(完整版)整式的加减乘除复习

整式的加减乘除复习
一、知识梳理
（一）整式的相关概念
1. 单项式：数与字母的乘积。

单项式的系数：单项式中的数字因数。

单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和。

2. 多项式：几个单项式的和。

多项式的项：每个单项式。

多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数。

常数项：多项式中，不含字母的项。

（二）整式的加减法
1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

（1）同类项与系数无关；（2）与字母的顺序无关。

2. 合并同类项：把多项式的同类项合并成一项。

（1）同类项的系数相加作为新的系数；（2）字母和指数不变；（3）不是同类项不能合并。

3. 去括号、添括号：（1）括号前是“—”号，去括号时括号内各项要变号（正号不变，负号全变）；（2）括号前是数字因数，先用乘法分配率将数与括号内各项分别相乘再去括号；（3）多层括号应由里向外，逐层去括号。

4. 整式加减的一般步骤：
（1）如果有括号，先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项。

（三）整式的乘除法
1. 整式的乘除法
单项式乘单项式：（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它们的指数不变，作为积的因式。

单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc.根据分配率用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式乘多项式：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式除以单项式：（1）系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；（2）只在被除式里出现的字母，连同指数一起作为商的一个因式。

多项式除以单项式：(a+b+c)÷m=a ÷m+b ÷m+c ÷m.多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

2. 幂的运算
（1）同底数幂的乘法：n m n m a
a a +=⋅；逆用：n m n m a a a ⋅=+。

（2）同底数幂的除法：n m n m a
a a -=÷，()0≠a ；逆用：n m n m a a a ÷=-，()0≠a 。

（3）幂的乘方：()mn n m
a a =；逆用：()n
m mn a a =。

（4）积的乘方：()m m m b a ab =；逆用：()m
m m ab b a =。

（5）零指数幂：10
=a ，()0≠a 。

（6）负指数幂：p p p a a a
11=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-，()0≠a 。

3. 整式乘法公式 （1）平方差公式：()()22b a b a b a -=-+。

结构特征：左边是两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方与相反项的平方之差。

（2）完全平方公式：()ab b a b a 2222
±+=±。

结构特征：左边是二项式的完全平方；右边是二项平方之和，再加上或减去这两项乘积的二倍。

（3）特殊的变形公式：
()()()()[]
2222222122b a b a ab b a ab b a b a -++=+-=-+=+ ()()ab b a b a 422=--+
二、专项练习
1. 在式子12m,0,1−3a,2x ，a+b π,a−b a+b 中，整式有( )
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
2. 已知单项式3x a−1y 的次数是3，则a 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4
D. 5 3. 已知x −1x =1，则x 2+1x 2=( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 2√3−2√2√17−12√2的值等于( )
A. 5−4√2
B. 4√2−1
C. 5
D. 1 5. 若13a 2m−5b n+1与−3ab 3−n 的和为单项式，则m +n = ______ ．
6. 若5x n −(m −1)x +3为关于x 的三次二项式，则m −n 的值为______．
7. 化简：3a 2−[a 2−(2a −5a 2)−2(a 2−3a)]= ______ ．
8. 若m 2+mn =−3，n 2−3mn =−12，则m 2+4mn −n 2的值为______．
9. 已知2x =3，2y =5，则22x+y−1= ______ ．
10. 若x +2y =2，则3x ⋅9y = ______ ．
11. 已知2m +5n +3=0，则4m ×32n 的值为______ ．
12. 若5x −3y −2=0，则105x ÷102y = ______ ．
13. 定义计算“△”，对于两个有理数a ，b ，有a △b =ab −(a +b)，例如：−3△2=−3×2−(−3+2)=
−6+1=−5，则[(−1)△(m −1)]△4=______．
14. 已知a >b ，如果1a +1b =3
2，ab =2，那么a −b 的值为______．
15. (1)−2x 2y(3xy 2z −2y 2z)；
(2)(2ab)2⋅(a 2−b 2)−(2a 2b 2)2÷(4b 2)+4a 2b 4；
(3)1232−124×122；
(4)(x 2−y)2−14(x 2−y 2)；
(5)[(2a +b)2−b(b +4a)−8a]÷(−12a)．
16. (1)(x +1)(x −1)(x 2+1)(x 4+1)；
(2)(3x +2)2−(3x −5)2；
(3)(x −2y +1)(x +2y −1)；
(4)(−2)24(−0.125)8+20162−2015×2017．
17. 先化简，再求值：(−3xy)2(x 2+xy −y 2)−3x 2y 2(3x 2+3xy +y 2)，其中x =−43，y =−32．
18. (1)已知a −b =1，ab =−2，求(a +1)(b −1)的值；
(2)已知(a +b)2=11，(a −b)2=7，求ab ；
(3)已知x −y =2，y −z =2，x +z =4，求x 2−z 2的值．
19. 计算(2126)3×(1314)4×(43)3．
20. 观察下列各式：
−a ，12a 2，−14a 3，18a 4，−116a 5，132a 6，…
(1)写出第2014个和2015个单项式；
(2)写出第n 个单项式．
21. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，
也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：(a +2b)(a +b)=a 2+3ab +2b 2
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a +b +c 的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a +b +c =11，ab +bc +ac =38，求a 2+b 2+c 2的值．
(3)如图3，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一直线上，连接BD 和BF.若这两个正方形的边长满足a +b =10，ab =20，请求出阴影部分的面积．
三、提高检测。