数学必修三1.3算法案例

While d<>n IF d>n then m=d ELSE m=n n=d End if d=m-n Wend d=2^k*d PRINT d End
3.辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转 相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算 次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个 数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现 结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以 减数与差相等而得到.
r≠0?
n=r m=n
是
否
输出n
结束
INPUT m,n IF m<n THEN x=n n=m m=x END IF r=m MOD n WHILE r<>0 m=n n=r r=m MOD n WEND PRINT n END
练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723 的最大公约数. 20723=4081×5+318;
4081=318×12+265;
318=265×1+53; 265=53×5+0.
2.更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法， 就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者 半之，不可半者，副置分母· 子之数，以少减多，更 相减损，求其等也，以等数约之。 翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断 它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第 二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小 的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操 作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是 所求的最大公约数。
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个 商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数； 若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一 个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数； 若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一 个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为 所求的最大公约数。
程序框图
开始
输入a0,a1,a2,a3,a4,a5
程序
INPUT a0,a1,a2,a3,a4,a5
输入x0
n=1 v=a5
n=n+1 n≤5?
v=vx0+a5-n
否
输出v
是
INPUT x0 n=1 v=a5 WHILE n<=5 v=vx0+a5-n n=n+1 WEND PRINT v END
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小 数，并辗转相减， 即：98－63＝35; 63－35＝28; 35－28＝7; 28－7＝21; 21－7＝14; 14－7＝7. 所以，98与63的最大公约数是7。 练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公 约数。
[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多项式 的求值问题? v0=2 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5 4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x v2=v1x-4=5×5-4=21 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108 2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(((2x v4=v3x-6=108×5-6=534 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
[问题2]有没有更高效的算法? 分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以 减少计算量, 即先计算x2,然后依次计算
x x,( x x) x,(( x x) x) x
2 2 2
的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘法 运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次 数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来 说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长 得多,因此第二种做法能更快地得到结果.
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146; 6105＝2146×2＋1813; 2146＝1813×1＋333; 1813＝333×5＋148; 333＝148×2＋37; 148＝37×4＋0. 则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。 也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年 左右首先提出的。
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辗转相除法求最大 公约数算法： 第一步,给定两个正数m,n 第二步,计算m除以n所得到余数r 第三步,m=n,n=r 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m; 否则返回第二步
4. 辗转相除法的程序框图及程序:
开始
输入两个正数m,n m<n?
是ห้องสมุดไป่ตู้
x=n n=m m=x
否
r=m MOD n
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值. 解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
结束
课本P45页练习T2;
P48页A组T2.
一、三维目标 （a）知识与技能 了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各 种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。 （b）过程与方法 学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进 制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。 （c）情感态度与价值观 领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二 进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系.
二、教学重难点 重点：各进位制表示数的方法及各进位制之 间的转换 难点：除k去余法的理解以及各进位制之间转 换的程序框图的设计 三、学法 在学习各种进位制特点的同时探讨进位制表 示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位 制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位 制的除k去余法。
[问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是 并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时 间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是 二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又 有什么联系呢? 进位制是人们为了计数和运算的方便而约定 的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满 十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制; 等等. “满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几. 可使用数字符号的个数称为基数.基数都是 大于1的整数.
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次 多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的 一种方法. 它的特点是:把求一个n次多项式的值转 化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把 运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次 加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算, 大大提高了运算效率.
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明 显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的 知识即可求出最大公约数. 解：8251＝6105×1＋2146 显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约 数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数， 所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最 大公约数。
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……,
vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk 的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得 v0=an, vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤, 因此可用循环结构来实现. [问题]画出程序框图,表示用秦九韶算法求5次多项式 f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0当x=x0 (x0是任意 实数)时的值的过程,然后写出程序.
v0=2
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项 式的值是2677.
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.
更相减损术算法 第一步,给定两个正整数,不妨设m>n, 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简,使他们不同时是 偶数,约简后的两个数仍记为m,n 第三步,d=m-n 第四步,判断”d<>0”是否成立,若是,则将n,d 中较大者 记为m,较小的记为n,返回第三步;否则,2^k *d(k是约简 整数的2的个数)为所求的最大公约数.
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式: f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多 v1=anx+an-1, 项式的值,即
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
解法二:列表
2
原多项式 的系数
x=5
2
-5 10 5
-4 25 21
3 -6 7 105 540 2670 108 534 2677
多项式的 值.
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值. 解:原多项式先化为:
开始
输m,n(m>n)
K=0
N=n/2
K=k+1
M,n为偶数?
是 D=m-n
M=m/2
否 M=d D=m-n N=d M=n 否 D<>n?
是
D>n?
是
输出2^k d
结束
INPUT “m,n=“;m,n IF m<n THEN a=m m=n n=a END IF K=0 WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1 WEND d=m- n
如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;
十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个数字, 基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个数 字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15),十 六进制的基数是16. 注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右 下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.
作业:
课本P45页练习T1;
P48页A组T1.
〖教学设计〗
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当 x=5时的值的算法,并写出程序.
程序
x=5 f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法 运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意 多项多求值问题,而且计算效率不高.
〖创设情景，揭示课题〗
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的 知识，你能求出18与30的最大公约数吗？ 2 18 30 先用两个数公有的质因数连 3 9 15 续去除,一直除到所得的商 3 5 是互质数为止,然后把所有 ∴18和30的最大公约数 的除数连乘起来. 是2×3=6. [问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约 数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得 到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？ 比如求8251与6105的最大公约数?
f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
0 -4 3 -6 0 25 125 605 3040 15170 2 25 121 608 3034 15170 所以,当x=5时,多项式的值是15170. 注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将 其系数补0. 列表 x=5 2 -5 10 5