天津理工大学概率论与数理统计第二章习题答案详解

第2章一维随机变量 习题2

一. 填空题：

1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 {

}0x P =ξ = __________。 解：()()000--x F x F 2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+=

x arctgx x F π

1

21 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。 解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 1

4

3.设 ξ 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，

则 P{ ξ = 3 }= ___

278

3

e - 或 3.375e -3____。 4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {

}⋅⋅⋅===,2,1,0,!

k k C k P K

λξ，

常 数 λ>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e -λ

_____。

解：

{}λλλλξ-∞

=∞

=∞==⇒=⇒=⇒=⇒==∑

∑

∑e C Ce k C k C

k P K

K K

K K 11!

1!

10

5 设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭

⎫

⎝⎛==k A k P k

ξ

则 ⎭⎬⎫⎩⎨

⎧<<252

1

ξP = 0.8 。

解：

()A A k P k 1615

1618141214

1

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令

1516

1A = 得 A =1615

()()21252

1

=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<ξξξp p P 8.041211516=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=

6.若 定 义 分 布 函 数 (){

}x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是

F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 1

7. 随机变量) ,a (N ~

2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ，

则随着σ的增大，g()σ之值 保 持 不 变 。

8. 设 ξ ~ N ( 1， 1 )，记ξ 的概率密度为 ϕ( x ) ，分布函数为 F ( x )，则

{}{}=≥=≤11ξξP P 0.5 。

9、分别用随机变量表示下列事件

(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件 .“收到呼唤3次”}

{3=X ，

“收到呼唤次数不多于6次”}{}{k X X k ==≤=6

06Y

(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件. “长度等于10cm ” = }{10=X ；

“长度在10cm 到10.1cm 之间” = }.{11010≤≤X

(3)检查产品5件，设A 为至少有一件次品，B 为次品不少于两件，试用随机变量表示事件

AB ,B A ,B ,B ,A Y .

解: }{}{0===X A 没有次品 }{}{2<==X B 次品少于两件

}{}{2≥==X B 次品不少于两件 }{}{1≥==X B A 至少有一件次品Y }{}{2<==X AB 次品数不到两件

10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x 表示取出的3只球中的最

大号码，则X 的分布律为:

二. 计算题：

1、将一颗骰子抛掷两次，以1X 表示两次所得点数之和，以2X 表示两次中得到的小的点数，试分别写出21,X X 的分布律.

2、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数.求X 的分布律；.

3、(1)设随机变量X 的分布律为：0,,2,1,0k ,!

k a }k X {P k

>λ=λ==Λ为常数，试确定常数a .

解: 因

∑∑

∑

∞=∞

=∞

==λ=λ=

=0k k

k 0

k 0

k 1!

k a !k a }k X {P 1ae =⇒λ, 故 λ-=e a (2)设随机变量X 的分布律为：N ,,2,1k ,N

a

}k X

{P Λ==

=，试确定常数a .

1a 1N 1

aN N

1a N a }k X {P N

1k N

1

k N

1

k =⇒=⨯====∑∑

∑=== 4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.

X

1

2

3

5、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.

解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x 表示x 可取值为0,1,2,3,4，又设A 的表示事件：{汽车将通过时第i 盏信号灯开绿灯}，4,3,2,1=n

由题意4.0)(,6.0)(==n n A P A P

}0{=x 表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)},故4.0}(}0{1===A P x P }1{=x 表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故4.06.0)()()(}1{2121⨯====A P A P A A P x P .

同理4.06.0)()()()(}2{2

321321⨯====A P A P A P A A A P x P 4.06.0)()()()()(}3{343214321⨯====A P A P A P A P A A A A P x P 4432143216.0)()()()()(}4{====A P A P A P A P A A A A P x P

于是x 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧==⨯==4

k ,6.03

,2,1,0k ,4.06.0}k x {P 4

k

即

6、自动生产线调整以后出现废品的机率为p ，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.

7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：