应用多元统计分析课后答案 (2)
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2.4 设 X ( X1, X 2 , X p ) 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相
'.
互独立的随机变量。
解： 因为 X ( X1, X 2 , X p ) 的密度函数为
f
(
x1,
...,
x
p
)
1 2
p
Σ
1/
2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
(x
μ)
12
又由于
Σ
2 2
Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图
2.3。
图 2.3 Bivariate Correlations 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差
2 p
Σ
12
2 2
2 p
1
12
1
Σ 1
2 2
1
2 p
则 f (x1,..., xp )
1
2 1
1
p
2
Σ
12
2 2
2 p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
1
2 2
.
(x
μ)
1
2 p
1 2
p
1 2
p
1
exp
1 2
(
x1
1
2 1
)2
1 2
( x2
3 )2
2 2
...
1 2
(xp
2 p
p
)2
p i1
i
1 2
exp
(
xi i
2
2 i
)2
f (x1)... f (xp )
则其分量是相互独立。
2.5 由 于 多 元 正 态 分 布 的 数 学 期 望 向 量 和 均 方 差 矩 阵 的 极 大 似 然 分 别 为
'.
.
n
μˆ X Xi n i 1
其它
2
cov(x1, x2 )
d c
b a
x1
a
2
b
x2
d
2
c
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a )( x2
c)] dx1dx2
(c d )(b a) 36
cov(x1, x2 ) 1
x1 x2
3
（3）解：判断 X1 和 X 2 是否相互独立。 X1 和 X 2 由于 f (x1, x2 ) fx1 (x1) fx2 (x2 ) ，所以不独立。
n
Σˆ (Xi X)(Xi X) n i 1
35650.00
μˆ
X
12.33 17325.00
152.50
201588000.00
Σˆ
38900.00
83722500.00
-736800.00
38900.00 13.067 16710.00 -35.800
83722500.00 16710.00
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
'.
.
fx1 (x1)
d c
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
dx
d
2(d c)(x1 (b a)2 (d
a)x2 c)2
d c
2[(b
a)( x2 (b
.
图 2.2 Options 子对话框
3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表 2.1 样本均值向量
在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下：
1.
选择菜单项 Analyze→Correlate→Bivariate，打开
36573750.00 -199875.00
-736800.00
-35.80
-199875.00
16695.10
1
0
注：利用
X
p1
1 n
X
1n
,
S
X
( I n
1 n
1n1n
)
X
其中
In
0
1
在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项 Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开 Descriptives 对话框。
d c
1
(b a)2 (d c)2
(b a)2 (d c)2
ba
c
0
所以
由于
X1
服从均匀分布，则均值为
b
2
a
，方差为
b a2
12
。
1
同理，由于
X2
服从均匀分布
f x2
(x2 )
d
c
0
方差为 d c2 。
12
（2）解：随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数；
x1 c, d ，则均值为 d c ，
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
c
d
2(d c)(x1 (b a)2 (d
a)x2 c)2
c
d 0
c
2[(b a)t 2(x1 a)t (b a)2 (d c)2
]
dt
2(d
c)(x1
a)x2
d
[(b a)t2
2(x1
a)t 2 ]
将待估计的四个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.1。
图 2.1 Descriptives 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话
框中选择 Mean 复选框，即计算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按
钮返回主对话框。
Βιβλιοθήκη Baidu'.
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)(x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
.
第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， X ( X1, X 2 , X p ) 的 联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 X ( X1, X 2 , X p ) 的子向量的
概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。
2.2 设二维随机向量 ( X1 X 2 ) 服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设 ( X1
X 2 ) 的均值向量为 μ 1
2
，协方差矩阵为
12 21
12
2 2
，则其联
合分布密度函数为
f
(x)
1 2
2
12 21
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
12 21
12
'.
互独立的随机变量。
解： 因为 X ( X1, X 2 , X p ) 的密度函数为
f
(
x1,
...,
x
p
)
1 2
p
Σ
1/
2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
(x
μ)
12
又由于
Σ
2 2
Bivariate Correlations 对话框。将三个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图
2.3。
图 2.3 Bivariate Correlations 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances 复选框，即计算样本离差阵和样本协差
2 p
Σ
12
2 2
2 p
1
12
1
Σ 1
2 2
1
2 p
则 f (x1,..., xp )
1
2 1
1
p
2
Σ
12
2 2
2 p
1/ 2
exp
1 2
(x
μ)Σ1
1
2 2
.
(x
μ)
1
2 p
1 2
p
1 2
p
1
exp
1 2
(
x1
1
2 1
)2
1 2
( x2
3 )2
2 2
...
1 2
(xp
2 p
p
)2
p i1
i
1 2
exp
(
xi i
2
2 i
)2
f (x1)... f (xp )
则其分量是相互独立。
2.5 由 于 多 元 正 态 分 布 的 数 学 期 望 向 量 和 均 方 差 矩 阵 的 极 大 似 然 分 别 为
'.
.
n
μˆ X Xi n i 1
其它
2
cov(x1, x2 )
d c
b a
x1
a
2
b
x2
d
2
c
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a )( x2
c)] dx1dx2
(c d )(b a) 36
cov(x1, x2 ) 1
x1 x2
3
（3）解：判断 X1 和 X 2 是否相互独立。 X1 和 X 2 由于 f (x1, x2 ) fx1 (x1) fx2 (x2 ) ，所以不独立。
n
Σˆ (Xi X)(Xi X) n i 1
35650.00
μˆ
X
12.33 17325.00
152.50
201588000.00
Σˆ
38900.00
83722500.00
-736800.00
38900.00 13.067 16710.00 -35.800
83722500.00 16710.00
（1）解：随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差；
'.
.
fx1 (x1)
d c
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)( x2
c)]
dx
d
2(d c)(x1 (b a)2 (d
a)x2 c)2
d c
2[(b
a)( x2 (b
.
图 2.2 Options 子对话框
3. 单击 OK 按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表 2.1，即 样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表 2.1 样本均值向量
在 SPSS 中计算样本协差阵的步骤如下：
1.
选择菜单项 Analyze→Correlate→Bivariate，打开
36573750.00 -199875.00
-736800.00
-35.80
-199875.00
16695.10
1
0
注：利用
X
p1
1 n
X
1n
,
S
X
( I n
1 n
1n1n
)
X
其中
In
0
1
在 SPSS 中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项 Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开 Descriptives 对话框。
d c
1
(b a)2 (d c)2
(b a)2 (d c)2
ba
c
0
所以
由于
X1
服从均匀分布，则均值为
b
2
a
，方差为
b a2
12
。
1
同理，由于
X2
服从均匀分布
f x2
(x2 )
d
c
0
方差为 d c2 。
12
（2）解：随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数；
x1 c, d ，则均值为 d c ，
c) 2(x1 a)(x2 a)2(d c)2
c)]
dx2
c
d
2(d c)(x1 (b a)2 (d
a)x2 c)2
c
d 0
c
2[(b a)t 2(x1 a)t (b a)2 (d c)2
]
dt
2(d
c)(x1
a)x2
d
[(b a)t2
2(x1
a)t 2 ]
将待估计的四个变量移入右边的 Variables 列表框中，如图 2.1。
图 2.1 Descriptives 对话框
2.
单击 Options 按钮，打开 Options 子对话框。在对话
框中选择 Mean 复选框，即计算样本均值向量，如图 2.2 所示。单击 Continue 按
钮返回主对话框。
Βιβλιοθήκη Baidu'.
2 2
1
(x
μ)
。
2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 ) 的联合密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
2[(d
c)( x1
a)
(b a)(x2 (b a)2 (d
c) c)2
2( x1
a)(x2
c)]
其中 a x1 b ， c x2 d 。求 （1）随机变量 X1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量 X1 和 X 2 的协方差和相关系数； （3）判断 X1 和 X 2 是否相互独立。
.
第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， X ( X1, X 2 , X p ) 的 联合分布密度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 X ( X1, X 2 , X p ) 的子向量的
概率分布，其概率密度函数的维数小于 p。
2.2 设二维随机向量 ( X1 X 2 ) 服从二元正态分布，写出其联合分布。
解：设 ( X1
X 2 ) 的均值向量为 μ 1
2
，协方差矩阵为
12 21
12
2 2
，则其联
合分布密度函数为
f
(x)
1 2
2
12 21
12
2 2
1/
2
exp
1 2
(x
μ)
12 21
12