x＝ 2，即 b 2. 所以 4a＋b＝ 0，又 f (0) 2a
＞ f (1) 且 f (0) ， f (1) 在对称轴同侧，故函数 f ( x) 在 ( －∞， 2] 上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知
A． [ － 4，＋∞ )
B ． ( － 2，＋∞） C ． [ － 4,1] D
． ( － 2,1]
2． (2013 浙江，文 2) 已知 i 是虚数单位，则 (2 ＋i)(3 ＋ i) ＝ ( ) ． A． 5－ 5i B ． 7－ 5i C ． 5＋5i D ． 7＋ 5i
2019年浙江省高考文科数学试卷及答案解析【word版】
2019年高考浙江卷数2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一•选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合S {x|x2} , T {x|x5｝，则SI T ()A.(,5]B.[2,)C.(2,5)D. [2,5]【答案】D【解析】试题分析:依题意SI T [2,5]，故选 D.点评：本题考查结合的交运算，容易题•2.设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ AC BD ”的（）A.充分不必要条件B. 必要不成分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC BD ;反之若AC BD，则四边形比一定是平行四边形，故“四边形ABCD为菱形”是“ AC BD ”的充分不必要条件，选 A.菱形的性质，充分条件与必要条件判断，容易题cm）若图所示，则该几何体的体积是（）【解析】试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成,1 2其体积为V 3 4 6 3 4 3 90（cm2），故选B.2点评：本题考查根据三视图还原几何体，求原几何体的体积，容易题4.为了得到函数y sin3x cos3x的图象，可以将函数y - 2sin3x的图象（）点评：本题考查平行四边形、3.某几何体的三视图（单位:A. 72cm3B.【答案】B90cm3C. 108cm3 D. 138cm3A.向右平移个单位长B.12向右平移一个单位长4试题分析：因为 y sin3x cos3x 2sin(3x)，所以将函数 y .2sin 3x 的图象向左平移个单位长412.2 sin3(x )，即得函数y sin 3x cos3x 的图象，选C.12公式sin x cosx ■, 2 sin(x )的运用，容易题4点评：本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题 . 6.设m 、n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则( ) A.若mn , n 〃 ，则mB.若m 〃 ， ，则m C.若mn，n ，则 mD. 若mn ，n，，则m【答案】 C【解析】试题分析::对 A , 若m n ， n 〃 ，则m 或m 〃 或m ，错误； 对B,若 m 〃，则 m 或m 〃 或m，错误；对C,若 mn ，n，则m ，正确；对D,若m n ， n，，则m或m或m 〃 ，错误.故选C.点评：本题考查空间中的线线、线面、面面的闻之关系，容易题C.向左平移一个单位长 12【答案】C 【解析】D.向左平移—个单位长4得函数y 点评：本题考查三角函数的图象的平移变换, 5.已知圆 2x 2y a截直线y 20所得弦的长度为 4，则实数a 的值为()A. 2B.C.D.【答案】 【解析】 试题分析：由2x 2y20配方得(x 1) (y1)2 所以圆心坐标为( 1,1)，半径 r 2 a ，由圆心到直线0的距离为| 1 1 2|所以22(・、2)2 2 a ，解得a4，故选B.1，所以a 1，所以6 c 6 k 9.所以 f (x) k a(x 1(x 2)(x 3)，7.已知函数f (x) 3 2x ax bx c，且0f( 1)f( 2)f( 3)3，则( ) A. c 3 B. 3 c 6 C.6c9 D. c 9【答案】C【解析】试题分析：设f(1) f( 2)f( 3)k，则儿—一次方程f(x)k0有三个根1、2、3, 由于f (x)的最高次项的系数为点评：本题考查函数与方程的关系，中等题8.在同一坐标系中，函数 f(x) x a (x 0) , g (x ) Iog a x 的图象可能是(【答案】D 【解析】试题分析：对 A ,没有幕函数的图象，；对B, f(x) x a (x 0)中a 1 , g(x ) Iog a x 中o a 1,不符合题 题；对C , f(x) x a (x 0)中 0 a 1，g(x) log a x 中 a 1，不符合题题；对 D , f (x) x a (x 0)中0 a 1， g(x) log a x 中0 a1,符合题题；故选 D.点评：本题考查幕函数与对数函数的图象判断，容易题 9.设 为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数 t ，|b at |的最小值为1()A.若 确定，则|a|唯一确定 B. 若确定，则 | b |唯一确定C.若|a|确定，则唯一确定D.若|b |确定，则唯一确定【答案】D【解析】试题分析：依题意,对任意实数t ， |b at |1恒成立，所以(ta)2 b 22t | a | | b | cos 1恒成立, ，若为定值， 则当|b|为定值时二次函数才有最小值故选B.点评：本题考查平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等10. 如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练，已知点 A 刀枪面对而距离为【答案】C 【解析】AB ，某目标点P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P ， 需计算由点 A 观察点P 的仰角的大小 (仰角为直线AP 与平面ABC 所成的角) ，若 AB15m ， AC 25m ， BCM 30，则 tan的最大值B.-30 10C.4.3 9D.5,3 9试题分析: 由勾股定理知, BC 20，过点 P 作PP BC 交BC 于P ，连结AP ，则tanPP乔，设BPm ，则 CP 20m ，因为 BCM 30，是()3写不清，模棱两可均不得分 11. 设已知i 是虚数单位，计算1 1 【答案】 1丄)2 2【解析】 点评：本题考查复数的运算，容易题x 2y 4 0x y 1 0 ，则x y 的取值范围是x 1【答案】2 【解析】 x 2y 4 0 试题分析：不等式组表示的平面区域如图中ABC ，令z x y ，解方程组得C(2,1),x y 1x y 1 0解方程组 y得B(1,0)，平移直线z x y 经过点C 使得z 取得最大值，即 z Max 2 1 3，当直x 1线z x y 经过点B(1,0)使得z 取得最小值，即Z min 1 0 1 ,故x y 的取值范围是[1,3].点评：本题考查不等式组表示的平面区域，求目标函数的最值，容易题 13.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是 ____________ .所以tan#(2°_m ) \ 225 m 220 m..225 m 2 ，所以当x 0时去的最大值2015 4 J3故tan 的最大值为4 — 3 34.3""9-考点：本题考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等 •填空题：本大题共7小题，每小题 4分，共28分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书试题分析：因为1 i (1 i)21 i 1 i 2i 212.若、y 满足和3【答案】6【解析】试题分析： 当 S 0, i 1，则第一次运行 S 2 0 1 1, i1 1 2;第二次运行 S 2 1 1 4, i 2 1 3; 第三次运行 S 2 4 3 11, i 3 1 4 ；第四次运行 S 2 11 4 26, i 4 1 5;第五次运行S 2 26 5 57 50, i 5 1 6终止循环，故输出i 6.点评：本题考查程序框图，直到型循环结构，容易题14.在三张奖券中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为【答案】-3【解析】2 1知，所求的概率 p 2 丄.6 3点评：本题考查古典概型，容易题15.设函数f (x) x 22x2,x若 f( f (a))2，则 a2x , x 0【答案】4【解析】试题分析：若a 0，无解； 若a 0, 解得a 2.故a 2点评：本题考查分段函数，复合函数，容易题【答案】2 一3 3【解析】试题分析: 因为 a b c 0 ,所以 c(a b),所以a 2b 2 [ (a b)]21所以2b 2 2ab 2a 2 1 0, 故实数a 的最大值为 点评：本题考一元二次方程的根的判别式，容易题P(m,0)满足| PA | |PB|，则双曲线的离心率是【答案】 — 2【解析】y b x 与y -X ，分别与直线 x 3y m 0联立方程a a试题分析：基本事件的总数是3 2 16，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖只有2种情况，由古典概型公式16.已知实数a 、b 、c 满足a bc 0, a 2 bc 2 1，则a 的最大值为为 17.设直线x 3y m 0(m 0)与双曲线2 x2a2話 1(a 0,b0)的两条渐近线分别交于A 、B ,若试题分析：由双曲线的方程数知，其渐近线方程为,B （—亠丄），由| PA| | PB |，设AB 的中点为E ， a 3b' a 3b 丐0垂直，所以2a 2 8b 2 8（c 2 a 2），所以e .2渐近线与离心率，中等题组，解得A （」m _^m ） a3b 'a 3b因为PE 与直线x 3y m 点评：本题考查双曲线的性质、。
全国高考文科数学试题及答案浙江卷
20XX 年全国高考文科数学试题及答案-浙江选择题部分（共50分）一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设全集{1,2,3,4,5,6},U =设集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U PQ =.A {1,2,3,4,6} .B {1,2,3,4,5} .C {1,2,5} .D {1,2}2. 已知i 是虚数单位，则31ii+=- .A 12i - .B 2i - .C 2i + .D 12i + 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是.A 31cm .B 32cm .C 33cm .D 36cm4．设,a R ∈则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:240l x y ++=平行 的”.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面.A 若,, l l αβαβ则////// .B 若,, l a l βαβ⊥⊥则// .C 若,, l l αβαβ⊥⊥⊥则 .D 若,, l l αβαβ⊥⊥则//6.．把函数cos21y x =+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1 个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是7.设,a b 是两个非零向量。
.A 若||||||a b a b +=-，则a b ⊥ .B 若a b ⊥，则||||||a b a b +=-.C 若||||||a b a b +=-,则存在实数,λ使得b a λ= .D 若存在实数,λ使得,b a λ=则||||||a b a b +=-8．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。
若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是.A 3 .B 2 .C 3 .D 29．若正数x ，y 满足35, 34x y xy x y +=+则的最小值是.A 245 .B 285.C 5 .D 6 10．设0,0,a b e >>是自然对数的底数.A 若23a b e a e b +=+，则a b > .B 若23a b e a e b +=+，则a b < .C 若23a b e a e b -=-，则a b > .D 若23a b e a e b -=-，则a b <非选择题部分（共100分）(第20题图)E1B 1D 1D BC注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
高考浙江文科数学试题及答案(精校版)
2008年普通高等学校统一考试（浙江卷）数学(文科)试题第Ⅰ卷 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{},21|,0|≤≤-=>=x x B x x A 则B A = (A){}1|-≥x x (B) {}2|≤x x(C) {}20|≤<x x(D) {}21|≤≤-x x(2)函数1)cos (sin 2++=x x y 的最小正周期是（A ）2π（B ）π(C)23π(D) 2π(3)已知a ,b 都是实数，那么“22a b >”是“a >b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知{a n }是等比数列，2512,4a a ==,则公比q=(A)21-(B)-2(C)2(D)21 (5)已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a(A)21≤ab (B) 21≥ab (C)222≥+b a(D) 322≤+b a(6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15（B ）85（C ）-120（D ）274（7）在同一平面直角坐标系中，函数}[)2,0)(232cos(ππ∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0（B ）1 （C ）2（D ）4（8）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（A ）3（B ）5（C ）3（D ）5（9）对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得（A ）αα⊂⊂b a , （B ）b a ,α⊂∥α（C ）αα⊥⊥b a ,(D)αα⊥⊂b a ,(10)若,0,0≥≥b a 且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有1≤+by ax ,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是(A)21 (B)4π (C)1 (D)2π 第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
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2016年浙江省高考文科数学试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q （）=A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}2.已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n3.函数y =sin x 2的图象是4.若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 35 2 32 55.已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则A.(1)(1)0a b --<B. (1)()0a a b -->C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a -->6.已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x ≥∈R .A.若()f a b ≤，则a b ≤B.若()2b f a ≤，则a b ≤C.若()f a b ≥，则a b ≥D.若()2b f a ≥，则a b ≥8.如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.10.已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12．设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，则实数a=_____，b=______．13．设双曲线x2–23y=1的左、右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______．14．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．15．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2a cos B．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cos B=23，求cos C的值．17.（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.18.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.（本题满分15分）如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1.（I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.20.（本题满分15分）设函数()f x =311x x ++，[0,1]x ∈.证明： （I ）()f x 21x x ≥-+； （II ）34<()f x 32≤.2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题1.【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】D4.【答案】B5. 【答案】D6. 【答案】A7. 【答案】B8. 【答案】A二、填空题9. 【答案】80；40．10.【答案】(2,4)--；5．11.；1．12．【答案】－2；1．13．【答案】．14．【答案】915三、解答题16．【答案】（1）证明详见解析；（2）22cos 27C =. 【解析】 试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力．试题解析：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是，sin sin()B A B =-，又,(0,)A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此，A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =.（2）由2cos 3B =，得sin 3B =，21cos 22cos 19B B =-=-， 故1cos 9A =-，sin A =，22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=.考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【结束】17.【答案】（1）1*3,n n a n N -=∈；（2）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力．试题解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩，又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=，得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.（2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==.当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.当3n ≥时，229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-， 所以，2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.考点：等差、等比数列的基础知识.【结束】18.【答案】（1）证明详见解析；（2）7.【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力．试题解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD .（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角，在Rt BFD ∆中，33,2BF DF ==，得21cos 7BDF ∠=， 所以直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为21.考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【结束】19. 【答案】（1）p=2；（2）()(),02,-∞+∞.【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的第一得12p =，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得 2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又直线AB 的斜率为212t t-，故直线FN 的斜率为212t t --， 从而的直线FN:()2112t y x t -=--，直线BN:2y t=-， 所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭， 设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+---， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意. 综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【结束】20.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到41111x x x-≤++，从而得到结论；第二问，由01x ≤≤得3x x ≤，进行放缩，得到()32f x ≤，再结合第一问的结论，得到()34f x >，从而得到结论. 试题解析：(Ⅰ)因为()()4423111,11x x x x x x x----+-==--+由于[]0,1x ∈，有411,11x x x -≤++即23111x x x x-≤-++， 所以()21.f x x x ≥-+(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++， 所以()32f x ≤.由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >， 综上，()33.42f x <≤考点：函数的单调性与最值、分段函数.【结束】。