2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷

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14年高考真题——文科数学(辽宁卷)-推荐下载

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6

(D) c a b

(D) p q
辽宁
(D)
2014 年高考真题文科数学(解析版) 卷
8.已知点 A2, 3在抛物线 C : y2 2 px 的准线上,记 C 的焦点为 F ,则直线
AF 的斜率为( )
(A) 4 3
(B) 1
9.设等差数列an的公差为 d ,若数列2a1an 为递减数列,则( )
⑴根据表中数据,问是否有 95%的把握认为
“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯
,求:⑴
a

方面有差异”; ⑵已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,
现在从这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率。
附: 2 n n11n22 n12n21 2 ,

(A)5, 3
(D)4, 3
(B)6, 9 8
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.执行右侧的程序框图,若输入 n 3 ,则输出T

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对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电通,力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置,机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2,荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷,管调需路控要习试在题验最到;大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资,常料要工试加况卷强下安看与全22过,22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资;中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整,高核或中对者资定对料值某试,些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位,卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置,地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中,案资要,料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气,设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术,技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式;资,对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资,件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调,并试合且技理进术利行,用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活:。。在对对分于于线调差盒试动处过保,程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试,题技应,术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进,变行需压隔要器开在组处事在理前发;掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时,、,强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试,卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用,关高要技中进术资行资料检料试查,卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

2014年(辽宁卷)普通高等学校招生全国统一考试(文科)数学(含解析)

2014年(辽宁卷)普通高等学校招生全国统一考试(文科)数学(含解析)

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B = ( ) A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x <<2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i -3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则//n αD .若//m α,m n ⊥,则n α⊥5.设,,a b c是非零向量,已知命题P :若0a b ⋅= ,0b c ⋅= ,则0a c ⋅=;命题q :若//,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A .2π B .4π C .6π D .8π7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .82π- B .8π- C .82π-D .84π-8. 已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( )A .43-B .1-C .34-D .12- 【答案】C 【解析】9. 设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a为递减数列,则( ) A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d >10.已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤的解集为( ) A .1247[,][,]4334 B .3112[,][,]4343--C .1347[,][,]3434D .3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( )A .在区间7[,]1212ππ上单调递减B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增12. 当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[5,3]--B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3]--第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 执行右侧的程序框图,若输入3n =,则输出T = .14.已知x,y满足条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数34z x y=+的最大值为.15. 已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .16. 对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 .三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分12分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙= ,1cos 3B =,3b =,求:(Ⅰ)a 和c 的值; (Ⅱ)cos()B C -的值.18. (本小题满分12分)某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:(Ⅰ)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”; (Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.19. (本小题满分12分)如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 、G分别为AC、DC、AD的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥平面BCG;(Ⅱ)求三棱锥D-BCG的体积.附:椎体的体积公式13V Sh=,其中S为底面面积,h为高.20. (本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).(Ⅰ)求点P 的坐标;(Ⅱ)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:l y x =A ,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.【考点定位】1、直线方程;2、椭圆的标准方程;3、弦长公式和点到直线的距离公式. 21. (本小题满分12分)已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---,2()(1xg x x ππ=--.证明:(Ⅰ)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =;(Ⅱ)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的01x x π+>.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲,连接DG并延长交圆于点A,作如图,EP交圆于E、C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG PD弦AB垂直EP,垂足为F.(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (Ⅰ)写出C 的参数方程;(Ⅱ)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与垂直的直线的极坐标方程.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N.(Ⅰ)求M ;(Ⅱ)当x M N ∈ 时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.。

2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(辽宁卷带解析)答案解析

2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(辽宁卷带解析)答案解析

2014年全国普通高等学校招生统一考试文科(辽宁卷)数学答案解析1、【答案】D【解析】试题分析:由已知得,或,故.考点:集合的运算.2、【答案】A【解析】试题分析:由已知得,.考点:复数的运算.3、【答案】C【解析】试题分析:因为,,,故.考点:指数函数和对数函数的图象和性质.4、【答案】B【解析】试题分析:若则或相交或异面,故A错;若,,,由直线和平面垂直的定义知,,故B正确;若,,则或,故C错;若,,则与位置关系不确定,故D错.考点:空间直线和平面的位置关系.5、【答案】A【解析】试题分析:若,,则,故,故命题是假命题;若,则,故命题是真命题,由复合命题真假判断知,是真命题,选A.考点:1、平面向量的数量积运算;2、向量共线.6、【答案】B【解析】试题分析:将一个质点随机投入长方形ABCD中,基本事件总数有无限多个,故可考虑几何概型求概率.由已知得,以AB为直径的半圆的面积为.又长方形ABCD的面积为,故质点落在以AB为直径的半圆内的概率是,选B.考点:几何概型.7、【答案】B【解析】试题分析:由三视图还原几何体,得该几何体是棱长为2的正方体,切去底面半径为1、高为4的两个四分之一圆柱得到的几何体,故体积为,选B.考点:三视图.8、【答案】C【解析】试题分析:由已知得,抛物线的准线方程为,且过点,故,则,,则直线AF的斜率,选C.考点:1、抛物线的标准方程和简单几何性质;2、直线的斜率.9、【答案】C【解析】试题分析:由已知得,,即,,又,故,从而,选C.考点:1、等差数列的定义;2、数列的单调性.10、【答案】A【解析】试题分析:先画出当时,函数的图象,又为偶函数,故将轴右侧的函数图象关于轴对称,得轴左侧的图象,如下图所示,直线与函数的四个交点横坐标从左到右依次为,由图象可知,或,解得,选A.考点:1、分段函数;2、函数的图象和性质;3、不等式的解集.11、【答案】B【解析】试题分析:将函数的图象向右平移个单位长度,得到,令,解得,故递增区间为(),当时,得递增区间为,选B.考点:1、三角函数图象变换;2、三角函数的单调性.12、【答案】C【解析】试题分析:不等式变形为.当时,,故实数a的取值范围是;当时,,记,,故函数递增,则,故;当时,,记,令,得或(舍去),当时,;当时,,故,则.综上所述,实数a的取值范围是.考点:利用导数求函数的极值和最值.13、【答案】【解析】试题分析:输入,在程序执行过程中,的值依次为;;;;,程序结束.输出.考点:程序框图.14、【答案】【解析】试题分析:画出可行域,如下图所示,将目标函数变形为,当取到最大值时,直线的纵截距最大,故将直线向上平移到过点C时,目标函数取到最大值,,得,故.考点:线性规划.15、【答案】【解析】试题分析:如图所示,由已知条件得,点分布是椭圆的左、右焦点,且,分别是线段的中点,则在和中,,,又由椭圆定义得,,故.16、【答案】【解析】试题分析:设,则,代入到中,得,即……①因为关于的二次方程①有实根,所以,可得,取最大值时,或,当时,,当时,,综上可知当时,的最小值为.考点:1、一元二次方程根的判别式;2、二次函数求值域.17、【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)由及向量数量积的定义,得,从而,故再寻求关于的等式是解题关键.由,不难想到利用余弦定理,得,进而联立求;(2)利用差角余弦公式将展开,涉及的正弦值和余弦值.由可求,因为三角形三边确定,故可利用正弦定理或余弦定理求值,代入即可求的值.(1)由得,.又.所以.由余弦定理,得.又.所以.解得或.因为.所以.(2)在中,.由正弦定理得,.因,所以为锐角.因此.于是.考点:1、平面向量数量积定义;2、正弦定理;3、余弦定理.18、【答案】(1)有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)【解析】试题分析:(1)将列联表中的数据代入公式计算,得的值,然后与表格中的比较,若小于,则有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)从5名学生中随机抽取3人,有10种结果,构成基本事件空间,其中“至多有1人喜欢甜品”这个事件包含7个基本事件,代入古典概型的概率计算公式即可.(1)将列联表中的数据代入公式计算.得.由于.所以有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)从5名数学系的学生任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间,,,.其中表示喜欢甜品的学生,.表示不喜欢甜品的学生,.由10个基本事件组成,切这些基本事件出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则.事件A是由7个基本事件组成.因而.考点:1、独立性检验;2、古典概型.19、【答案】(1)详见解析;(2)【解析】试题分析:(1)由已知得,是的中位线,故,则可转化为证明平面BCG.易证,则有,则在等腰三角形和等腰三角形中,且是中点,故,.从而平面BCG,进而平面BCG;(2)求四面体体积,为了便于计算底面积和高,往往可采取等体积转化法.由平面平面,利用面面垂直的性质,易作出面的垂线,同时求出点到面的距离,从而可求出点到平面距离,即四面体的高,进而求四面体体积.(1)证明:由已知得.因此.又为中点,所以;同理;因此平面.又.所以平面BCG.(2)在平面内.作.交延长线于.由平面平面.知平面.又为中点,因此到平面距离是长度的一半.在中,.所以.考点:1、直线和平面垂直的判定;2、面面垂直的性质;3、四面体的体积.20、【答案】(1);(2)【解析】试题分析:(1)首先设切点,由圆的切线的性质,根据半径的斜率可求切线斜率,进而可表示切线方程为,建立目标函数.故要求面积最小值,只需确定的最大值,由结合目标函数,易求;(2)设椭圆标准方程为,点在椭圆上,代入点得①,利用弦长公式表示,利用点到直线距离公式求高,进而表示的面积,与①联立,可确定,进而确定椭圆的标准方程.(1)设切点坐标为.则切线斜率为.切线方程为.即.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积.由知当且仅当时,有最大值.即有最小值.因此点的坐标为.(2)设的标准方程为.点.由点在上知.并由得.又是方程的根,因此,由,,得.由点到直线的距离为及得.解得或.因此,(舍)或,.从而所求的方程为.考点:1、直线方程;2、椭圆的标准方程;3、弦长公式和点到直线的距离公式.21、【答案】(1)详见解析;(2)详见解析【解析】试题分析:(1)依题意,只需证明函数在区间上存在唯一零点.往往转化为利用导数判断函数单调性、极值点,从而判断函数大致图象,进而说明零点分布情况.本题当时,,故在上为增函数,再说明端点函数值异号;(2)与(1)类似,只需证明函数在区间上存在唯一零点.但是不易利用导数判断函数大致图象,考虑到结论中,故需考虑第二问与第一问的关系,利用(1)的结论,设,则,,根据第一问中的符号,从而可判断函数的单调性,进而判断函数大致图象,确定函数的零点,寻求函数的零点与零点的关系,从而证明不等式.证明:(1)当时,,所以在上为增函数.又..所以存在唯一,使.(2)当时,化简得.令.记..则.由(1)得,当时,;当时,.从而在上为增函数,由知,当时,,所以在上无零点.在上为减函数,由及知存在唯一,使得.于是存在唯一,使得.设..因此存在唯一的,使得.由于,,所以.考点:1、函数的零点;2、利用导数判断函数单调性;3、利用导数求函数的最值.22、【答案】(1)详见解析;(2)详见解析【解析】试题分析:(1)要证明为圆的直径,只需证明,结合,在和中,只需证明,从而转化为证明,由弦切角定理以及很容易证明;(2)要证明,由(1)得,只需证明为圆的直径.连接,只需证明.只需证明.因为,故,根据同弧所对的圆周角相等得,故,从而.得证(1)因为.所以.由于为切线,所以.又由于,所以.由于,所以,.故为圆的直径.(2)连接.由于是直径,故.在和中,,.从而.于是.又因为,所以.又因为,所以.故.由于,所以,为直角.于是为直径.由(1)得,.考点:1、三角形全等;2、弦切角定理;3、圆的性质.23、【答案】(1)(为参数);(2)【解析】试题分析:(1)由平面直角坐标系中的伸缩变换得变换前后对应的坐标关系.即,反解并代入圆中,得曲线C的普通方程.进而写出参数方程;(2)将直线与圆联立,求的交点的坐标,从而可确定与垂直的直线方程.再利用化直线的直角坐标方程为极坐标方程.(1)设为圆上的点,经变换为上点.依题意,得由得.即曲线的方程为.故C的参数方程为(为参数).(2)由解得或不妨设.则线段的中点坐标为.所求直线的斜率为.于是所求直线方程为.化为极坐标方程为,即.考点:1、伸缩变换;2、曲线的参数方程;2、曲线的极坐标方程.24、【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析:(1)不等式变形为,然后分类讨论去绝对号解不等式得不等式解集;(2)解不等式,得.故.当时,,此时.代入中为二次函数,求其最大值即可.(1)当时,由得.故;当时,由得,故.所以的解集为.(2)由得.,故.当时,,故.考点:1、绝对值不等式解法;2、二次函数最值.。

2014年高考文科数学辽宁卷及答案解析

2014年高考文科数学辽宁卷及答案解析

数学试卷 第1页(共21页)数学试卷 第2页(共21页)数学试卷 第3页(共21页)绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U =R ,{|0}A x x =≤,{|}B x x =≥1,则集合()UAB =ð( ) A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x <<2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =( ) A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则( ) A .b a c >>B .a c b >>C .c b a >>D .c a b >>4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则n α∥D .若m α∥,m n ⊥,则n α⊥5.设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p :若a b 0=,b c 0=,则a c 0=; 命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中2AB =,1BC =,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A .π2B .π4C .π6D .π87.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .π84-B .π82-C .8π-D .82π-8.已知点(2,3)A -在抛物线C :22ypx =的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( )A .43-B .1-C .34-D .12-9.设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}na a 为递减数列,则( )A .0d >B .0d <C .10a d >D .10a d <10.已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos π,[0,],2()121,(,),2x x f x x x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则不等式1(1)2f x -≤的解集为( )A .1247[,][,]4334B .3112[,][,]4343--C .1347[,][,]3434D .3113[,][,]4334--11.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( )A .在区间π7π[,]1212上单调递减B .在区间π7π[,]1212上单调递增C .在区间ππ[,]63-上单调递减D .在区间ππ[,]63-上单调递增12.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ) A .[5,3]--B .9[6,]8--C .[6,2]--D .[4,3]--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共21页)数学试卷 第5页(共21页)数学试卷 第6页(共21页)13.执行右侧的程序框图,若输入3n =,则输出T =________. 14.已知x ,y 满足约束条件220240330x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤ 则目标函数34z x y =+的最大值为________.15.已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN +=________.16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时,124a bc++的最小值为________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a c >.已知2BA BC =,1cos 3B =,3b =.求:(Ⅰ)a 和c 的值; (Ⅱ)cos()B C -的值.18.(本小题满分12分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进(Ⅰ)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.19.(本小题满分12分)如图,ABC △和BCD △所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,120ABC DBC ∠=∠=,E ,F ,G 分别为AC ,DC ,AD 的中点.(Ⅰ)求证:EF ⊥平面BCG ; (Ⅱ)求三棱锥D BCG -的体积.附:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高.20.(本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (Ⅰ)求点P 的坐标;(Ⅱ)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :y x =+交于A ,B 两点.若PAB △的面积为2,求C 的标准方程.21.(本小题满分12分)已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---,2()(π1πxg x x =--. 证明:(Ⅰ)存在唯一0π(0,)2x ∈,使0()0f x =; (Ⅱ)存在唯一1π(,π)2x ∈,使1()0gx =,且对(Ⅰ)中的0x ,有01πx x +>.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题附:22112212211212()+n n n n n n n n n χ++-=+,数学试卷 第7页(共21页)数学试卷 第8页(共21页)数学试卷 第9页(共21页)号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F . (Ⅰ)求证:AB 为圆的直径; (Ⅱ)若AC BD =,求证:AB ED =.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参考方程 将圆221xy +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .(Ⅰ)写出C 的参数方程;(Ⅱ)设直线l :220x y +-=与C 的交点为1P ,2P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+.记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N .(Ⅰ)求M ; (Ⅱ)当x M N ∈时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷){|AB x x =){|0AB x =【提示】先求A B ,再根据补集的定义求)AB ð.【考点】交、并、补集的混合运算【解析】(2i)(2z -【提示】把给出的等式两边同时乘以B 运用线面垂直的性质,即可判断;C 运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;D 运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系A【解析】若0a b =,0b c =,则a b b c =,即()0a c b -=,则0a c =不一定成立,故命题p 为假命题.若a b ∥,b c ∥,则a c ∥,故命题q 为真命题.则p q ∨,命题,故选A.的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.数学试卷 第10页(共21页)数学试卷 第11页(共21页)数学试卷 第12页(共21页)【解析】等差数列(123)++++++的值,当输入(123i)++++++的值,距最大,即最大.max .,Q数学试卷 第13页(共21页)数学试卷 第14页(共21页)数学试卷 第15页(共21页)【解析】242a ab -不等式得,23232b ⎤⎛⎫⎤=⎥⎦(Ⅰ)由2B A B C =得2cos ac B .2c =232+2sin c B b ⨯=C 1⎛=- 2BA BC =1cos 3B =代入求出6ac =,再利用余弦定理列出关系式,将b ,cos B 以及ac 的值代入得到22(Ⅱ)利用古典概型概率公式,即可求解.【考点】独立性检验的应用,古典概型及其概率计算公式Ⅰ)AB BC =G 为AD 的中点,CG ∴.CG BG G =,BGC .EF AD ∥EF ∴⊥平面BCG (Ⅱ)在平面,∆.G 6B=11sin1203322BD BC ︒=00014482x y x y =再根据2200x y +=数学试卷 第16页(共21页)数学试卷 第17页(共21页)数学试卷 第18页(共21页)122d AB =,解得()221k ⎡=+⎣2232b b -,代入上式得2231683b b -= 或26b =,所以椭圆方程为:P 00(,)x y 切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成的三角形的面积008S x y =.再利用基122d AB =,求出【考点】直线与圆锥曲线的综合问题(Ⅰ)()πf x =.()πf x '=上单调递增.(Ⅱ)()(g x =cos (π)1sin x x x --++cos 1sin x x ++cos )1sin x x -++由导数法可得函数的零点,可得不等式【考点】函数零点的判定定理 )PD PG PDG PGD PD=∴∠=∠为切线,PDA DBA ∴∠=∠,PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠,NDA PFA ∴∠=∠.9090AF EP PFA BDA AB ⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为圆的直径.(Ⅱ)连接BC ,DC .90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径,在Rt BDA △与Rt ACB △中,AB BA AC BD ==,, Rt BDA Rt ACB ∴△≌△,DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠,DCB CBA ∴∠=∠,DC AB ∴∥.AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠,为直角,∴ED 为圆的直径,AB 为圆的直径,AB ED ∴=.(Ⅱ)由214220x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩,可得10x y =⎧⎨=⎩,02x y =⎧⎨=⎩,不妨设1(1,0)P 、2(0,2)P , 则线段12P P 的中点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,再根据与l 垂直的直线的斜率为12, 故所求的直线的方程为111y x ⎛⎫-=- ⎪,即3220x y -+=.数学试卷 第19页(共21页) 数学试卷 第20页(共21页) 数学试卷 第21页(共21页)【提示】(Ⅰ)在曲线C 上任意取一点(,)x y ,再根据点,2y x ⎛⎫⎪⎝⎭在圆221x y +=上,求出C 的方程,化为参数方程.(Ⅱ)由2()16814g x x x =-+≤,求得1344x -≤≤,,44N ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦,M N ∴=30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 当x MN ∈时,()1f x x =-,22()[()]()[x ()]x f x x f x xf x f x +=+2111424x ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭,故要证的不等式成立.【提示】(Ⅰ)由所给的不等式可得1331x x ≥⎧⎨-≤⎩①,或111x x <⎧⎨-≤⎩②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求.N =30,4⎡⎢⎣MN 时,f ,显然它小于或等于14,要证的不等式。

2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·辽宁卷(文科数学)

2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·辽宁卷(文科数学)

2014·辽宁卷(文科数学)1.[2014·辽宁卷] 已知全集U =R ,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( )A .{x |x ≥0}B .{x |x ≤1}C .{x |0≤x ≤1}D .{x |0<x <1}1.D [解析]由题意可知,A ∪B ={x |x ≤0或x ≥1},所以∁U (A ∪B )=x |0<x <1}. 2.[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z -2i)(2-i)=5,则z =( ) A .2+3iB .2-3iC .3+2iD .3-2i2.A [解析]由(z -2i)(2-i)=5,得z -2i =52-i=2+i ,故z =2+3i.3.、[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >b >aD .c >a >b3.D [解析]因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .4.[2014·辽宁卷] 已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n C .若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α D .若m ∥α,m ⊥n ,则n ⊥α4.B [解析]由题可知,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 平行、相交或异面,所以A 错误;若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n ,故B 正确;若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊂α,故C 错误;若m ∥α,m ⊥n ,则n ∥α或n ⊥α或n 与α相交,故D 错误.5.、[2014·辽宁卷] 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a·c =0;命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q )5.A [解析]由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q6.[2014·辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图1-1所示的长方形ABCD 中,其中AB =2,BC =1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π86.B [解析]由题意AB =2,BC =1,可知长方形ABCD 的面积S =2×1=2,以AB 为直径的半圆的面积S 1=12×π×12=π2.故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P =π22=π4.7.、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-2所示,则该几何体的体积为( )A .8-π4B .8-π2C .8-πD .8-2π7.C [解析]根据三视图可知,该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的部分,故该几何体体积V =23-12×π×12×2=8-π.8.[2014·辽宁卷] 已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( )A .-43B .-1C .-34D .-128.C [解析]因为抛物线C :y 2=2px 的准线为x =-p2,且点A (-2,3)在准线上,故-p 2=-2,解得p =4,所以y 2=8x ,所以焦点F 的坐标为(2,0),这时直线AF 的斜率k AF =3-0-2-2=-34.9.[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d ,若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ) A .d >0B .d <0 C .a 1d >0D .a 1d <09.D [解析]令b n =2a 1a n ,因为数列{2a 1a n }为递减数列,所以 b n +1b n =2a 1a n +12a 1a n=2a 1(a n+1-a n )=2a 1d <1,所以a 1d <0.10.[2014·辽宁卷] 已知f (x )为偶函数,当x ≥0时,f (x )=⎩⎨⎧cos πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤0,12,2x -1,x ∈⎝⎛⎭⎫12,+∞,则不等式f (x -1)≤12的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤14,23∪⎣⎡⎦⎤43,74B.⎣⎡⎦⎤-34,-13∪⎣⎡⎦⎤14,23 C.⎣⎡⎦⎤13,34∪⎣⎡⎦⎤43,74D.⎣⎡⎦⎤-34,-13∪⎣⎡⎦⎤13,3410.A [解析]由题可知,当x ∈⎣⎡⎦⎤0,12时,函数f (x )单调递减,由cos πx ≤12,得13≤x ≤12;当x ∈⎝⎛⎭⎫12,+∞时,函数f (x )单调递增,由2x -1≤12,得12<x ≤34.故当x ≥0时,由f (x )≤12,得13≤x ≤34.又因为f (x )为偶函数,所以f (x )≤12的解解集为⎣⎡⎦⎤-34,-13∪⎣⎡⎦⎤13,34,所以不等式f (x -1)≤12的解满足-34≤x -1≤-13或13≤x -1≤34,解得x ∈⎣⎡⎦⎤14,23∪⎣⎡⎦⎤43,74. 11.[2014·辽宁卷] 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增11.B [解析]将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,得到y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -23π的图像,函数单调递增,则-π2+2k π≤2x -23π≤π2+2k π,k ∈Z ,即π12+k π≤x ≤7π12+k π,k ∈Z ,即函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x -23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12+k π,7π12+k π,k ∈Z ,当k =0时,可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增.12.、[2014·辽宁卷] 当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[-5,-3] B.⎣⎡⎦⎤-6,-98 C .[-6,-2] D .[-4,-3]12.C [解析]当-2≤x <0时,不等式可转化为a ≤x 2-4x -3x 3,令f (x )=x 2-4x -3x 3(-2≤x <0),则f ′(x )=-x 2+8x +9x 4=-(x -9)(x +1)x 4,故函数f (x )在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增,此时有a ≤f min (x )=f (-1)=1+4-3-1=-2.当x =0时,不等式恒成立.当0<x ≤1时,a ≥x 2-4x -3x 3,令g (x )=x 2-4x -3x 3(0<x ≤1),则g ′(x )=-x 2+8x +9x 4,故函数g (x )在(0,1]上单调递增,此时有a ≥g max (x )=g (1)=1-4-31=-6. 综上,-6≤a ≤-2. 13.[2014·辽宁卷] 执行如图1-3所示的程序框图,若输入n =3,则输出T =________. 13.20[解析]由题意可知,第一步,i =1,S =1,T =1;第二步,i =2,S =3,T =4;第三步,i =3,S =6,T =10;第四步,i =4,S =10,T =20.14.[2014·辽宁卷] 已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -2≥0,x -2y +4≥0,3x -y -3≤0,则目标函数z =3x +4y 的最大值为________.14.18 [解析]不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,由z =3x +4y 得y =-34x+z4,当直线经过点C 时,z 取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +4=0,3x -y -3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =3,故C 点坐标为(2,3),这时z =3×2+4×3=18.15.[2014·辽宁卷] 已知椭圆C :x 9+y4=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=________.15.12 [解析]设MN 的中点为G ,则点G 在椭圆C 上,设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ,点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ,则有|GF 1|=12·|AN |,|GF 2|=12|BN |,所以|AN |+|BN |=2(|GF 1|+|GF 2|)=4a =12.16.[2014·辽宁卷] 对于c >0,当非零实数a ,b 满足4a 2-2ab +b 2-c =0且使|2a +b |最大时,1a +2b +4c的最小值为________.16.-1 [解析]因为4a 2-2ab +b 2-c =0,所以(2a +b )2-c =6ab =3×2ab ≤3×(2a +b )24,所以(2a +b )2≤4c ,当且仅当b =2a ,c =4a 2时,|2a +b |取得最大值.故1a +2b +4c =2a +1a 2=⎝⎛⎭⎫1a +12-1,其最小值为-1.17.、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC →=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2,得c ·a cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2.因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23×223=429.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4292=79. 于是cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C = 13×79+2 23×4 29=2327. 18.、[2014·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行(1)习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:χ2=n (n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2++,18.解:(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=n (n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762.由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a 1,a 2,b 1),(a 1,a 2,b 2),(a 1,a 2,b 3),(a 1,b 1,b 2),(a 1,b 1,b 3),(a 1,b 2,b 3),(a 2,b 1,b 2),(a 2,b 1,b 3),(a 2,b 2,b 3),(b 1,b 2,b 3)},其中a i 表示喜欢甜品的学生,i =1,2,b j 表示不喜欢甜品的学生,j =1,2,3. Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A ={(a 1,b 1,b 2),(a 1,b 1,b 3),(a 1,b 2,b 3),(a 2,b 1,b 2),(a 2,b 1,b 3),(a 2,b 2,b 3),(b 1,b 2,b 3)}.事件A 由7个基本事件组成,因而P (A )=710.19.、[2014·辽宁卷] 如图1-4所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB =BC=BD =2,∠ABC =∠DBC =120,AD 的中点.(1)求证:EF ⊥平面BCG ; (2)求三棱锥D -BCG 的体积.附:锥体的体积公式V =13Sh ,其中S 为底面面积,h 为高.19.解:(1)证明:由已知得△ABC ≌△DBC , 因此AC =DC .又G 为AD 的中点,所以CG ⊥AD ,同理BG ⊥AD .又BG ∩CG =G ,所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ,所以EF ⊥平面(2)在平面ABC 内,作AO ⊥CB 由平面ABC ⊥平面BCD ,知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 的中点,所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半. 在△AOB 中,AO =AB ·sin60°=3,所以V 三棱锥D -BCG =V 三棱锥G -BCD =13·S △DBC·h =13×12·BD ·BC ·sin120°·32=12. 20.、、[2014·辽宁卷] 圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P ((1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :y =x +3交于A ,B 两点,若△P AB 的面积为2,求C 的标准方程.20.解:(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x 0y 0,切线方程为y -y 0=-x 0y 0(x -x 0),即x 0x +y 0y =4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为⎝⎛⎭⎫4x 0,0,⎝⎛⎫0,4y 0,其围成的三角形的面积S =12·4x 0·4y 0=8x 0y 0.由x 20+y 20=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=2时x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P 的坐标为(2,2).(2)设C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由点P 在C 上知2a2+2b2=1,并由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1,y =x +3,得b 2x 2+43x +6-2b 2=0. 又x 1,x 2是方程的根,所以⎩⎨⎧x 1+x 2=-43b2,x 1x 2=6-2b 2b2.由y 1=x 1+3,y 2=x 2+3,得|AB |=4 63|x 1-x 2|=2·48-24b 2+8b 4b 2.由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB =12×32|AB |=2,得|AB |=4 63,即b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a 2=3(舍)或b 2=3,a 2=6,从而所求C 的方程为x 26+y 23=1.21.、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=π(x -cos x )-2sin x -2,g (x )=(x -π)1-sin x 1+sin x +2xπ-1.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1>π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎫0,π2时,f ′(x )=π+πsin x -2cos x >0,所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,π2上为增函数.又f (0)=-π-2<0,f ⎝⎛⎭⎫π2=π22-4>0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,化简得g (x )=(π-x )·cos x 1+sin x +2xπ-1.令t =π-x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=g (π-t )=-t cos t 1+sin t -2πt +1,则u ′(t )=f (t )π(1+sin t ). 由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )<0;当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )>0.所以在⎝⎛⎫x 0,π2上u (t )为增函数,由u ⎝⎛⎭⎫π2=0知,当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0,π2时,u (t )<0,所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0,π2上无零点.在(0,x 0)上u (t )为减函数,由u (0)=1及u (x 0)<0知存在唯一t 0∈(0,x 0),使u (t 0)=0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎫0,π2,使u (t 0)=0.设x 1=π-t 0∈⎝⎛⎭⎫π2,π,则g (x 1)=g (π-t 0)=u (t 0)=0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.由于x 1=π-t 0,t 0<x 0,所以x 0+x 1>π. 22.[2014·辽宁卷] 选修4-1:几何证明选讲如图1-6,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG =PD ,连接DG并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .(1)求证:AB 为圆的直径;(2)若AC =BD ,求证:AB =ED .22.证明:(1)因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD . 由于PD 为切线,故∠PDA =∠DBA .又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA , 所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD , 从而∠BDA =∠PF A .因为AF ⊥EP ,所以∠PF A =90°,所以∠BDA =90°,故AB 为圆的直径. (2)连接BC ,DC .由于AB 是直径,故∠BDA 在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD ,从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ,所以∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故DC ∥AB . 因为AB ⊥EP ,所以DC ⊥EP ,∠DCE 为直角.所以ED 为直径.又由(1)知AB 为圆的直径,所以ED =AB . 23.[2014·辽宁卷] 选修4-4:坐标系与参数方程将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . (1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.23.解:(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,经变换为C 上的点(x ,y ),依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧x =x 1,y =2y 1.由x 21+y 21=1得x 2+⎝⎛⎭⎫y 22=1,即曲线C 的方程为x 2+y 24=1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos t ,y =2sin t(t 为参数).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 24=1,2x +y -2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =2.不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12,1,所求直线斜率k =12,于是所求直线方程为y -1=12⎝⎛⎭⎫x -12,即2x -4y =-3,化为极坐标方程,得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=34sin θ-2cos θ.24.[2014·辽宁卷] 选修4-5:不等式选讲设函数f (x )=2|x -1|+x -1,g (x )=16x 2-8x +1.记f (x )≤1的解集为M ,g (x )≤4的解集为N .(1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f (x )+x [f (x )]2≤14.24.解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1).当x ≥1时,由f (x )=3x -3≤1得x ≤43,故1≤x ≤43;当x <1时,由f (x )=1-x ≤1得x ≥0, 故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43.(2)由g (x )=16x 2-8x +1≤4得16⎝⎛⎭⎫x -142≤4,解得-14≤x ≤34,因此N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x -14≤x ≤34,故M ∩N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时,f (x )=1-x ,于是 x 2f (x )+x ·[f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=xf (x )=x (1-x )=14-⎝⎛⎭⎫x -122≤14.。

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)

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2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=()A.(﹣2,1)B.(﹣1,1)C.(1,3) D.(﹣2,3)2.(5分)若tanα>0,则()A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>03.(5分)设z=+i,则|z|=()A.B.C.D.24.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=()A.2 B.C.D.15.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=()A.1 B.2 C.4 D.811.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.﹣5 B.3 C.﹣5或3 D.5或﹣312.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.(5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为.15.(5分)设函数f(x)=,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.16.(5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=m.三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(12分)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18.(12分)从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2﹣8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.21.(12分)设函数f(x)=alnx+x2﹣bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。

2014年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析

2014年辽宁省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)把给出的等式两边同时乘以3.(5分)(2014•辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则()2<c=log5.(5分)(2014•辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()•=0•=0,则••,即()=0,则•∥,∥,则∥平行,故命题6.(5分)(2014•辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()BS=为直径的半圆内的概率是7.(5分)(2014•辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()﹣﹣圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面圆柱,×8.(5分)(2014•辽宁)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为﹣=的斜率为=.9.(5分)(2014•辽宁)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2}为递减数列,则()<}∴<∴10.(5分)(2014•辽宁)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=,则不等式f(x﹣1)≤的解集为(),]∪[,],﹣]∪[,],]∪[,],﹣]∪[,]的解,然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上≤],即x=x=,时,由,得,x=≤的解为,≤的解为﹣≤,的解为或﹣≤≤或≤,≤或≤,≤{x|≤或≤的11.(5分)(2014•辽宁)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图[,][,,],[,]2x+)的图象向右平移个单位长度,)]﹣当函数递增时,由,得,]12.(5分)(2014•辽宁)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取,﹣]≥=﹣二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(2014•辽宁)执行如图的程序框图,若输入n=3,则输出T=20.14.(5分)(2014•辽宁)已知x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+4y 的最大值为18.作出可行域如图,,解得,为直线方程的斜截式,得:由图可知,当直线15.(5分)(2014•辽宁)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C 的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=12.,易得,,16.(5分)(2014•辽宁)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为﹣1.,转化为=++∴=[][]∴∴++=三、解答题17.(12分)(2014•辽宁)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:(Ⅰ)a和c的值;(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.)利用平面向量的数量积运算法则化简•=2)∵=2cosB=,sinB===由正弦定理=sinB=×==,×+×.18.(12分)(2014•辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进(Ⅰ)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:X2=≈人,共有名喜欢甜品,有人喜欢甜品的概率19.(12分)(2014•辽宁)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCG;(Ⅱ)求三棱锥D﹣BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.====×=20.(12分)(2014•辽宁)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(Ⅰ)求点P的坐标;(Ⅱ)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A、B两点,若△PAB的面积为2,求C的标准方程..再利用基本不等式求得=1+S=则切线的斜率为﹣••==4=的坐标为(,=1,∴=1,=+|x=•.,y=x+,•时,由+=1+=121.(12分)(2014•辽宁)已知函数f(x)=π(x﹣cosx)﹣2sinx﹣2,g(x)=(x﹣π)+﹣1.证明:(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0;(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0,有x0+x1>π.,)﹣﹣t+1,,)上为增函数,)﹣,[﹣+﹣﹣],)时,)上为增函数,))时,,,,,四、选考题,请考生在22-24三题中任选一题作答,多做则按所做的第一题给分选修4-1:几何证明选讲22.(10分)(2014•辽宁)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.选修4-4:坐标系与参数方程23.(2014•辽宁)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(Ⅰ)写出C的参数方程;(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.,线的斜率为,,=1=1)由,的中点坐标为(垂直的直线的斜率为1=﹣=0.选修4-5:不等式选讲24.(2014•辽宁)设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.)由所给的不等式可得,﹣,解②,,求得﹣≤,,],=﹣。

(22)2014年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试卷(文史类)

(22)2014年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷数学试卷(文史类)

4.已知 m,n 表示两条不同直线, α表示平面.下列说法正确的是(

A .若 m , n ,则 m n B.若 m , n ,则 m n
C.若 m , m n ,则 n
D.若 m , m n ,则 n
5.设 a, b, c是非零向量,已知命题 p:若 a b 0 , b c 0 ,则 a c 0;命题 q:若 a b , b c,则 a c .则下列
A .在区间7 ,源自上单调递减12 12
B.在区间
7 ,
上单调递增
12 12
C .在区间
, 上单调递减 D.在区间 63
, 上单调递增 63
12.当 x
2,1 时,不等式 ax 3 x2 4x 3 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

A . 5,- 3
9 B . 6,
8
C. 6, 2
D. 4, 3
至多有 1 人喜欢甜品的概率.
附:
2 = n(n11n22 n12n21 )2 , n1 n2 n 1 n 2
| P( 2 k) k
0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635
19.(本小题满分 12 分)
如图, ABC 和 BCD 所在平面互相垂直,且
AB BC BD 2 , ABC
B.8 2
C. 8
D. 8 2
8.已知点 A( 2,3) 在抛物线 C: y 2 2 px 的准线上, 记 C 的焦点为 F,则直线 AF
的斜率为(

4
A.
3
B .- 1
3
C.
4
1
D.
2
9.设等差数列 an 的公差为 d.若数列 2a1an 为递减数列,则(

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

2014 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分)1.(5 分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N 中元素的个数为()A.2 B.3 C.5 D.72.(5分)已知角α 的终边经过点(﹣4,3),则cosα=()A.B.C.﹣D.﹣3.(5 分)不等式组的解集为()A.{x|﹣2<x<﹣1} B.{x|﹣1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}4.(5分)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A.B.C.D.5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是()A.y=(1﹣e x)3(x>﹣1)B.y=(e x﹣1)3(x>﹣1)C.y=(1﹣e x)3(x∈R)D.y=(e x﹣1)3(x∈R)6.(5 分)已知,为单位向量,其夹角为60°,则(2﹣)•=()A.﹣1 B.0 C.1 D.27.(5 分)有6 名男医生、5 名女医生,从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种8.(5 分)设等比数列{a n}的前n 项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31 B.32 C.63 D.649.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l 交C 于A、B 两点,若△AF1B 的周长为4,则C 的方程为()A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=110.(5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16πC.9πD.11.(5 分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C 的焦距等于()A.2 B.2C.4 D.412.(5 分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分)13.(5 分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是.(用数字作答)14.(5 分)函数y=cos2x+2sinx 的最大值是.15.(5 分)设x,y 满足约束条件,则z=x+4y 的最大值为.16.(5 分)直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线,若l1 与l2 的交点为(1,3),则l1 与l2 的夹角的正切值等于.三、解答题17.(10 分)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1﹣a n+2.(I)设b n=a n+1﹣a n,证明{b n}是等差数列;(II)求{a n}的通项公式.18.(12 分)△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.19.(12 分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(I)证明:AC1⊥A1B;(II)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C 的大小.20.(12 分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(I)求同一工作日至少3 人需使用设备的概率;(II)实验室计划购买k 台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k 的最小值.21.(12 分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(I)讨论f(x)的单调性;(II)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.22.(12 分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4 与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(I)求C 的方程;(II)过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点,且A、M、B、N 四点在同一圆上,求l 的方程.2014 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分)1.(5 分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N 中元素的个数为()A.2 B.3 C.5 D.7【考点】1A:集合中元素个数的最值;1E:交集及其运算.【专题】5J:集合.【分析】根据M 与N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可.【解答】解:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M∩N={1,2,6},即M∩N 中元素的个数为3.故选:B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5 分)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=()A.B.C.﹣D.﹣【考点】G9:任意角的三角函数的定义.【专题】56:三角函数的求值.【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值.【解答】解:∵角α的终边经过点(﹣4,3),∴x=﹣4,y=3,r==5.∴cosα===﹣,故选:D.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.3.(5 分)不等式组的解集为()A.{x|﹣2<x<﹣1} B.{x|﹣1<x<0} C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}【考点】7E:其他不等式的解法.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式,分别求出不等式组中每个不等式的解集,再取交集,即得所求.【解答】解:由不等式组可得,解得0<x<1,故选:C.【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题.4.(5分)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】5G:空间角.【分析】由E 为AB 的中点,可取AD 中点F,连接EF,则∠CEF 为异面直线CE 与BD 所成角,设出正四面体的棱长,求出△CEF 的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线CE 与BD 所成角的余弦值.【解答】解:如图,取AD 中点F,连接EF,CF,∵E 为AB 的中点,∴EF∥DB,则∠CEF 为异面直线BD 与CE 所成的角,∵ABCD 为正四面体,E,F 分别为AB,AD 的中点,∴CE=CF.设正四面体的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=.在△CEF 中,由余弦定理得:=.故选:B.【点评】本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题.5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是()A.y=(1﹣e x)3(x>﹣1)B.y=(e x﹣1)3(x>﹣1)C.y=(1﹣e x)3(x∈R)D.y=(e x﹣1)3(x∈R)【考点】4R:反函数.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】由已知式子解出x,然后互换x、y 的位置即可得到反函数.【解答】解:∵y=ln(+1),∴+1=e y,即=e y﹣1,∴x=(e y﹣1)3,∴所求反函数为y=(e x﹣1)3,、 故选:D .【点评】本题考查反函数解析式的求解,属基础题.6.(5 分)已知,为单位向量,其夹角为 60°,则(2﹣)•=( )A .﹣1B .0C .1D .2【考点】9O :平面向量数量积的性质及其运算. 【专题】5A :平面向量及应用.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得的值,可得(2﹣)•的值.【解答】解:由题意可得, =1×1×cos60°=, =1,∴(2﹣)•=2﹣=0,故选:B .【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题.7.(5 分)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A .60 种B .70 种C .75 种D .150 种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题. 【专题】5O :排列组合.【分析】根据题意,分 2 步分析,先从 6 名男医生中选 2 人,再从 5 名女医生中 选出 1 人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,先从 6 名男医生中选 2 人,有 C 62=15 种选法,再从 5 名女医生中选出 1 人,有 C 51=5 种选法, 则不同的选法共有 15×5=75 种;故选:C .【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.8.(5 分)设等比数列{a n}的前n 项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31 B.32 C.63 D.64【考点】89:等比数列的前n 项和.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】由等比数列的性质可得S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列,代入数据计算可得.【解答】解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q2,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q4,所以S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列,即3,12,S6﹣15 成等比数列,可得122=3(S6﹣15),解得S6=63故选:C.【点评】本题考查等比数列的性质,得出S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列是解决问题的关键,属基础题.9.(5 分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2 的直线l 交C 于A、B 两点,若△AF1B 的周长为4 ,则C 的方程为()A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1【考点】K4:椭圆的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用△AF1B 的周长为4 ,求出a= ,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解:∵△AF1B 的周长为4,∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=4,∴a=,∵离心率为,∴,c=1,∴b==,∴椭圆C 的方程为+=1.故选:A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.10.(5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16πC.9πD.【考点】LG:球的体积和表面积;LR:球内接多面体.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】正四棱锥P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高PO1 上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.【解答】解:设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴R2=(4﹣R)2+()2,∴R=,∴球的表面积为4π•()2=.故选:A.【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.11.(5 分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C 的焦距等于()A.2 B.2C.4 D.4【考点】KC:双曲线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论.【解答】解:∵:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴e=,双曲线的渐近线方程为y= ,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0 的距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C.【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础.12.(5 分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到f(x+8)=f(x),即可得到结论.【解答】解:∵f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数,∴设g(x)=f(x+2),则g(﹣x)=g(x),即f(﹣x+2)=f(x+2),∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(x﹣2),即f(x+4)=﹣f(x),f(x+8)=f(x+4+4)=﹣f(x+4)=f(x),则f(8)=f(0)=0,f(9)=f(1)=1,∴f(8)+f(9)=0+1=1,故选:D.【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本题的关键.二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分)13.(5 分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是﹣160 .(用数字作答)【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】根据题意,由二项式定理可得(x﹣2)6的展开式的通项,令x 的系数为3,可得r=3,将r=3 代入通项,计算可得T4=﹣160x3,即可得答案.66 r+1 6【解答】解:根据题意,(x﹣2)6的展开式的通项为T =C r x6﹣r(﹣2)r=(﹣1)r•2r•C r x6﹣r,令6﹣r=3 可得r=3,此时T4=(﹣1)3•23•C3x3=﹣160x3,即x3的系数是﹣160;故答案为﹣160.【点评】本题考查二项式定理的应用,关键要得到(x﹣2)6的展开式的通项.14.(5 分)函数y=cos2x+2sinx 的最大值是.【考点】HW:三角函数的最值.【专题】11:计算题.【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1 ﹣2sin2x+2sinx= ,结合﹣1≤sinx≤1 及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解:∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时,函数有最大值故答案为:【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简,二次函数在闭区间上的最值的求解,解题中要注意﹣1≤sinx≤1 的条件.15.(5 分)设x,y 满足约束条件,则z=x+4y 的最大值为 5 .【考点】7C:简单线性规划.【专题】31:数形结合.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得C(1,1).化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式,得.由图可知,当直线过C 点时,直线在y 轴上的截距最大,z 最大.此时z max=1+4×1=5.故答案为:5.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.16.(5 分)直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线,若l1 与l2 的交点为(1,3),则l1 与l2 的夹角的正切值等于.【考点】IV:两直线的夹角与到角问题.【专题】5B:直线与圆.【分析】设l1 与l2 的夹角为2θ,由于l1 与l2 的交点A(1,3)在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值,可得cosθ、tanθ的值,再根据tan2θ=,计算求得结果.【解答】解:设l1 与l2 的夹角为2θ,由于l1 与l2 的交点A(1,3)在圆的外部,且点A 与圆心O 之间的距离为OA==,圆的半径为r=,∴sinθ== ,∴cosθ=,tanθ==,∴tan2θ== =,故答案为:.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.三、解答题17.(10 分)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1﹣a n+2.(I)设b n=a n+1﹣a n,证明{b n}是等差数列;(II)求{a n}的通项公式.【考点】83:等差数列的性质;84:等差数列的通项公式;8H:数列递推式.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)将a n=2a n+1﹣a n+2 变形为:a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2,再由条件得+2b n+1=b n+2,根据条件求出b1,由等差数列的定义证明{b n}是等差数列;(Ⅱ)由(Ⅰ)和等差数列的通项公式求出b n,代入b n=a n+1﹣a n 并令n 从1 开始取值,依次得(n﹣1)个式子,然后相加,利用等差数列的前n 项和公式求出{a n}的通项公式a n.=2a n+1﹣a n+2 得,【解答】解:(Ⅰ)由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2,由b n=a n+1﹣a n 得,b n+1=b n+2,即b n﹣b n=2,+1又b1=a2﹣a1=1,所以{b n}是首项为1,公差为2 的等差数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,b n=1+2(n﹣1)=2n﹣1,由b n=a n+1﹣a n 得,a n+1﹣a n=2n﹣1,则a2﹣a1=1,a3﹣a2=3,a4﹣a3=5,…,a n﹣a n﹣1=2(n﹣1)﹣1,所以,a n﹣a1=1+3+5+…+2(n﹣1)﹣1==(n﹣1)2,又a1=1,所以{a n}的通项公式a n=(n﹣1)2+1=n2﹣2n+2.【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式,及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中档题.18.(12 分)△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;HP:正弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)即可得出.【解答】解:∵3acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,∴3tanA=2tanC,∵tanA=,∴2tanC=3×=1,解得tanC=.∴tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)=﹣=﹣=﹣1,∵B∈(0,π),∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.19.(12 分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(I)证明:AC1⊥A1B;(II)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C 的大小.【考点】LW:直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得;(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角,解三角形由反三角函数可得.【解答】解:(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C 为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC=C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B;(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E 为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E 为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=,∵A1C 为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=,作DF⊥AB,F 为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D=A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角,由AD==1 可知D 为AC 中点,∴DF==,∴tan∠A1FD== ,∴二面角A1﹣AB﹣C 的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.20.(12 分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(I)求同一工作日至少3 人需使用设备的概率;(II)实验室计划购买k 台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k 的最小值.【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)把4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有3 个人使用设备的概率相加,即得所求.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得若k=2,不满足条件.若k=3,求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06<0.1,满足条件,从而得出结论.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得“同一工作日至少3 人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+(1﹣0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1﹣0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1﹣0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1﹣0.4)=0.31.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得若k=2,则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31>0.1,不满足条件.若k=3,则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06<0.1,满足条件.故k 的最小值为3.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.21.(12 分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(I)讨论f(x)的单调性;(II)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.【专题】53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过导数为0,利用二次函数的根,通过a 的范围讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当a>0,x>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,推出f′(1)≥0 且f′(2)≥0,即可求a 的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=ax3+3x2+3x,∴f′(x)=3ax2+6x+3,令f′(x)=0,即3ax2+6x+3=0,则△=36(1﹣a),①若a≥1 时,则△≤0,f′(x)≥0,∴f(x)在R 上是增函数;②因为a≠0,∴a≤1 且a≠0 时,△>0,f′(x)=0 方程有两个根,x1=,x2=,当0<a<1 时,则当x∈(﹣∞,x2)或(x1,+∞)时,f′(x)>0,故函数在(﹣∞,x2)或(x1,+∞)是增函数;在(x2,x1)是减函数;当a<0 时,则当x∈(﹣∞,x1)或(x2,+∞),f′(x)<0,故函数在(﹣∞,x1)或(x2,+∞)是减函数;在(x1,x2)是增函数;(Ⅱ)当a>0,x>0 时,f′(x)=3ax2+6x+3>0 故a>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当且仅当:f′(1)≥0 且f′(2)≥0,解得﹣,a 的取值范围[ )∪(0,+∞).【点评】本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论思想的应用.22.(12 分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4 与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(I)求C 的方程;(II)过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点,且A、M、B、N 四点在同一圆上,求l 的方程.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(Ⅰ)设点Q 的坐标为(x0,4),把点Q 的坐标代入抛物线C 的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得p 的值,可得C 的方程.(Ⅱ)设l 的方程为x=my+1 (m≠0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN 垂直平分线段AB,故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m 的值,可得直线l 的方程.【解答】解:(Ⅰ)设点Q 的坐标为(x0,4),把点Q 的坐标代入抛物线C:y2=2px (p>0),可得x0=,∵点P(0,4),∴|PQ|=.又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,∴+=×,求得p=2,或p=﹣2(舍去).故C 的方程为y2=4x.(Ⅱ)由题意可得,直线l 和坐标轴不垂直,y2=4x 的焦点F(1,0),设l 的方程为x=my+1(m≠0),代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,显然判别式△=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1•y2=﹣4.∴AB 的中点坐标为 D (2m2+1 ,2m ),弦长|AB|= |y1 ﹣y2|= =4(m2+1).又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3.过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4(2m2+3)=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4(2m2+3).故线段MN 的中点 E 的坐标为(+2m2+3,),∴|MN|=|y3 ﹣y4|=,∵MN 垂直平分线段AB,故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,∴+DE2= MN2,∴4(m2+1)2+ + =×,化简可得m2﹣1=0,∴m=±1,∴直线l 的方程为x﹣y﹣1=0,或x+y﹣1=0.【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题.。

2014年高考(辽宁卷)文科数学

2014年高考(辽宁卷)文科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,文1)已知全集U =R ,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合U (A ∪B )=( ). A .{x |x ≥0} B .{x |x ≤1} C .{x |0≤x ≤1} D .{x |0<x <1} 答案:D解析:∵A ∪B ={x |x ≤0或x ≥1},∴U (A ∪B )={x |0<x <1}.故选D.2.(2014辽宁,文2)设复数z 满足(z -2i)(2-i)=5,则z =( ). A .2+3i B .2-3i C .3+2i D .3-2i 答案:A解析:∵(z -2i)(2-i)=5,∴52i 2i 2iz -==+-. ∴z =2+3i.故选A.3.(2014辽宁,文3)已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则( ). A .a >b >c B .a >c >b C .c >b >a D .c >a >b 答案:D解析:∵1030221a -<=<=,221log log 103b =<=,112211log log 132c =>=,∴c >a >b .故选D.4.(2014辽宁,文4)已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ). A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若m ⊥α,n ⊂α,则m ⊥n C .若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α D .若m ∥α,m ⊥n ,则n ⊥α 答案:B解析:对A :m ,n 还可能异面、相交,故A 不正确.对C :n 还可能在平面α内,故C 不正确.对D :n 还可能在α内,故D 不正确.对B :由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,文5)设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a·b =0,b·c =0,则a·c =0;命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.则下列命题中真命题是( ).A .p ∨qB .p ∧qC .(p )∧(q )D .p ∨(q ) 答案:A解析:对命题p 中的a 与c 可能为共线向量,故命题p 为假命题.由a ,b ,c 为非零向量,可知命题q 为真命题.故p ∨q 为真命题.故选A.6.(2014辽宁,文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB =2,BC =1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ).A .π2 B .π4 C .π6 D .π8答案:B解析:所求概率为21π1π2==214S S ⋅⨯半圆长方形,故选B. 7.(2014辽宁,文7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .π84-B .π82- C .8-π D .8-2π答案:C解析:由几何体的三视图可知,原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的14圆柱,故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱,即V =23-21π122⋅⋅=8-π.故选C.8.(2014辽宁,文8)已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ).A .43-B .-1C .34-D .12- 答案:C解析:由已知,得准线方程为x =-2, ∴F 的坐标为(2,0). 又A (-2,3),∴直线AF 的斜率为303224k -==---.故选C.9.(2014辽宁,文9)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{12n a a}为递减数列,则( ).A .d >0B .d <0C .a 1d >0D .a 1d <0 答案:D解析:∵{12n a a}为递减数列, ∴111111()111222212n n n n a a a a a a a a d n na a a a +===<++--.∴a 1d <0.故选D.10.(2014辽宁,文10)已知f (x )为偶函数,当x ≥0时,()1cos π,0,,2121,,,2x x f x x x ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩则不等式1(1)2f x ≤-的解集为( ).A .1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B .3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C .1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D .3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦答案:A解析:令t =x -1.当10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,ππ0,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由()12f t ≤,即1cos π2t ≤,得πππ32t ≤≤,解得1132t ≤≤. 当1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,由()12f t ≤,即1212t ≤-, 解得1324t <≤.综上,t ∈[0,+∞)时,()12f t ≤的解集为13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.∵f (x )为偶函数,∴f (|x |)=f (x ).故t ∈R 时,由()12f t ≤可得1334t ≤≤, 即3143t -≤≤-或1334t ≤≤.∴由1(1)2f x ≤-得31143x -≤≤--或13134x ≤-≤,解得1243x ≤≤或4734x ≤≤.故选A.11.(2014辽宁,文11)将函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数( ).A .在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B .在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C .在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D .在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增答案:B解析:由题意知,平移后的函数f (x )ππ3sin 223x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ3sin 2π+3sin 233x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令πππ2π22π+232k x k -≤+≤,k ∈Z ,解得f (x )的递减区间为5πππ,π+1212k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .令ππ32π+22π+π232k x k ≤+≤(k ∈Z ),解得f (x )的递增区间为π7π+,π+π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .从而可判断选项B 正确.12.(2014辽宁,文12)当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( ).A .[-5,-3]B .96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C .[-6,-2]D .[-4,-3] 答案:C解析:∵当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3-x 2+4x +3≥0恒成立,即当x ∈[-2,1]时,不等式ax 3≥x 2-4x -3(*)恒成立.(1)当x =0时,a ∈R .(2)当0<x ≤1时,由(*)得232343143x x a x x x x--≥=--恒成立. 设()23143f x x x x =--,则()2234441898991x x x x f x x x x x x -++-(-)(+)'=-++==.当0<x ≤1时,x -9<0,x +1>0,∴f ′(x )>0,∴f (x )在(0,1]上单调递增.当0<x ≤1时,可知a ≥f (x )max =f (1)=-6. (3)当-2≤x <0时,由(*)得23143a x x x ≤--. 令f ′(x )=0,得x =-1或x =9(舍).∴当-2≤x <-1时,f ′(x )<0,当-1<x <0时,f ′(x )>0,∴f (x )在[-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.∴x ∈[-2,0)时,f (x )min =f (-1)=-1-4+3=-2.∴可知a ≤f (x )min =-2. 综上所述,当x ∈[-2,1]时,实数a 的取值范围为-6≤a ≤-2.故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,文13)执行下面的程序框图,若输入n =3,则输出T =__________.答案:20解析:由程序框图可知,当i =0≤3时,i =1,S =1,T =1; 当i =1≤3时,i =2,S =3,T =4; 当i =2≤3时,i =3,S =6,T =10; 当i =3≤3时,i =4,S =10,T =20; 可知i =4>3,退出循环. 故输入n =3时,输出T =20.14.(2014辽宁,文14)已知x ,y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则目标函数z =3x +4y的最大值为__________.答案:18解析:画出x ,y 满足约束条件的可行域如图阴影部分.由330,240,x y x y --=⎧⎨-+=⎩得2,3,x y =⎧⎨=⎩∴A 点坐标为(2,3).作直线l 0:3x +4y =0,可知当平移l 0到l (l 过点A )时,目标函数有最大值,此时z max =3×2+4×3=18.15.(2014辽宁,文15)已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=__________.答案:12解析:如图,设MN 的中点为P ,则由F 1是AM 的中点,可知|AN |=2|PF 1|.同理可得可知|BN |=2|PF 2|.∴|AN |+|BN |=2(|PF 1|+|PF 2|).根据椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|=2a =6, ∴|AN |+|BN |=12.16.(2014辽宁,文16)对于c >0,当非零实数a ,b 满足4a 2-2ab +b 2-c =0且使|2a +b |最大时,124a b c++的最小值为__________. 答案:-1解析:要求|2a +b |的最大值,只需求(2a +b )2的最大值. ∵4a 2-2ab +b 2-c =0, ∴4a 2+b 2=c +2ab ,∴(2a +b )2=4a 2+b 2+4ab =c +2ab +4ab =c +6ab ≤c +2232a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭,即(2a +b )2≤4c ,当且仅当2a =b 时,取得等号,即(2a +b )2取到最大值,即2a =b 时,|2a +b |取到最大值.把2a =b 代入4a 2-2ab +b 2-c =0,可得c =4a 2.∴2221241242111124a b c a a a a a a ⎛⎫++=++=+=+- ⎪⎝⎭. ∴当11a =-时,124a b c++取到最小值-1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,文17)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA BC ⋅=2,cos B =13,b =3,求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.分析:(1)由数量积定义及余弦定理,可列出a ,c 的方程组,解方程组即可求出a ,c 的值.(2)由已知及正弦定理可分别求出B ,C 角的正、余弦值,再利用两角差的余弦公式可求出cos(B -C )的值.解:(1)由BA BC ⋅=2得c ·a cos B =2. 又cos B =13,所以ac =6. 由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B . 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得a =2,c =3或a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B=由正弦定理,得2sin sin 339c C B b ==⋅=. 因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此7cos 9C ===. 于是cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C1723393927=⨯+=. 18.(本小题满分12分)(2014辽宁,文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全(1)惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:221122122112n n n n n n n n n χ+(-)=.分析:(1)(2)可用列举法写出基本事件总数及“3人中至多有1人喜欢甜品”的基本事件数.再由古典概型的概率公式计算即可.解:(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得22112212211212n n n n n n n n n χ++++(-)==21006010201070308020⨯(⨯-⨯)⨯⨯⨯=10021≈4.762.由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a 1,a 2,b 1),(a 1,a 2,b 2),(a 1,a 2,b 3),(a 1,b 1,b 2),(a 1,b 2,b 3),(a 1,b 1,b 3),(a 2,b 1,b 2),(a 2,b 2,b 3),(a 2,b 1,b 3),(b 1,b 2,b 3)}.其中a i 表示喜欢甜品的学生,i =1,2,b j 表示不喜欢甜品的学生,j =1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A ={(a 1,b 1,b 2),(a 1,b 2,b 3),(a 1,b 1,b 3),(a 2,b 1,b 2),(a 2,b 2,b 3),(a 2,b 1,b 3),(b 1,b 2,b 3)}.事件A 是由7个基本事件组成,因而P (A )=710. 19.(本小题满分12分)(2014辽宁,文19)如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB =BC =BD =2,∠ABC =∠DBC =120°,E ,F ,G 分别为AC ,DC ,AD 的中点.(1)求证:EF ⊥平面BCG ; (2)求三棱锥D -BCG 的体积. 附:锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高. 分析:(1)由三角形全等证出AC =DC ,再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直,最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论.(2)由面面垂直得线面垂直,从而确定出点到平面的距离,即三棱锥G -BCD 的高,由等体积法可求三棱锥D -BCG 的体积.(1)证明:由已知得△ABC ≌△DBC ,因此AC =DC .又G 为AD 中点,所以CG ⊥AD ; 同理BG ⊥AD ;因此AD ⊥面BGC . 又EF ∥AD ,所以EF ⊥面BCG .(2)解:在平面ABC 内,作AO ⊥CB ,交CB 延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ,知AO ⊥面BDC .又G 为AD 中点,因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半.在△AOB 中,AO =AB ·sin 60°所以V D -BCG =V G -BCD =1111·sin 1203322DBC S h BD BC ∆⋅=⋅⋅⋅⋅=. 20.(本小题满分12分)(2014辽宁,文20)圆x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).(1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :y x =A ,B 两点.若△P AB的面积为2,求C 的标准方程.分析:(1)设出切点P 的坐标,用此坐标表示三角形的面积.又由切点P 在圆上,利用基本不等式求最值的方法,可求出点P 的坐标.(2)设出椭圆C 的标准方程,由点P 在椭圆C 上,及直线l 与C 相交于A ,B 两点且S △P AB =2,可求出a ,b 的值.解:(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为00x y -,切线方程为0000()xy y x x y -=--, 即x 0x +y 0y =4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=, 由22000042x y x y +=≥知当且仅当x 0=y 0x 0y 0有最大值,即S 有最小值,因此点P的坐标为.(2)设C 的标准方程为22221x y a b +=(a >b >0),点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由点P 在C 上知22221a b+=,并由2222=1=x y a by x ⎧+⎪⎨⎪+⎩,得222620b x b ++-=, 又x 1,x 2是方程的根,因此122122=62=,x x b x x b ⎧+⎪⎪⎨-⎪⎪⎩由11y x =22y x =得122|AB x x b ==-.由点P 到直线l及S △P AB=122=得b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,a 2=3(舍)或b 2=3,a 2=6.从而所求C 的方程为22163x y +=. 21.(本小题满分12分)(2014辽宁,文21)已知函数f (x )=π(x -cos x )-2sin x -2,g (x )=2(π1πx x --,证明:(1)存在唯一x 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1>π.分析:(1)利用求导数方法判断函数f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性,再利用函数零点的存在性定理进行判断,证出结论.(2)先化简函数g (x )在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式,再用求导法判断函数单调性,结合函数零点的存在性定理,即可证明.证明:(1)当x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭时,f ′(x )=π+πsin x -2cos x >0, 所以f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,又f (0)=-π-2<0,2ππ4022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,所以存在唯一x 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭,使f (x 0)=0.(2)当x ∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,化简得()cos 2(π)11sin πx x g x x x =-⋅+-+. 令t =π-x ,记()cos 2(π)11sin πt t u t g t t t =-=--++,t ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 则()π1sin f t u t t ()'=(+).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )<0, 当t ∈0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭时,u ′(t )>0. 在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上u (t )为增函数, 由π02u ⎛⎫= ⎪⎝⎭知,当t ∈0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭时,u (t )<0,所以u (t )在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上无零点.在(0,x 0)上u (t )为减函数,由u (0)=1及u (x 0)<0知存在唯一t 0∈(0,x 0),使u (t 0)=0. 于是存在唯一t 0∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭,使u (t 0)=0. 设x 1=π-t 0∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭, 则g (x 1)=g (π-t 0)=u (t 0)=0, 因此存在唯一的x 1∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭,使g (x 1)=0, 由于x 1=π-t 0,t 0<x 0,所以x 0+x 1>π.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2014辽宁,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E ,C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG =PD ,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F .(1)求证:AB 为圆的直径;(2)若AC =BD ,求证:AB =ED .分析:(1)证明AB 是直径,即证明∠BDA =90°.由∠PF A =90°,从而寻求∠BDA =∠PF A 就可证明.(2)要证AB =DE ,即证DE 为直径,连DC ,即证∠DCE =90°,从而只需证明AB ∥DC 即可.证明:(1)因为PD =PG ,所以∠PDG =∠PGD .由于PD 为切线,故∠PDA =∠DBA .又由于∠PGD =∠EGA ,故∠DBA =∠EGA ,所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD ,从而∠BDA =∠PF A .由于AF ⊥EP ,所以∠PF A =90°.于是∠BDA =90°.故AB 是直径.(2)连接BC ,DC .由于AB 是直径,故∠BDA =∠ACB =90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中,AB =BA ,AC =BD ,从而Rt △BDA ≌Rt △ACB .于是∠DAB =∠CBA .又因为∠DCB =∠DAB ,所以∠DCB =∠CBA ,故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ,所以DC ⊥EP ,∠DCE 为直角.于是ED 为直径.由(1)得ED =AB .23.(本小题满分10分)(2014辽宁,理23)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C .(1)写出C 的参数方程;(2)设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.分析:(1)利用相关点法先求出直角坐标方程,再写出参数方程.(2)先联立方程求出P 1,P 2两点的坐标,进而求出P 1P 2的中点坐标,得到与l 垂直的直线方程,再化为极坐标方程.解:(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,在已知变换下变为C 上点(x ,y ),依题意,得11,2.x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=,得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即曲线C 的方程为2214y x +=. 故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数). (2)由221,4220,y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得1,0,x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭, 所求直线斜率为12k =, 于是所求直线方程为111=22y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即34sin 2cos ρθθ=-. 24.(本小题满分10分)(2014辽宁,理24)选修4—5:不等式选讲设函数f (x )=2|x -1|+x -1,g (x )=16x 2-8x +1.记f (x )≤1的解集为M ,g (x )≤4的解集为N .(1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f (x )+x [f (x )]2≤14. 分析:(1)分类讨论去绝对值符号即可.(2)在x ∈M ∩N 的条件下,先化简x 2f (x )+x [f (x )]2,再配方求其最大值即可. 解:(1)()[)()33,1,,1,,1,x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩ 当x ≥1时,由f (x )=3x -3≤1得43x ≤, 故413x ≤≤; 当x <1时,由f (x )=1-x ≤1得x ≥0,故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为403M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)证明:由g (x )=16x 2-8x +1≤4, 得211644x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,解得1344x -≤≤. 因此1344N x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭. 故304M N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. 当x ∈M ∩N 时,f (x )=1-x ,于是x 2f (x )+x ·[f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=x·f(x)=x(1-x)=2111 424x⎛⎫--≤⎪⎝⎭.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(辽宁卷,含解析)

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(辽宁卷,含解析)

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题〔辽宁卷,含解析〕第1卷〔共60分〕一、选择题:本大题共12个小题,每一小题5分,共60分.在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,如此集合()UC A B =〔 〕A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x <<2.设复数z 满足,如此z =〔 〕A .23i +B .23i -C .32i +D .32i -3.132a -=,21211log ,log 33b c ==,如此〔 〕 A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>【考点定位】指数函数和对数函数的图象和性质.4.m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,如下说法正确的答案是〔 〕A .假设//,//,m n αα如此//m nB .假设m α⊥,n α⊂,如此m n ⊥C .假设m α⊥,m n ⊥,如此//n αD .假设//m α,m n ⊥,如此n α⊥5.设,,a b c 是非零向量,命题P :假设0a b ⋅=,0b c ⋅=,如此0a c ⋅=;命题q :假设//,//a b b c ,如此//a c ,如此如下命题中真命题是〔 〕A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.假设将一个质点随机投入如下列图的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,如此质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是〔 〕A .2πB .4πC .6πD .8π【答案】B7. 某几何体三视图如下列图,如此该几何体的体积为〔 〕A .82π-B .8π-C .82π-D .84π-8. 点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,记C 的焦点为F ,如此直线AF 的斜率为〔 〕A .43-B .1-C .34-D .12-【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质;2、直线的斜率. 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ,假设数列1{2}n a a 为递减数列,如此〔 〕 A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d >10.()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,如此不等式的解集为〔 〕 A .1247[,][,]4334 B .3112[,][,]4343-- C .1347[,][,]3434 D .3113[,][,]4334--【考点定位】1、分段函数;2、函数的图象和性质;3、不等式的解集.11. 将函数3sin(2)3y xπ=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数〔〕A.在区间7[,]1212ππ上单调递减 B.在区间7[,]1212ππ上单调递增C.在区间[,]63ππ-上单调递减 D.在区间[,]63ππ-上单调递增12. 当[2,1]x∈-时,不等式32430ax x x-++≥恒成立,如此实数a的取值范围是〔〕A.[5,3]-- B.9[6,]8--C.[6,2]-- D.[4,3]--【考点定位】利用导数求函数的极值和最值.第2卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分,总分为20分,将答案填在答题纸上〕n=,如此输出T= .13. 执行右侧的程序框图,假设输入314.x,y满足条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,如此目标函数34z x y=+的最大值为 .故max 324318z=⨯+⨯=.【考点定位】线性规划.15. 椭圆C:22194x y+=,点M与C的焦点不重合,假设M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,如此||||AN BN+= .16. 对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 .三、解答题 〔本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 17. 〔本小题总分为12分〕在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,2BA BC •=,1cos 3B =,3b =,求:〔1〕a 和c 的值; 〔2〕cos()B C -的值. 18. 〔本小题总分为12分〕某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进展了抽样调查,调查结果如下表所示:〔1〕根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异〞;〔2〕在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.19. 〔本小题总分为12分〕如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点. 〔1〕求证:EF ⊥平面BCG ; 〔2〕求三棱锥D-BCG 的体积.附:椎体的体积公式13V Sh=,其中S 为底面面积,h 为高.20. 〔本小题总分为12分〕圆的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P 〔如图〕. 〔1〕求点P 的坐标;〔2〕焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:3l y x =A ,B 两点,假设PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.21. 〔本小题总分为12分〕函数()(cos)2sin2f x x x xπ=---,1sin2()()11sinx xg x xxππ-=-+-+.证明:〔1〕存在唯一(0,)2xπ∈,使0()0f x=;〔2〕存在唯一1(,)2xππ∈,使1()0g x=,且对〔1〕中的01x xπ+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,如此按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. 〔本小题总分为10分〕选修4-1:几何证明选讲如图,EP交圆于E、C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG PD=,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.〔1〕求证:AB为圆的直径;〔2〕假设AC=BD,求证:AB=ED.23. 〔本小题总分为10分〕选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y+=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.〔1〕写出C的参数方程;〔2〕设直线:220l x y+-=与C的交点为12,P P,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. 〔本小题总分为10分〕选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N.〔1〕求M ;〔2〕当x MN ∈时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.。

2014年辽宁省高考数学试卷(文科)

2014年辽宁省高考数学试卷(文科)

2014年辽宁省高考数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分)(A∪B)=()1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁UA.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=()A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i,c=log,则()3.(5分)已知a=,b=log2A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)6.(5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.7.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8﹣B.8﹣C.8﹣πD.8﹣2π8.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.﹣B.﹣1 C.﹣D.﹣9.(5分)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2}为递减数列,则()A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<010.(5分)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=,则不等式f(x﹣1)≤的解集为()A.[,]∪[,] B.[﹣,﹣]∪[,]C.[,]∪[,] D.[﹣,﹣]∪[,]11.(5分)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增C.在区间[﹣,]上单调递减 D.在区间[﹣,]上单调递增12.(5分)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)执行如图的程序框图,若输入n=3,则输出T= .14.(5分)已知x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+4y的最大值为.15.(5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .16.(5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为.三、解答题17.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:(Ⅰ)a和c的值;(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.18.(12分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如表所示:(Ⅰ)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:X2=19.(12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCG;(Ⅱ)求三棱锥D﹣BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.20.(12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(Ⅰ)求点P的坐标;(Ⅱ)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A、B两点,若△PAB的面积为2,求C的标准方程.21.(12分)已知函数f(x)=π(x﹣cosx)﹣2sinx﹣2,g(x)=(x﹣π)+﹣1.证明:(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x)=0;(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x,有x+x1>π.四、选考题,请考生在22-24三题中任选一题作答,多做则按所做的第一题给分选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.选修4-4:坐标系与参数方程23.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(Ⅰ)写出C的参数方程;(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.2014年辽宁省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}【解答】解:A∪B={x|x≥1或x≤0},∴CU(A∪B)={x|0<x<1},故选:D.2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=()A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i【解答】解:由(z﹣2i)(2﹣i)=5,得:,∴z=2+3i.故选:A.3.(5分)已知a=,b=log2,c=log,则()A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b【解答】解:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=log=log23>log22=1,∴c>a>b.故选:D.4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【解答】解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.故选B.5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是()A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)【解答】解:若•=0,•=0,则•=•,即(﹣)•=0,则•=0不一定成立,故命题p为假命题,若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题,则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题,故选:A.6.(5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.【解答】解:∵AB=2,BC=1,∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2,圆的半径r=1,半圆的面积S=,则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是,故选:B.7.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8﹣B.8﹣C.8﹣πD.8﹣2π【解答】解:由三视图知:几何体是正方体切去两个圆柱,正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为1,高为2,∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π.故选:C.8.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.﹣B.﹣1 C.﹣D.﹣【解答】解:∵点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,∴﹣=﹣2,∴F(2,0),∴直线AF的斜率为=﹣.故选:C.9.(5分)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2}为递减数列,则()A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0【解答】解:∵数列{2}为递减数列,∴<1,即<1,∴<1,∴a1(an+1﹣an)=a1d<0故选:D10.(5分)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=,则不等式f(x﹣1)≤的解集为()A.[,]∪[,] B.[﹣,﹣]∪[,]C.[,]∪[,] D.[﹣,﹣]∪[,]【解答】解:当x∈[0,],由f(x)=,即cosπx=,则πx=,即x=,当x>时,由f(x)=,得2x﹣1=,解得x=,则当x≥0时,不等式f(x)≤的解为≤x≤,(如图)则由f(x)为偶函数,∴当x<0时,不等式f(x)≤的解为﹣≤x≤﹣,即不等式f(x)≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣,则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣,解得≤x≤或≤x≤,即不等式f(x﹣1)≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤},故选:A.11.(5分)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递减B.在区间[,]上单调递增C.在区间[﹣,]上单调递减 D.在区间[﹣,]上单调递增【解答】解:把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].即y=3sin(2x﹣).当函数递增时,由,得.取k=0,得.∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选:B.12.(5分)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]【解答】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,令f(x)=,则f′(x)==﹣(*),当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,f(x)=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;max当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x <0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;f(x)min综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].故选:C.二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)执行如图的程序框图,若输入n=3,则输出T= 20 .【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求T=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+i)的值,当输入n=3时,跳出循环的i值为4,∴输出T=1+3+6++10=20.故答案为:20.14.(5分)已知x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+4y的最大值为18 .【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得,∴C(2,3).化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式,得:.由图可知,当直线过点C时,直线在y轴上的截距最大,即z最大.∴zmax=3×2+4×3=18.故答案为:18.15.(5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= 12 .【解答】解:如图:MN的中点为Q,易得,,∵Q在椭圆C上,∴|QF1|+|QF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.故答案为:12.16.(5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为﹣1 .【解答】解:∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0,∴=由柯西不等式得,[][]≥[2(a﹣)+×2]2=|2a+b|2故当|2a+b|最大时,有∴,c=b2∴++==当b=﹣2时,取得最小值为﹣1.故答案为:﹣1三、解答题17.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:(Ⅰ)a和c的值;(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.【解答】解:(Ⅰ)∵•=2,cosB=,∴c•acosB=2,即ac=6①,∵b=3,∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即9=a2+c2﹣4,∴a2+c2=13②,联立①②得:a=3,c=2;(Ⅱ)在△ABC中,sinB===,由正弦定理=得:sinC=sinB=×=,∵a=b>c,∴C为锐角,∴cosC===,则cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.18.(12分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如表所示:(Ⅰ)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:X2=【解答】解:(Ⅰ)由题意,X2=≈4.762>3.841,∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(Ⅱ)从这5名学生中随机抽取3人,共有=10种情况,有2名喜欢甜品,有=3种情况,∴至多有1人喜欢甜品的概率.19.(12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCG;(Ⅱ)求三棱锥D﹣BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.【解答】(Ⅰ)证明:∵AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,∴△ABC≌△DBC,∴AC=DC,∵G为AD的中点,∴CG⊥AD.同理BG⊥AD,∵CG∩BG=G,∴AD⊥平面BGC,∵EF∥AD,∴EF⊥平面BCG;(Ⅱ)解:在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB的延长线于O,∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直,∴AO⊥平面BCD,∵G为AD的中点,∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=ABsin60°=,∴VD﹣BCG =VG﹣BCD==×=.20.(12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).(Ⅰ)求点P的坐标;(Ⅱ)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A、B两点,若△PAB的面积为2,求C的标准方程.【解答】解:(Ⅰ)设切点P的坐标为(x0,y),且x>0,y>0.则切线的斜率为﹣,故切线方程为 y﹣y0=﹣(x﹣x),即xx+yy=4.此时,切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=.再根据+=4≥2x0•y,可得当且仅当x=y=时,x 0•y取得最大值为2,即S取得最小值为=4,故此时,点P的坐标为(,).(Ⅱ)设椭圆的标准方程为+=1,a>b>0,∵椭圆C过点P,∴+=1.由求得b2x2+4x+6﹣2b2=0,∴x1+x2=﹣,x1•x2=.由 y1=x1+,y2=x2+,可得AB=|x2﹣x1|=•=•=.由于点P(,)到直线l:y=x+的距离d=,△PAB的面积为S=•AB•d=2,可得 b4﹣9b2+18=0,解得 b2=3,或 b2=6,当b2=6 时,由+=1求得a2=3,不满足题意;当b2=3时,由+=1求得a2=6,满足题意,故所求的椭圆的标准方程为+=1.21.(12分)已知函数f(x)=π(x﹣cosx)﹣2sinx﹣2,g(x)=(x﹣π)+﹣1.证明:(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x)=0;(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x,有x+x1>π.【解答】解:(Ⅰ)当x∈(0,)时,f′(x)=π+πsinx﹣2cosx>0,∴f(x)在(0,)上为增函数,又f(0)=﹣π﹣2<0,f()=﹣4>0,∴存在唯一x0∈(0,),使f(x)=0;(Ⅱ)当x∈[,π]时,化简可得g(x)=(x﹣π)+﹣1=(π﹣x)+﹣1,令t=π﹣x,记u(t)=g(π﹣t)=﹣﹣t+1,t∈[0,],求导数可得u′(t)=,由(Ⅰ)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)<0,当t∈(x,)时,u′(t)>0,∴函数u(t)在(x,)上为增函数,由u()=0知,当t∈[x,)时,u(t)<0,∴函数u(t)在[x,)上无零点;函数u(t)在(0,x)上为减函数,由u(0)=1及u(x0)<0知存在唯一t∈(0,x),使u(t)=0,于是存在唯一t0∈(0,),使u(t)=0,设x1=π﹣t∈(,π),则g(x1)=g(π﹣t)=u(t)=0,∴存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,∵x1=π﹣t,t<x,∴x0+x1>π四、选考题,请考生在22-24三题中任选一题作答,多做则按所做的第一题给分选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.【解答】证明:(Ⅰ)∵PG=PD,∴∠PDG=∠PGD,∵PD为切线,∴∠PDA=∠DBA,∵∠PGD=∠EGA,∴∠DBA=∠EGA,∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,∴∠BDA=∠PFA,∵AF⊥EP,∴∠PFA=90°.∴∠BDA=90°,∴AB为圆的直径;(Ⅱ)连接BC,DC,则∵AB为圆的直径,∴∠BDA=∠ACB=90°,在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,∴Rt△BDA≌Rt△ACB,∴∠DAB=∠CBA,∵∠DCB=∠DAB,∴∠DCB=∠CBA,∴DC∥AB,∵AB⊥EP,∴DC⊥EP,∴∠DCE为直角,∴ED为圆的直径,∵AB为圆的直径,∴AB=ED.选修4-4:坐标系与参数方程23.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(Ⅰ)写出C的参数方程;(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解答】解:(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x,)在圆x2+y2=1上,∴x2+=1,即曲线C的方程为 x2+=1,化为参数方程为(0≤θ<2π,θ为参数).(Ⅱ)由,可得,,不妨设P1(1,0)、P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y﹣1=(x﹣),即x﹣2y+=0.再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0,即ρ=.选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①,或②.解①求得1≤x≤,解②求得 0≤x<1.综上,原不等式的解集为[0,].(Ⅱ)证明:由g(x)=16x2﹣8x+1≤4,求得﹣≤x≤,∴N=[﹣,],∴M∩N=[0,].∵当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,∴x2f(x)+x[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=﹣≤,故要证的不等式成立.。

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=( )A.(﹣2,1)B.(﹣1,1)C.(1,3)D.(﹣2,3)2.(5分)若tanα>0,则( )A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>0 3.(5分)设z=+i,则|z|=( )A.B.C.D.24.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=( )A.2B.C.D.15.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )A.B.C.D.7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )A.B.C.D.10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=( )A.1B.2C.4D.811.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )A.﹣5B.3C.﹣5或3D.5或﹣3 12.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.(5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 .14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为 .15.(5分)设函数f(x)=,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是 .16.(5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN= m.三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(12分)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18.(12分)从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2﹣8y=0,过点P的动直线l与圆C 交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.21.(12分)设函数f(x)=alnx+x2﹣bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。

(22)2014年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷 数学试卷(文史类)

(22)2014年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷  数学试卷(文史类)

2014年普通高等学校招生模拟考试(新课标 第二十二套)数学试卷(文史类)(选自2014年普通高等学校招生全国统一考试辽宁卷)本试卷分第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分,其中第Ⅱ卷第22、23、24题为选考题,其它题为必考题。

满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U =R ,{}|0A x x =≤,{}|1B x x =≥,则集合()U A B = ð( )A .{}|0x x ≥B .{}|1x x ≤C .{}|01x x ≤≤D .{}|01x x << 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =( )A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c b a >> D .c a b >> 4.已知,m n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A .若m α ,n α ,则m nB .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则n αD .若m α ,m n ⊥,则n α⊥5.设,,a b c 是非零向量,已知命题p :若0= a b ,0= b c ,则0= a c ;命题q :若 a b , b c ,则 a c .则下列命题中真命题是( )A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中2AB =,1BC =,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A .2π B .4π C .6π D .8π 7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .84π-B .82π- C .8-π D .82-π 8.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ) A .43-B .-1C .34-D .12- 9.设等差数列{}n a 的公差为d .若数列{}12na a 为递减数列,则( )A .0d >B .0d <C .10a d >D .10a d <10.已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,0,,2()121,,,2x x f x x x ⎧⎡⎤π∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩则不等式1(1)2f x -≤的解集为( )A .1247,,4334⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B .3112,,4343⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C .1347,,3434⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D .3113,,4334⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11.将函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B .在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C .在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D .在区间63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上单调递增 12.当[]2,1x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[]53-,-B .96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C .[]62--,D .[]43--,第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合A={﹣2,0,2},B={x|x2﹣x﹣2=0},则A∩B=()A.∅B.{2}C.{0}D.{﹣2}2.(5分)=()A.1+2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.﹣1﹣2i 3.(5分)函数f(x)在x=x0处导数存在,若p:f′(x0)=0:q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件4.(5分)设向量,满足|+|=,|﹣|=,则•=()A.1B.2C.3D.55.(5分)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n 项和S n=()A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D.6.(5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.7.(5分)正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A﹣B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.79.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.110.(5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A,B两点,则|AB|=()A.B.6C.12D.711.(5分)若函数f(x)=kx﹣ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2]B.(﹣∞,﹣1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)12.(5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[﹣1,1]B.[﹣,]C.[﹣,]D.[﹣,]二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.14.(5分)函数f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx的最大值为.15.(5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(﹣1)=.16.(5分)数列{a n}满足a n+1=,a8=2,则a1=.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.19.(12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民,根据这50位市民对两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;(Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;(Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.(12分)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.21.(12分)已知函数f(x)=x3﹣3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx﹣2只有一个交点.三、选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD•DE=2PB2.四、选修4-4,坐标系与参数方程23.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,](Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.五、选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合A={﹣2,0,2},B={x|x2﹣x﹣2=0},则A∩B=()A.∅B.{2}C.{0}D.{﹣2}【考点】1E:交集及其运算.【专题】5J:集合.【分析】先解出集合B,再求两集合的交集即可得出正确选项.【解答】解:∵A={﹣2,0,2},B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1,2},∴A∩B={2}.故选:B.【点评】本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.2.(5分)=()A.1+2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.﹣1﹣2i【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可.【解答】解:化简可得====﹣1+2i故选:B.【点评】本题考查复数代数形式的化简,分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键,属基础题.3.(5分)函数f(x)在x=x0处导数存在,若p:f′(x0)=0:q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】5L:简易逻辑.【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【解答】解:函数f(x)=x3的导数为f'(x)=3x2,由f′(x0)=0,得x0=0,但此时函数f(x)单调递增,无极值,充分性不成立.根据极值的定义和性质,若x=x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0成立,即必要性成立,故p是q的必要条件,但不是q的充分条件,故选:C.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键,比较基础.4.(5分)设向量,满足|+|=,|﹣|=,则•=()A.1B.2C.3D.5【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】将等式进行平方,相加即可得到结论.【解答】解:∵|+|=,|﹣|=,∴分别平方得+2•+=10,﹣2•+=6,两式相减得4•=10﹣6=4,即•=1,故选:A.【点评】本题主要考查向量的基本运算,利用平方进行相加是解决本题的关键,比较基础.5.(5分)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n 项和S n=()A.n(n+1)B.n(n﹣1)C.D.【考点】83:等差数列的性质.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】由题意可得a42=(a4﹣4)(a4+8),解得a4可得a1,代入求和公式可得.【解答】解:由题意可得a42=a2•a8,即a42=(a4﹣4)(a4+8),解得a4=8,∴a1=a4﹣3×2=2,∴S n=na1+d,=2n+×2=n(n+1),故选:A.【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.6.(5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可.【解答】解:几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为3高为2,一个是底面半径为2,高为4,组合体体积是:32π•2+22π•4=34π.底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯的体积为:32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为:=.故选:C.【点评】本题考查三视图与几何体的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A﹣B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】由题意求出底面B1DC1的面积,求出A到底面的距离,即可求解三棱锥的体积.【解答】解:∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC 中点,∴底面B1DC1的面积:=,A到底面的距离就是底面正三角形的高:.三棱锥A﹣B1DC1的体积为:=1.故选:C.【点评】本题考查几何体的体积的求法,求解几何体的底面面积与高是解题的关键.8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.7【考点】EF:程序框图.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】根据条件,依次运行程序,即可得到结论.【解答】解:若x=t=2,则第一次循环,1≤2成立,则M=,S=2+3=5,k=2,第二次循环,2≤2成立,则M=,S=2+5=7,k=3,此时3≤2不成立,输出S=7,故选:D.【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,比较基础.9.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为()A.8B.7C.2D.1【考点】7C:简单线性规划.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z 的最大值.【解答】解:作出不等式对应的平面区域,由z=x+2y,得y=﹣,平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点A时,直线y=﹣的截距最大,此时z最大.由,得,即A(3,2),此时z的最大值为z=3+2×2=7,故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.10.(5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A,B两点,则|AB|=()A.B.6C.12D.7【考点】K8:抛物线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出焦点坐标,利用点斜式求出直线的方程,代入抛物线的方程,利用根与系数的关系,由弦长公式求得|AB|.【解答】解:由y2=3x得其焦点F(,0),准线方程为x=﹣.则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°(x﹣)=(x ﹣).代入抛物线方程,消去y,得16x2﹣168x+9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,所以|AB|=x1++x2+=++=12故选:C.【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,弦长公式的应用,运用弦长公式是解题的难点和关键.11.(5分)若函数f(x)=kx﹣ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2]B.(﹣∞,﹣1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】38:对应思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】求出导函数f′(x),由于函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)单调递增,可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立.解出即可.【解答】解:f′(x)=k﹣,∵函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)单调递增,∴f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立.∴k≥,而y=在区间(1,+∞)上单调递减,∴k≥1.∴k的取值范围是:[1,+∞).故选:D.【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,属于中档题.12.(5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[﹣1,1]B.[﹣,]C.[﹣,]D.[﹣,]【考点】JE:直线和圆的方程的应用.【专题】5B:直线与圆.【分析】根据直线和圆的位置关系,利用数形结合即可得到结论.【解答】解:由题意画出图形如图:点M(x0,1),要使圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N,使得∠OMN=45°,而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值,此时MN=1,图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1,∴x0的取值范围是[﹣1,1].故选:A.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本题的策略之一.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】所有的选法共有3×3=9种,而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种,由此求得他们选择相同颜色运动服的概率.【解答】解:所有的选法共有3×3=9种,而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种,故他们选择相同颜色运动服的概率为=,故答案为:.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,属于基础题.14.(5分)函数f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx的最大值为1.【考点】GP:两角和与差的三角函数;HW:三角函数的最值.【专题】56:三角函数的求值;57:三角函数的图像与性质.【分析】直接利用两角和与差三角函数化简,然后求解函数的最大值.【解答】解:函数f(x)=sin(x+φ)﹣2sinφcosx=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx=sinxc osφ﹣sinφcosx=sin(x﹣φ)≤1.所以函数的最大值为1.故答案为:1.【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数最值的求解,考查计算能力.15.(5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(﹣1)= 3.【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质,得到f(x+4)=f(x),即可得到结论.【解答】解:法1:因为偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(2+x)=f(2﹣x)=f(x﹣2),即f(x+4)=f(x),则f(﹣1)=f(﹣1+4)=f(3)=3,法2:因为函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3)=3,因为f(x)是偶函数,所以f(﹣1)=f(1)=3,故答案为:3.【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f(x+4)=f(x)是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)数列{a n}满足a n+1=,a8=2,则a1=.【考点】8H:数列递推式.【专题】11:计算题.【分析】根据a8=2,令n=7代入递推公式a n+1=,求得a7,再依次求出a6,a5的结果,发现规律,求出a1的值.=,a8=2,【解答】解:由题意得,a n+1令n=7代入上式得,a8=,解得a7=;令n=6代入得,a7=,解得a6=﹣1;令n=5代入得,a6=,解得a5=2;…根据以上结果发现,求得结果按2,,﹣1循环,∵8÷3=2…2,故a1=故答案为:.【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用,即给n具体的值代入后求数列的项,属于基础题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】56:三角函数的求值.【分析】(1)在三角形BCD中,利用余弦定理列出关系式,将BC,CD,以及cosC 的值代入表示出BD2,在三角形ABD中,利用余弦定理列出关系式,将AB,DA以及cosA的值代入表示出BD2,两者相等求出cosC的值,确定出C的度数,进而求出BD的长;(2)由C的度数求出A的度数,利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积,之和即为四边形ABCD面积.【解答】解:(1)在△BCD中,BC=3,CD=2,由余弦定理得:BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①,在△ABD中,AB=1,DA=2,A+C=π,由余弦定理得:BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②,由①②得:cosC=,则C=60°,BD=;(2)∵cosC=,cosA=﹣,∴sinC=sinA=,则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2.【点评】此题考查了余弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及三角形面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LS:直线与平面平行;MK:点、线、面间的距离计算.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)设BD与AC 的交点为O,连结EO,通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC;(Ⅱ)通过AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,求出AB,作AH⊥PB 角PB于H,说明AH就是A到平面PBC的距离.通过解三角形求解即可.【解答】解:(Ⅰ)证明:设BD与AC 的交点为O,连结EO,∵ABCD是矩形,∴O为BD的中点∵E为PD的中点,∴EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC;(Ⅱ)∵AP=1,AD=,三棱锥P﹣ABD的体积V=,∴V==,∴AB=,PB==.作AH⊥PB交PB于H,由题意可知BC⊥平面PAB,∴BC⊥AH,故AH⊥平面PBC.又在三角形PAB中,由射影定理可得:A到平面PBC的距离.【点评】本题考查直线与平面垂直,点到平面的距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力.19.(12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民,根据这50位市民对两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;(Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;(Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.【考点】BA:茎叶图;BB:众数、中位数、平均数;CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)根据茎叶图的知识,中位数是指中间的一个或两个的平均数,首先要排序,然后再找,(Ⅱ)利用样本来估计总体,只要求出样本的概率就可以了.(Ⅲ)根据(Ⅰ)(Ⅱ)的结果和茎叶图,合理的评价,恰当的描述即可.【解答】解:(Ⅰ)由茎叶图知,50位市民对甲部门的评分有小到大顺序,排在排在第25,26位的是75,75,故样本的中位数是75,所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分有小到大顺序,排在排在第25,26位的是66,68,故样本的中位数是=67,所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67.(Ⅱ)由茎叶图知,50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为,故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1,0.16,(Ⅲ)由茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.【点评】本题主要考查了茎叶图的知识,以及中位数,用样本来估计总体的统计知识,属于基础题.20.(12分)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.【考点】K4:椭圆的性质.【专题】5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)根据条件求出M的坐标,利用直线MN的斜率为,建立关于a,c的方程即可求C的离心率;(2)根据直线MN在y轴上的截距为2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出N的坐标,代入椭圆方程即可得到结论.【解答】解:(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直,∴M的横坐标为c,当x=c时,y=,即M(c,),若直线MN的斜率为,即tan∠MF1F2=,即b2==a2﹣c2,即c2+﹣a2=0,则,即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2(舍去),即e=.(Ⅱ)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,设M(c,y),(y>0),则,即,解得y=,∵OD是△MF1F2的中位线,∴=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|,则|MF1|=4|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,即设N(x1,y1),由题意知y1<0,则(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).即,即代入椭圆方程得,将b2=4a代入得,解得a=7,b=.【点评】本题主要考查椭圆的性质,利用条件建立方程组,利用待定系数法是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大,有一定的难度.21.(12分)已知函数f(x)=x3﹣3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx﹣2只有一个交点.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求函数的导数,利用导数的几何意义建立方程即可求a;(Ⅱ)构造函数g(x)=f(x)﹣kx+2,利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论.【解答】解:(Ⅰ)函数的导数f′(x)=3x2﹣6x+a;f′(0)=a;则y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2,∴f(﹣2)=﹣2a+2=0,解得a=1.(Ⅱ)当a=1时,f(x)=x3﹣3x2+x+2,设g(x)=f(x)﹣kx+2=x3﹣3x2+(1﹣k)x+4,由题设知1﹣k>0,当x≤0时,g′(x)=3x2﹣6x+1﹣k>0,g(x)单调递增,g(﹣1)=k﹣1,g(0)=4,当x>0时,令h(x)=x3﹣3x2+4,则g(x)=h(x)+(1﹣k)x>h(x).则h′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)单调递增,∴在x=2时,h(x)取得极小值h(2)=0,g(﹣1)=k﹣1,g(0)=4,则g(x)=0在(﹣∞,0]有唯一实根.∵g(x)>h(x)≥h(2)=0,∴g(x)=0在(0,+∞)上没有实根.综上当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx﹣2只有一个交点.【点评】本题主要考查导数的几何意义,以及函数交点个数的判断,利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键,考查学生的计算能力.三、选修4-1:几何证明选讲22.(10分)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD•DE=2PB2.【考点】N4:相似三角形的判定;NC:与圆有关的比例线段.【专题】17:选作题;5Q:立体几何.【分析】(Ⅰ)连接OE,OA,证明OE⊥BC,可得E是的中点,从而BE=EC;(Ⅱ)利用切割线定理证明PD=2PB,PB=BD,结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2.【解答】证明:(Ⅰ)连接OE,OA,则∠OAE=∠OEA,∠OAP=90°,∵PC=2PA,D为PC的中点,∴PA=PD,∴∠PAD=∠PDA,∵∠PDA=∠CDE,∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°,∴OE⊥BC,∴E是的中点,∴BE=EC;(Ⅱ)∵PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,∴PA2=PB•PC,∵PC=2PA,∴PA=2PB,∴PD=2PB,∴PB=BD,∴BD•DC=PB•2PB,∵AD•DE=BD•DC,∴AD•DE=2PB2.【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查切割线定理、相交弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.四、选修4-4,坐标系与参数方程23.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,](Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.【考点】QH:参数方程化成普通方程.【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(1)利用即可得出直角坐标方程,利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程.(2)利用半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,则直线CD的斜率与直线l的斜率相等,即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标.【解答】解:(1)由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,],即ρ2=2ρcosθ,可得C的普通方程为(x﹣1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等,∴tant=,t=.故D的直角坐标为,即(,).【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.五、选修4-5:不等式选讲24.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)由a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥2成立.(Ⅱ)由f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,分当a>3时和当0<a≤3时两种情况,分别去掉绝对值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求.【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|≥|(x+)﹣(x﹣a)|=|a+|=a+≥2=2,故不等式f(x)≥2成立.(Ⅱ)∵f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,∴当a>3时,不等式即a+<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<.当0<a≤3时,不等式即6﹣a+<5,即a2﹣a﹣1>0,求得<a≤3.综上可得,a的取值范围(,).【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.。

2014年全国高考数学真题 文科 及答案详解

2014年全国高考数学真题 文科 及答案详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ,则MB =( )A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(-正确答案:A(2)若0tan >α,则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 正确答案:A(3)设i iz ++=11,则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2正确答案:B(4)已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1正确答案:D(5)设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数正确答案:A(6)设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+ A. B.21 C. 21D. 正确答案:C(7)在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 正确答案:C8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱正确答案:B9.执行右面的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158正确答案:D10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点,zxxk xF A 045=,则=x 0( )A. 1B. 2C. 4D. 8正确答案:C(11)设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =(A )-5 (B )3 (C )-5或3 (D )5或-3 正确答案:B(12)已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值 范围是(A )()2,+∞ (B )()1,+∞ (C )(),2-∞- (D )(),1-∞-(B )正确答案:A第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________. 正确答案:2/3(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为________. 正确答案:A(15)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.正确答案:((16)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =________m .本文来自正确答案:150三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2560x x -+=的根。

2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷

2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()AB = U ð( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( )A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c b a >> D . c a b >> 4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )A .若//,//,m n αα则//m nB .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则//n αD .若//m α,m n ⊥,则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量,已知命题p :若0a b ∙=,0b c ∙=,则0a c ∙=;命题q :若//,//a bb c,则//a c ,则下列命题中真命题是( ) A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A .2πB .4π C .6π D .8π7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .84π-B .82π- C .8π- D .82π- 8. 已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ) A .43-B .-1C .34-D .12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}na a 为递减数列,则( )A .0d >B .0d <C .10a d >D . 10a d <10. 已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤的解集为( )A .1247[,][,]4334 B .3112[,][,]4343-- C .1347[,][,]3434D .3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[5,3]--B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3]--第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 执行右侧的程序框图,若输入3n =,则输出T = .14.已知x ,y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .16. 对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分12分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值; (2)cos()B C -的值. 18. (本小题满分12分)某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=,19. (本小题满分12分)如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.(1)求证:EF ⊥平面BCG ; (2)求三棱锥D-BCG 的体积. 附:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高. 20. (本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).(1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:l y x =交于A ,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.21.(本小题满分12分)已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---,2()(1xg x x ππ=--.证明:(1)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =;(2)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F.(1)求证:AB 为圆的直径; (2)若AC=BD ,求证:AB=ED.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N.(1)求M ; (2)当x MN ∈时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.A11.B12.C二、填空题13. 20 14. 18 15. 12 16. -1三、解答题 17.解:(Ⅰ)由2BA BC ⋅=得cos 2c a B ⋅=,又1cos 3B =,所以6ac = 由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+ 又3b =,所以2292213a c +=+⨯= 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩,得2,3a c ==或3,2a c ==因为a c >,所以3,2a c ==(Ⅱ)在ABC ∆中,sin 3B ==由正弦定理,得2sin sin 339c C B b ==⋅=因为a b c =>,所以C 为锐角,因此7cos 9C === 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+= 18.解:(Ⅰ)将22⨯列联表中的数据代入公式计算,得222112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯由于4.762 > 3.841,所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。

2014年高考文科数学辽宁卷

2014年高考文科数学辽宁卷

-------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- -------------------- --------⎨ + = 2绝密★启用前在2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供文科考生使用)此注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.卷2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.上第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只答有一项是符合题目要求的.5. 设 a ,b ,c 是非零向量.已知命题 p :若 a b = 0 ,b c = 0 ,则 a c = 0 ;命题q :若 a ∥b ,b ∥c ,则 a ∥c .则下列命题中真命题是()A . p ∨ qB . p ∧ qC . (⌝p ) ∧ (⌝q )D . p ∨ (⌝q )6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中AB = 2 , BC =1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )A . π2 B . π4 C . π6D . π87. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A . 8 - π4 B . 8 - π2C . 8 - πD . 8 - 2π8. 已知点 A (-2,3) 在抛物线C : y 2= 2 px 的准线上,记C11.将函数 y = 3sin(2x + π) 的图象向右平移 π个单位长度,所得图象对应的函数()12.当 x ∈[-2,1] 时,不等式ax 3 - x 2 + 4x + 3≥0 恒成立,则实数a 的取值范围是 ()A .[-5, -3]B .[-6, - 9] 8C .[-6, -2]D .[-4, -3]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.执行右侧的程序框图,若输入n = 3 , 则输出T = .14.已知 x , y 满足约束条件1.已知全集U = R , A ={x |x ≤0}, B ={x | x ≥1} ,则集合 ( )的焦点为 F ,则直线 AF 的斜率为( )⎧2x + y - 2≥0 ⎪x - 2 y + 4≥0 ⎪3x - y - 3≤0 2.设复数 z 满足(z - 2i)(2 -i) = 5 ,则 z =()9.设等差数列{a } 的公差为d .若数列{2a 1 a n} 为递减数列,则( )⎩n题则目标函数 z = 3x + 4y 的最大值为 .- 11 12 15.已知椭圆C : x y1,点 M 与C 的焦点不重合.3. 已知a = 2 3, b = log 2 , c = log 1 ,则() ⎧1 9 43 2 3⎪cos πx , x ∈[0, 2], 110.已知 f (x ) 为偶函数,当 x ≥0 时, f (x ) = ⎨ 则不等式 f (x -1)≤ 的解 1 2 若 M 关于C 的焦点的对称点分别为 A , B ,线段 MN⎪2x -1, x ∈( , +∞),的中点在C 上,则| AN | + | BN |= . 无⎪⎩24. 已知m , n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是()集为()16.对于c >0 ,当非零实数a ,b 满足4a 2 - 2ab + b 2 - c = 0 且使| 2a + b | 最大时, 1 + 2 + 4的最小值为 .a b c效数学试卷 第 1 页(共 6 页)数学试卷 第 2 页(共 6 页)数学试卷 第 3 页(共 6 页)U ( A B ) =姓名准考证号A .{x | x ≥0}B .{x | x ≤1}C .{x | 0≤x ≤1}D .{x | 0<x <1}A . 2 + 3iB . 2 - 3iC . 3 + 2iD . 3 - 2iA . a >b >cB . a >c >bC . c >b >aD . c >a >bA .若m ∥α , n ∥α ,则m ∥nB .若m ⊥α , n ⊂ α ,则m ⊥nC .若m ⊥α , m ⊥n ,则n ∥αD .若m ∥α , m ⊥n ,则n ⊥αA . - 43B . -1C . - 3 4D . - 12A . d >0B . d <0C . a 1d >0D . a 1d <0A .[1 , 2] [ 4 , 7]4 3 3 4 B .[- 3 , - 1] [1 , 2]4 3 4 3 C .[1 , 3] [ 4 , 7]3 4 3 4 D .[- 3 , - 1] [1 , 3]4 3 3 43 A .在区间[π , 7π] 上单调递减12 12 2 B .在区间[π , 7π] 上单调递增12 12 C .在区间[- π , π] 上单调递减6 3D .在区间[- π , π] 上单调递增6 3三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且 a >c .已知 BA BC = 2 ,cos B = 1, b = 3 .求:3 (Ⅰ) a 和c 的值; (Ⅱ) cos(B - C ) 的值.18.(本小题满分 12 分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查19.(本小题满分 12 分)如图, △ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB = BC = BD = 2 , ∠ABC = ∠DBC =120, E ,F ,G 分别为 AC , DC , AD 的中点.(Ⅰ)求证: EF ⊥平面 BCG ;(Ⅱ)求三棱锥 D - BCG 的体积.附:锥体的体积公式V = 1Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高.320.(本小题满分 12 分)圆 x 2+ y 2= 4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P (如图). (Ⅰ)求点 P 的坐标;(Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆C 过点 P ,且与直线l :请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲如图,EP 交圆于 E ,C 两点,PD 切圆于 D ,G 为CE 上一点且 PG = PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A ,作弦 AB 垂直 EP ,垂足为 F . (Ⅰ)求证: AB 为圆的直径;(Ⅱ)若 AC = BD ,求证: AB = ED .23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参考方程将圆 x 2+ y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线C . (Ⅰ)写出C 的参数方程;y = x + 3 交于 A ,B 两点.若△PAB 的面积为 2,求C(Ⅱ)设直线l :2x + y - 2 = 0 与C 的交点为 P 1 , P 2 ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴的标准方程.为极轴建立极坐标系,求过线段 P 1P 2 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.(Ⅰ)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从 这 5 名学生中随机抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率.21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x ) = π(x - cos x ) - 2sin x - 2 , g (x ) = (x - π) 证明:(Ⅰ)存在唯一 x ∈(0, π) ,使 f (x ) = 0 ;0 2 0+ 2x-1 .π24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲设函数 f (x ) = 2 | x -1| +x -1 ,g (x ) =16x 2 - 8x +1 .记的解集为 N .f (x ) ≤1的解集为 M ,g (x )≤4(Ⅱ)存在唯一 x 1 ∈ π( 2, π) ,使 g (x 1 ) = 0 ,且对(Ⅰ)中的 x 0 ,有 x 0 + x 1>π .(Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)当 x ∈ MN 时,证明: x 2 f (x ) + x [ f (x )]2≤1.4数学试卷 第 4 页(共 6 页)数学试卷 第 5 页(共 6 页)数学试卷 第 6 页(共 6 页)1- sin x 1+ sin x喜欢甜品不喜欢甜品合计 南方学生60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100χ 2n (n n - n n )2附:= 11 2212 21,n 1 +n 2 + n +1n +2P (χ 2≥k )0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635。

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()AB = U ð( )A .{|0}x x ≥B .{|1}x x ≤C .{|01}x x ≤≤D .{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( )A .23i +B .23i -C .32i +D .32i - 3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c b a >> D . c a b >> 4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )A .若//,//,m n αα则//m nB .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥C .若m α⊥,m n ⊥,则//n αD .若//m α,m n ⊥,则n α⊥5. 设,,a b c 是非零向量,已知命题p :若0a b ∙=,0b c ∙=,则0a c ∙=;命题q :若//,//a bb c,则//a c ,则下列命题中真命题是( ) A .p q ∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()p q ∨⌝6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A .2πB .4π C .6π D .8π7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .84π-B .82π- C .8π- D .82π- 8. 已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ) A .43-B .-1C .34-D .12- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}na a 为递减数列,则( )A .0d >B .0d <C .10a d >D . 10a d <10. 已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤的解集为( )A .1247[,][,]4334 B .3112[,][,]4343-- C .1347[,][,]3434D .3113[,][,]4334--11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[5,3]--B .9[6,]8-- C .[6,2]-- D .[4,3]--第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 执行右侧的程序框图,若输入3n =,则输出T = .14.已知x ,y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数34z x y =+的最大值为 .15. 已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .16. 对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c-+的最小值为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分12分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值; (2)cos()B C -的值. 18. (本小题满分12分)某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=,19. (本小题满分12分)如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.(1)求证:EF ⊥平面BCG ; (2)求三棱锥D-BCG 的体积. 附:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高. 20. (本小题满分12分)圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).(1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:l y x =交于A ,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.21.(本小题满分12分)已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---,2()(1xg x x ππ=--.证明:(1)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =;(2)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的01x x π+<.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F.(1)求证:AB 为圆的直径; (2)若AC=BD ,求证:AB=ED.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N.(1)求M ; (2)当x MN ∈时,证明:221()[()]4x f x x f x +≤.参考答案一、选择题1.D2.A3.D4.B5.A6.B7.C8.C9.D10.A11.B12.C二、填空题13. 20 14. 18 15. 12 16. -1三、解答题 17.解:(Ⅰ)由2BA BC ⋅=得cos 2c a B ⋅=,又1cos 3B =,所以6ac = 由余弦定理,得2222cos a c b ac B +=+ 又3b =,所以2292213a c +=+⨯= 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩,得2,3a c ==或3,2a c ==因为a c >,所以3,2a c ==(Ⅱ)在ABC ∆中,sin 3B ==由正弦定理,得2sin sin 339c C B b ==⋅=因为a b c =>,所以C 为锐角,因此7cos 9C === 于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-1723393927=⋅+= 18.解:(Ⅰ)将22⨯列联表中的数据代入公式计算,得222112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯由于4.762 > 3.841,所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。

(Ⅱ)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间121122123112123113212223213123{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}a ab a a b a a b a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b Ω=其中i a 表示喜欢甜品的学生,1,2i =,j b 表示不喜欢甜品的学生,1,2,3j =。

Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的。

用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这以事件,则112123113212223213123{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b =事件A 是由7个基本事件组成,因而7()10P A = 19.(Ⅰ)证明:由已知得ABC DBC ∆≅∆,因此AC DC =, 又G 为AD 的中点,所以CG AD ⊥; 同理BG AD ⊥;因此AD ⊥平面BGC 又//EF AD ,所以EF ⊥面BCG(Ⅱ)在平面ABC 内,作AO CB ⊥,交CB 延长线于O由平面ABC ⊥平面BCD ,知AO ⊥面BDC又G 为AD 的中点,因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半 在AOB ∆中,sin 603AO AB =⋅=11131sin1203322D BCG G BCD DBC V V S h BD BC --∆==⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=20.解:(Ⅰ)设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>,则切线的斜率为00x y -,切线方程为0000()xy y x x y -=--,即004x x y y += 此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=由22000042x y x y +=≥知,当且仅当00x y ==时,00x y 由最大值,即S 有最小值, 因此点P的坐标为(Ⅱ)设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,点1122(,),(,)A x y B x y ,由点P 在C 上知22221a b+=,并由22221x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222620b x b ++-=,又12,x x 是方程的根,因此12212262x x b x x b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由1122y x y x ==122|||AB x x b =-= 由点P 到直线l及||2PAB S AB ∆==得429180b b -+=,解得26b =或3,因此26b =,23a =(舍去)或23b =,26a =,从而所求C 的方程为22163x y += 21.证明:(Ⅰ)当(0,)2x π∈时,()sin 2cos 0f x x x ππ'=+->,所以()f x 在(0,)2π上为增函数, 又2(0)20,()4022f f πππ=--<=->,所以存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =(Ⅱ)当[,]2x ππ∈时,化简得cos 2()()11sin x xg x x x ππ=-⋅+-+令t x π=-,记cos 2()()1,[0,]1sin 2t t u t g t t t t πππ=-=--+∈+, 则()()(1sin )f t u t t π'=+由(Ⅰ)得,当0(0,)t x ∈时,()0u t '<,当0(,)2t x π∈时,()0u t '>在0(,)2x π上()u t 为增函数,由()02u π=知,当0[,)2t x π∈时,()0u t <,所以()u t 在0[,)2x π上无零点 在0(0,)x 上()u t 为减函数,由(0)1u =及0()0u x <知,存在唯一00(0,)t x ∈,使0()0u t = 于是存在唯一0(0,)2t π∈,使0()0u t =设10(,)2x t πππ=-∈,则100()()()0g x g t u t π=-==,因此存在唯一的1(,)2x ππ∈,使1()0g x =由于1000,x t t x π=-<,所以01x x π+> 22.证明:(Ⅰ)因为PD PG =,所以PGD PDG ∠=∠由于PD 为切线,故PDA DBA ∠=∠, 又由于PGD EGA ∠=∠,故DBA EGA ∠=∠所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠,从而BDA PFA ∠=∠ 由于AF EP ⊥,所以90PFA ∠=,于是90BDA ∠=,故AB 是直径。

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