连续优化

p cos a = E = 2 s
ph s 3
其中， 为 点的光强度 点的光强度， 为平面的法线方向与光源 其中，p为 O点的光强度，a为平面的法线方向与光源 点的连线之间的夹角,h为光源的高度 到 A点的连线之间的夹角 为光源的高度 ， s为光源到 点的连线之间的夹角 为光源的高度， 为光源到 A点的距离 点的距离 4.为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的 为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的 照明强度， 照明强度，取照度的最小值为 2
连续约束优化
例：考虑我们被一家小型石油转运公司雇佣为咨询员的情形。 由于储存空间非常有限，该公司管理人员希望有一种使费用 最小的管理策略。 识别问题： 在满足有限的储存空间约束的前提下，分配和维持足够的石 油以满足需求，使总费用最小。 假设： 决定总费用的因素很多，在我们的模型中，考虑以下因素： 容器储存石油的费用；单位时间内从容器中取走石油的速率； 石油的成本；容器的容量。
2 3
− h
2

求解
对s关于h求导可得： 关于h求导可得：
h =
*
1
4
27
p c0
此时面积达最大值，可求得路灯得最优高度。 此时面积达最大值，可求得路灯得最优高度。 面积达最大值 代入，结果为： 代入，结果为： 最优高度h 4.60米 最优高度h为4.60米
二 两盏路灯间距最大的的优化问题 目 的 主要考虑当高度为何值时， 主要考虑当高度为何值时，两灯 的距离可达最大值
背景知识
1. 光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的物 光强度： 理量。 理量。以光源在某一方向上单位立体角所辐射的能量来 量度，单位： 量度，单位：坎德拉 2. 照度：单位面积上得到的光通量，单位：勒克司 照度：单位面积上得到的光通量，单位： 3. 照度定律：点光源 预备照明平面中心 的距离为 照度定律：点光源O预备照明平面中心 预备照明平面中心A的距离为 h时，平面上 点的照度 时 平面上A点的照度
20 w / m
模型假设
1. 主要考虑高度和间距的优化问题为简化模型设 路灯的额定功率为定值 路的路灯标签 p 0 = 2200 w 注：数据来源 A路的路灯标签 额 额定电流为10安 定电压为220伏，额定电流为 安 2. 在考虑一排路灯的情况时，假设为完全规范的， 在考虑一排路灯的情况时，假设为完全规范的， 即处处等宽。 数据来源： 即处处等宽。即宽度为 5米 （数据来源：实地测 路的宽度. 量A路的宽度.） 3. 经查阅物理知识，照明强度直接影响可见度，只 经查阅物理知识，照明强度直接影响可见度， 有照明强度不低于某定值时，才能认为物体可见。 有照明强度不低于某定值时，才能认为物体可见。 在这里认为对所有物体照明强度不低于某定值
c 0 = 20 w
m
2
模型假设
4. 经观测路长L=260米 经观测路长L=260米 L=260 记 号
h: 路灯的高度
l: 路灯的间距 L: 路长
p: 路灯的功率
d:路的宽度
模型建立与求解
一 . 一盏路灯的优化问题 由物理学知识可知， 由物理学知识可知，被光线照射的物体的亮度依 赖于它与光源之间的距离平方的倒数和光线的投射 角度。路灯到某点A的照明强度为： 角度。路灯到某点A的照明强度为：
利用计算机代数系统，得解 （美元） x1 = 5.0968, x2 = 3.4516, λ = 0.3947, f ( x1 , x2 ) = 12.71
f 当对 x1 , x2 的值做很小的扰动（无论增加或减少）时， ( x1 , x2 ) 的值都增加，因此，这个解是一个极小点。
模型的敏感性
λ 变量 λ 的值具有特殊的意义，称为影子价格。 的值表示的是， 当 λ 所表示的右端项每增加一个单位时，目标函数值的改变量。在 问题中 λ =0.3947表示，若储存容器的总容量从24立方英尺增加到25 立方英尺，则目标函数的值从12.71美元近似变为12.71+1×0.3947， 即13.10美元。经济解释是：储存容器的总容量增加一个单位时，总 费用增加0.40美元。
最大利润化函数
P( x1 , x2 ) = R − C = (3390 − − 0.03x2 ) x1 + (3390 − 0.04 x1 − 0.1x2 ) x2 − (400000 + 1950 x1 + 2250 x2 ) = 1440 x1 − 0.1x1 + 1740 x2 − 0.1x2 − 0.07 x1 x2 − 400000
2ph 1 2 2 2 l +d +h 4
3 2
+
2ph 9 2 2 2 l +d +h 4
3 2
且要使R点的物体可见应有 且要使 点的物体可见应有：
c
≥
c
0
求使得l最大的 最大的h值 从而只需求当cR= c0 时,求使得 最大的 值
同第二部分， 同第二部分，用Matlab求解 求解 结 米时， 最大。 得h=6.6米时，l最大。 米时 最大 果 最大值为16.5米。 最大值为 米 2
c =
(r
ph
2
+ h
2
)
3
2
其中p为灯的功率 ， 为灯的高度 为灯的高度， 为灯在地面 其中 为灯的功率， h为灯的高度 ， r为灯在地面 为灯的功率 投映点到点A的距离 投映点到点 的距离.
地面上物体可见的区域为： 地面上物体可见的区域为：
(r
ph
2
+ h
2
)
3
≥ c
2
0
条件： 物体可见区域 条件：
数学建模与数学实验
连续优化建模
优化模型
• 优化：在一定条件下，使目标最大的决 策。 • 优化问题是经常遇到的问题，如：结构 设计，资源分配，生产计划，运输方案 等。 • 全国大学生数模竞赛题一半以上与优化 有关，并且需用软件求解。
竞争性产品生产中的利润最大化
情景 一家制造计算机的公司计划生产两种产品：两种计算机使用相同 的处理芯片，但一种使用27英寸的显示器，另一种使用31英寸的 显示器。除了400000美元的固定费用外，每台27英寸显示器的计 算机花费1950美元，而31英寸的需花费2250美元。每台27英寸显 示器的计算机零售价格为3390美元，而31英寸的零售价格为3990 美元。在竞争市场上，一种类型的计算机每多买出一台，它的价 格就下降0.1美元。此外，每销售一台31英寸显示器的计算机，27 英寸计算机零售价格下降0.03美元；每销售一台27英寸显示器的 计算机，31英寸的计算机零售价格下降0.04美元。假设制造的所 有计算机都可以售出，那么该公司应该生产每种计算机多少台， 才能使利润最大？
l1 l1
1 A
如图， 点的照度在路面的各点 如图，A点的照度在路面的各点 中最小，所以l和 的只需满足 中最小，所以 和 h的只需满足 :
c A ≥ c0
其中c A =
目 的
(0.25l
2 ph
2
+h +d
2
2
)
3
2
只需
由
， l最 最
4400 h
2
的h 的
= 20
2
(0 .25 l
2 3
+ h 2 + 25
三 一排路灯的优化问题 目 的 路灯 路灯 灯 的 1. 的路灯
K L
的
路
M
N
Q
R
2
由上图可知,路灯 和 之间的路段 与中点Q相对的 之间的路段， 相对的R 由上图可知 路灯l和m之间的路段，与中点 相对的 路灯 点的照明强度最小，并且计算该点照明强度时， 点的照明强度最小，并且计算该点照明强度时，只 需考虑路灯K,L,M,N对其的影响，其他较远的路灯对 对其的影响， 需考虑路灯 对其的影响 其的影响可忽略。 其的影响可忽略。 R点的照明强度为 c = 点的照明强度为
1 2 9 4 3 5 0.50 0.20 2 4
通过测量，我们发现公司的储存容量只有24立方英尺 。将以 上数据带入，我们的模型为
min f ( x1 , x2 ) = 2 x1 + 4 x2 = 24 27 20 + 0.25 x1 + + 0.10 x2 x1 x2
模型求解： 模型求解： 求解具有等式约束的非线性优化问题的常用方法是Lagrange乘 子法。
ph r ≤ c 0
2
3
− h2
物体可见区域的面积为以O为圆心， 物体可见区域的面积为以 为圆心，以r为半径的圆 为圆心
ph 其中r = c 0
2
3
− h2
2
模型为： 模型为：
max s = π r
ph = π c 0
定义函数
L( x1 , x2 , λ ) = f ( x1 , x2 ) + λ[ g ( x, y ) − T ]
27 20 即L( x1 , x2 , λ ) = + 0.25 x1 + + 0.10 x2 + λ (2 x1 + 4 x2 − 24) x1 x2 ∂F − 27 ∂x = x 2 + 0.25 + 2λ = 0 1 1 ∂F − 20 = 2 + 0.10 + 4λ = 0 ∂x2 x2 ∂F ∂λ = 2 x1 + 4 x2 − 24 = 0
2 2
最优的必要条件是 ∂P = 1440 − 0.2 x1 − 0.07 x2 = 0 ∂x1 ∂P = 1740 − 0.07 x1 − 0.2 x2 = 0 ∂x2
解方程组得到： x1=4736 , x2=7043 (都经过了舍入） 也就是说，公司应该制造4736台27英寸的系统，7043台31英寸 的系统，总利润为P(4736,7043)=9136410.25（美元）。