计算方法 第五章第三节最优一致逼近

称 x0为 p(x) f (x)的一个“负”的偏差点。
直接构造最优一致逼近多项式的确比较困难，不妨换 个角度，先考察它应该具备的性质。有如下结论：
定理5.3.4 f (x) C[a,b]，p(x) Pn span{1, x,.., xn}为 f (x)在区间[a,b] 上的n次最优一致逼近多项式，则 p(x) f (x)同时存在正负偏差点。
性质3.
xk

cos
2k 1 ,
2n
k 1, 2,..., n.
Tn (x) 1且Tn (x)在区间[1,1]上恰好有n 1个交错点
k
xk cos n , k 0,1, 2,..., n.
性质4.
设 pn (x)是首项系数为1的n次多项式，则
pn
21n

Tn

21n.
性质４称为切比雪夫多项式的极性，这种极性是我们构造近似 最优一致逼近的依据。
三、近似最优一致逼近多项式
（一）切比雪夫插值多项式
设 pn (x)是函数 f (x) Cn1[1,1]以区间[1,1]上n 1点x0，x1，...， xn 为节点的n次Lagrange多项式，则公式误差为
f (x) pn(x)
次最优一致逼近 多项式
y P (x) n
可见Pn(x) 是 f (x)的 某一个插 值多项式
0
y f (x)
y f (x)
y f (x)
x
由切比雪夫定理可推出： Pn(x) f (x) 在定义域上
至少变号 n+1 次，故至少有n+1 个根。
二、切比雪夫多项式的性质
以 x 0,1为节点作一次Lagrange插值： tan1 x x,
0.0493是否为在区间[0,1]上计算 4 其函误数差tRa2n(x1)x的ta最n好1 x近 似4 x一在次两式端呢点？附近很小，
但在x /4-1处达到最大值 0.0711.
用最佳平方一次多项式拟合： tan1 x 0.0429 0.7918x, 其误差的绝对值在x 1处达到最大值 0.0493.
f
( (n1) x
(n 1)!
)
(
x

x0
)(
xx1Fra bibliotek)...(
x

x
n
),
x [1,1].
记 M n1

max |
1 x1
f
(n1) (x) | .
则
|
f
(x)
pn (x) |
M n1 | (x (n 1)!

x0)(x
x1)...(x

xn) |.
由切比雪夫多项式的极性，当 x0，x1，...，xn取为n 1次切比雪夫 多项式的零点
| p(x0 ) f (x0) |
f p max | f (x) p(x) | axb
则称 x0为 p(x) f (x)的一个偏差点。 而且，若
p(x0 ) f (x0 ) ,
称 x0为 p(x) f (x)的一个“正”的偏差点。 若
p(x0 ) f (x0 ) ,
由于x p(x为 ) 误0.差03函56数R0(.7x)8的54极x,值点 ，0故.0还35应6.有
1 0.2146, 2 0.0711, 3 0.0493,
R '() f '() p '() 0.
0.0356.
整理得
a0 ,
a1 / 4 0.7854,
下面我们求最好的直线所满 足的直线方程。设该方程为
p(x) a0 a1x.

由图示知它与 f (x) tan1 x的误差 R(x) f (x) p(x)在 x 0,
x 和x 1处依顺序变号，且绝对值达到最大，即有
R(0) f (0) p(0) , R( ) f ( ) p( ) , R(1) f (1) p(1) .
S( c0,c1,...,cn ) :
f

pn

inf pPn
f p
定理5.3.3 （惟一性定理） f (x) C [a,b]，其最优一致逼近多项式
pn (x) c0 c1x ... cn xn 是惟一的。
定义5.3.1 设 f (x) C[a,b]，p(x) Pn span{1, x,.., xn}，
k 0,1,..., n 1,
其中 1或 1，称这样的点组为 p(x) f (x)的(切比雪夫)交错点组。
推论
设 f (x) Cn1 [a,b]且 f n1(x)在[a,b]上保号，p(x)
Pn span{1, x,.., xn}为 f (x)在区间[a,b]上的n次最优一致逼近多 项式，则 p(x) f (x)在区间[a,b]上恰好存在n+2个交错点，且

n
f (x) akTk (x) Sn (x) akTk (x)
k=0
k=0

f (x) Sn (x) akTk (x) an T 1 n1(x) k=n+1
由于Tn1(x)有n 2个交错点，故可以近似地说，f (x) Sn (x) 也有n 2个交错点。于是根据切比雪夫定理，Sn (x)是函数 f (x)在区间[1,1]上的一种近似n次最优一致逼近多项式。
证 令 arc cos x, 则 x cos，
cos(n 1) cos(n 1) 2cos cos n,
Tn1(x) Tn1(x) 2xTn (x)
性质2.
Tn(x)为 n 次多项式，首项系数为 2n1，T2n(x)只含 x 的偶次幂， T2n+1(x)只含x 的奇次幂。且Tn(x)在区间 [0,1]上有 n个零点：
Runge 现象说明了这一点。如果用最佳平方逼近，多项式的摆 动现象也说明高次最佳平方逼近多项式拟合不一定就会达到好 的效果。那么，对于在区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) ，是否必 存在多项式序列 {Pn(x)}，使得在区间 [a, b] 上一致地逼近函数 f (x)呢？
定理5.3.1 维尔斯特拉斯（Weierstrass）定理
xˆk

1 2
(b a) cos
2k 1
2(n 1)

a
b ,
k 0,1,..., n.
作变换：x a b a b t. 22
例5.3.2 P192
（二）截断切比雪夫级数
设函数 f (x) C [a,b]. 当正交函数取为切比雪夫多项式族时，得
xk
cos 2k 1 ,
2(n 1)
k 0,1,..., n，
时,
max
1 x1
|
(x

x0
)( x

x1 )...( x

xn
)
|
达到最小值。 此时
| f (x) pn (x) | 2nM(nn11)!.
我们称这样的插值多项式为切比雪夫插值多项式。
当 f (x) C [a,b]时，切比雪夫插值多项式的插值节点变为
f p max | f (x) p(x) | axb
称为 f (x)与 p(x)的偏差。
因此， 最优一致逼近问题等价于求多项式 pn (x) c0 c1x ... cn xn ,
使之与函数 f (x)的偏差达到最小。
定义5.3.2 设 f (x) C[a,b]，p(x) Pn span{1, x,.., xn}，若在 x0 处满足
为 f (x)在区间[a,b]上的n次最优一致逼近多项式的充要条件是 p(x) f (x)
在区间[a, b] 上至少存在n+2个轮流取“正”、“负”的偏差点。即有n+2
个点 a x0 x1 ... xn1 b，使之成立
p(xk ) f (xk ) (1)k
f p ,
f : max | f (x) |, f (x) C[a,b] axb
称为无穷范数或者一致范数
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，pn (x) Pn span{1, x,.., xn}使得
f

pn

inf pPn
f p
成立，则称函数 pn (x)为函数 f (x)在区间[a,b]上的n次最优一致 逼近多项式。

2

(
f
,Tk )

2

1 f (x)Tk (x)dx
1
1 x2
2

f (cos ) cos k d ,
0
k 1, 2,...
因此，函数 f (x)的切比雪夫级数即为函数 f (cos )的Fourier级数。
当 f (x)在区间[-1,1]上分段光滑时，切比雪夫级数在此区间一致收敛于 f (x).
第五章
最佳逼近
§3. 最优一致逼近
一、 最优一致逼近的概念与求法
例5.3.1 试求一次多项式在区间 [0,1] 上逼近函数 f (x) tan1 x.
解 Taylor公式： 在零点展开，tan1 x x, 其误差R1(x) tan1 x x在x 0附近很小， 在x 1处达到最大值 0.2146.
上式等价于求实数 a0,a1,...,an,使得多项式
pn (x) a0 a1x ... an xn
满足
S( a0,a1,...,an ) :
f

pn

inf pPn
f p