高中数学导数的运算

4 y 0
§1.2 导数的运算
一、基本初等函数求导公式
例2、求曲线y sin x在原点处的切线方程
要求在原点的切线方程，由题，应用点斜 式，即要先求出切线的斜率。由导数的几何意 义知，该点的斜率就是曲线在该点的导数。 解： y sin x cos x
在0,0的斜率为 k y x 0 cos 0 1


§1.2 导数的运算
小结：通过这节课的学习，同学们应该做到以下几点： 1、熟记基本求导公式；
2、灵活运用求导法则；
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三角函数的导函数仍是三角函数，反三角函数的 导函数已是代数函数。熟悉这些公式有利于计算导数。
§1.2 导数的运算
二、导数运算的法则
设ux, vx是可导的函数，则 ux vx, u x v x ,
vx 0 仍是可导的函数，且，
[法则 1]
[u( x) v( x)] u ( x) v( x).
arcsin x
1
arctan x
1 ; 2 1 x
1 x
2
;
arccos x
1 1 x
2
;
1 arc cot x 2 ; 1 x
§2.2 导数的运算
一、基本初等函数求导公式
例1、求下列函数的导数
1 y x ;
3
ln x ln x x

3
3x 2 ln x x 2
§1.2 导数的运算
二、导数运算的法则
例6、 设 f ( x) (1 x 2 )(1
1 1 2 解 f x 1 x 2 1 1 1 x 2 2 x x 1 2 2 2 x1 2 1 x 3 x x 2 2x 3 x
1 ), 求f (1) 2 x
和 f (1).
所以 f (1) 4, f (1) 4.
§1.2 导数的运算
二、导数运算的法则
练习
求函数y tan x的导数
sin x sin x cos x cos x sin x y cos2 x cos x cos2 x sin 2 x 1 2 sec x 2 2 cos x cos x
1 y x ;
2 y
解： 1 y= x x ln x 1 1 x 1 2 y ln lnx3 3 3 3 3 3 y ex e1
1 ; x 3
3 y x e ; 4 y e
则y sin x在0,0 处的切线为 y x
§1.2 导数的运算
一、基本初等函数求导公式
思考：曲线上哪些点的切线平行于x轴呢？
切线平行于 x 轴，有 y 0 ，即 cosx=0

得 x k , k
2
，此时 y 1
即 k ,1点的切线都平行于 x轴k Z 2
同理，函数 cotx、secx、cscx 的导数结果也可由 sinx、cosx 的导数 公式推导而得，同学们自己练习
§1.2 导数的运算
例7、求函数 y

3 x 2 x 的导数
解： 3 x 2 x 3 x 2 x y 2 x 2
2 x 3 x 2 x 2 5 2 x 2

§1.2 导数的运算
二、导数运算的法则
注意：法则1、2都可以推广到多个函数的情 况，法则3是法则2的特殊情况 我们可以验证以上法则：
x x x x x x 1 x x 1 2 x x2
x ( x 2 ) x x 2 ( x) 2 x· x x 2 1 . 1 x x2 x2 x
2

§1.2 导数的运算
二、导数运算的法则
例3、 求函数 y x 2 x x cos x e x ln 2 的导数。
解： y x
2
x x cos x e ln 2

x



2x 1
1 2 x
sin x e x
2 y
1 ; x 3
3 y x e ; 4 y e
要求导数首先要区分题目中的函数是 哪种函数，不要被表面现象迷惑。
1是以为底的指数函数
1 2是以 为底的指数函数 3 3是幂函数 4是常数
§1.2 导数的运算
一、基本初等函数求导公式
例1、求下列函数的导数
注意 : ln 2是常数，所以它的导数为0
§1.2 导数的运算
二、导数运算的法则
1 例4、 圆锥体积V r 2 h，当底半径r不变时，求V对高度 3 h的变化率。
解
dV 1 2 1 r h r 2 dh 3 3
（注意： r 2 是常数因子）
1 3
思考：当高度h不变时，V对底半径r的变化率如何？ 例5、 求函数 y x 3 ln x 的导数 解 y x
u x v x
[法则 2]
[法则 3]
[法则 4]
[u( x) v( x)] u ( x) v( x) u( x) v( x).
[Cu ( x)] C u ( x).
u ( x) u ( x) v( x) u ( x) v( x) . v( x) 2 [v( x)]
§1.2 导数的运算
基本初等函数求导公式 导数运算的法则
§1.2 导数的运算
一、基本初等函数求导公式
常数函数的导数 c 0;
幂函数的导数
( x ) x 1 ;
指数函数的导数 (a x ) a x ln a;
特别地 (e x ) e x ；
对数函数的导数 (log a x )
正弦、余弦函数的导数
1 , x ln a
特别地，
(ln x )
1 ; x
(sin x) cos x ， (cos x ) sin x.
§1.2 导数的运算
一、基本初等函数求导公式
tan x sec2 x; cot x csc2 x; sec x sec x tan x; csc x csc x cot x;