概率论与数理统计 茆诗松 第二版课后 习题参考答案

第七章 假设检验

习题7.1

1． 设X 1 , …, X n 是来自N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题

H 0：µ = 2 vs H 1：µ = 3，

若检验由拒绝域为}6.2{≥=x W 确定． （1）当n = 20时求检验犯两类错误的概率；

（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n 最小应取多少？ （3）证明：当n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为

0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧=−≥−==≥=∈=n X P X P H W X P µµα，

犯第二类错误的概率为

0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧−=−<−==<=∉=n X P X P H W X P µµβ；

（2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n X P X P µµβ，

则99.0)4.0(≥Φn ，33.24.0≥n ，n ≥ 33.93，故n 至少为34；

（3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=−≥−==≥=n n n n n X P X P µµα，

)(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧−=−<−==<=n n n n n X P X P µµβ． 2． 设X 1 , …, X 10是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题

H 0：p = 0.2 vs H 1：p = 0.4，

取拒绝域为}5.0{≥=x W ，求该检验犯两类错误的概率． 解：因X ~ b

(1, p )，有),10(~1010

1

p b X X i i =∑=，

则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10

5

10100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−k k k k

C p X P p X P H W X P α，

6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{4

10101=⋅⋅==<==<=∉=∑=−k k k k

C p X P p X P H W X P β．

3． 设X 1 , …, X 16是来自正态总体N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题

H 0：µ = 6 vs H 1：µ ≠ 6，

拒绝域取为}|6{|c x W ≥−=，试求c 使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ = 6.5处犯第二

类错误的概率．

解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=c c c X P c X P H W X P µµα，

则Φ (2c ) = 0.975，2c = 1.96，故c = 0.98；

故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=<−<−==<−=∉=µµβX P X P H W X P

83.0)96.2()96.0(96.01625

.696.2=−Φ−Φ=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=X P ．

4． 设总体为均匀分布U (0, θ )，X 1 , …, X n 是样本，考虑检验问题

H 0：θ ≥ 3 vs H 1：θ < 3，

拒绝域取为}5.2{)(≤=n x W ，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过0.05，n 至少应取多大？

解：因均匀分布最大顺序统计量X (n ) 的密度函数为θθ<<−Ι=

x n

n n nx x p 01

)(，

则n

n n n n

n n n x dx nx X P H W X P ⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛=====≤=∈=∫

−6535.23

3}3|5.2{}|{5

.20

5

.20

1)(0θα， 要使得α ≤ 0.05，即05.065≤⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛n

，43.16)6/5ln(05.0ln =≥n ，

故n 至少为17．

5． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，

则又有可能犯哪一类错误？

答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；

当原假设不真时，则犯了第二类错误．

若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；

当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．

6． 设X 1 , …, X 20是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题

H 0：p = 0.2 vs H 1：p ≠ 0.2，

取拒绝域为⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤≥=∑∑==1720

1201i i i i x x W 或，

（1）求p = 0, 0.1, 0.2, …, 0.9, 1的势并由此画出势函数的图；

（2）求在p = 0.05时犯第二类错误的概率．

解：（1）因X ~ b

(1, p )，有),20(~201p b X i i ∑=，势函数∑∑=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈=622020

1

)1(201)(k k

k i i p p k p W

X P p g ， 故110201)0(6

220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3941.09.01.0201)1.0(6

220=××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k

k k g ， 1559.08.02.0201)2.0(6

220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3996.07

.03.0201)3.0(6

220=××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k

k g ，