雷达距离估算

经典雷达距离估算
2.1 引言
对于自由空间中特定目标的检测（该目标的检测受热噪声的限制），雷达最大作用距离估算的基本物理机理从雷达出现起就为人所熟知。

本章的术语自由空间指以雷达为球心、半径远远延伸到目标之外的球形空域内仅有雷达和目标。

本章采用的自由空间定义对具体的雷达而言是相当准确的，而通用定义是冗长的，且用处不大。

该定义还暗示，自由空间内可被检测的雷达频率电磁波除了来源于雷达自身的辐射外，仅来自于自然界热或准热噪声源，如2.5节所述。

尽管上述的条件是不可能完全实现的，但是它接近许多雷达的实际环境。

在许多非自由空间和完全非热噪声的背景下，估算问题要复杂得多。

这些在早期分析中没有考虑到的复杂性也是由接收系统电路的信号和噪声关系的改变（信号处理）引起的。

在本章中将给出自由空间方程，讨论基本的信号处理，以及考虑一些十分重要的非自由空间环境下的方程和信号处理。

另外还将考虑一些常见非热噪声的影响。

虽然不可能涉及所有可能的雷达环境，但是本章所叙述的方法将简要地说明那些适合于未考虑到的环境和条件的必然方法的一般性质。

一些要求采用特定分析的专用雷达将在后面章节中叙述。

定义
雷达作用距离方程包含许多雷达系统及其环境的参数，其中一些参数的定义是相互依赖的。

正如2.3节所讨论的，某些定义含有人为因素，不同作者使用不同的作用距离方程因子定义是常见的。

当然，若存在被广泛接受的定义，则采用该定义。

但更重要的是，虽然某些定义允许一定的随意性，但是一旦一个距离方程因子采用特定的定义，则一个或更多的其他因子的定义将不再具有随意性。

例如，脉冲雷达的脉冲功率和脉冲宽度的定义各自均具有很大的随意性，但是一旦任何一个定义被确定，那么另一个定义将由限制条件决定，即脉冲功率与脉冲宽度的乘积必须等于脉冲能量。

在本章中将给出一套定义，该定义遵循上述准则，并已被权威组织采纳。

约定
由于传播途径因子和其他距离方程因子的变化很大，因此在这些因子的具体值未知的标准条件下，某些约定是估算作用距离所必需的。

通常采用的一种约定是标准假设，这种假设实际上并不一定能遇到，但却在所能遇到的条件范围内，尤其是在条件范围的中间附近，这种假设是可行的。

就像传统的地球物理假设一样，为计算基于地球曲率的某些地球环境效应，假设地球是一个半径为6370km的理想球体。

约定的重要性在于，它提供了比较不同雷达系统的共同基础。

约定是典型条件的代表，就这一点来说，它们也可用于估算实际的探测距离。

第2章雷达距离估算·19·本章将使用被广泛采用的约定，而当所需的约定不存在时，将提出另外适当的约定。

距离估算的基本观点
由前面的讨论可确知,基于约定假设的作用距离估算并不要求用严格的实验结果来验证。

这一点将由噪声的统计特性进一步证实，而噪声通常是信号检测过程的限制因素。

换句话说，即使所有的环境因素都精确已知，距离估算结果也不可能由一次实验完全证实。

统计估算结果是指多次实验结果的平均值。

所以，雷达距离估算并不是一门严格学科。

（实际上，量子力学的教训表明，从严格的意义上讲不存在所谓的严格学科。

）
然而，雷达作用距离的估算仍然是有用的。

尽管从绝对意义上讲，估算是不精确的，但它可以得到不同设计方案预期性能方面有意义的比较结果，并且如果雷达参数或环境条件发生变化时，距离估算可以显示预期的距离性能的相对变化。

因此，距离估算是系统设计者强有力的工具。

估算的作用距离是雷达系统的一个质量指标。

估算的距离并不是惟一指标，其他的重要指标还有目标位置测量精度、数据率、可靠性、可维修性、体积、重量和价格。

虽然从绝对意义上说，估算是不精确的，但是估算距离的误差可以小到足以体现在一般环境下雷达的预期性能。

2.10节将详细讨论估算精度问题。

由于在工作状态下，雷达方程的许多因子是不可能确知的，因而试图精确估计距离方程各因子（精确到1dB以下）是不必要的。

这个观点虽有些道理，但如果方程中每个因子的精度都发生细微的下降，那么方程的整个精度将大大降低。

因此，在估算距离时要尽可能精确地估算各个因子。

0.1dB的精度是合适的，尽管并不是所有的因子都能达到该精度。

历史回顾
第一篇广泛论述雷达作用距离估算的文献可能是Omberg和Norton的文献[1]。

它于1943年作为美国陆军通信部队报告第一次发表。

这篇文章给出了较详细的距离方程，并且在当时知识局限的情况下，还包含了诸如多路径干涉和最小可检测信号等一些疑难的参数估算资料。

文章中，有关信号检测过程的讨论是假设用阴极射线管显示器来观察的。

假设天线“照射”着目标，而且不考虑信号检测的统计特性。

1943年D. O. North[2]在以军事安全密级发表的经典报告中简述了统计信号检测的基础理论。

（这篇报告直到1963年才在《IEEE汇刊》上再次发表。

）他提出现在称为检测概率和虚警概率的概念，并阐明脉冲信号检测的积累作用。

这篇报告还提出匹配滤波器的概念。

在1963年之前人们对匹配滤波器的作用就有一些认识。

但除了概念之外，匹配滤波器对信号检测理论的作用，直到20年后重新发表这篇文章时才得到雷达工程师的重视。

在1948年首次发表，并于1960年在IRE信息论汇刊上再次发表的一篇著名报告[3]中，J. I. Marcum借助于机器运算，并参考North的报告，发展了信号检测的统计理论。

他将检测概率视做与信噪比相关的距离参数的函数，对于不同的脉冲积累数和不同的虚警参数的值（他记为虚警数）进行计算。

他通过这种计算方法来研究不同积累数、积累形式、不同的检波器和显示器损耗（空间坐标“重叠”引起的）的影响，以及各种其他影响。

在假设接收信号与距离的4次方成反比的条件下，Marcum的结论给出检测概率曲线图，图中检测概率是实际作用距离与信噪比为1时的作用距离之比的函数。

由于上述的比例关系只有当目标在自由空间中时才成立，因此Marcum的结论有时应用起来很复杂。

雷 达 手 册
·20· Marcum 仅仅考虑了稳定信号（即在观察周期内目标截面积不变）情况，并且他的大部分结论都是在假设使用平方律检波器的情况下推出的。

Robertson [4]曾发表过更详细也更有用的稳定信号的结论，该结论适用于普遍采用的线性检波器。

平方律检波器的结论也是有用的，因为它们和线性检波器的结论差别很小。

Swerling 发展了Marcum 的结论，他考虑了起伏信号 [5]。

他的文章在1960年的IRE 信息论汇刊上再次发表。

Fehlner [6]重新计算了Marcum 和Swerling 的结论，给出了更适用的特性曲线（取信噪功率比为横坐标）。

Kaplan [7]，Schwartz [8]，Heidbreder 和Mitchell 等人[9]，以及Bates [10]进一步研究了起伏信号的问题。

1956年，Hall [11]在一本关于雷达作用距离估算的综合性著作中进一步讨论了检测概率、虚警概率、检波前和检波后积累的相对效果、天线波束扫描影响等问题。

雷达方程用有效接收信号功率在理想条件下（匹配滤波器）使用的情况来表示，用损耗因子表示与理想条件下的偏差。

1961年，Blake [12] 运用以下一些最新的进展，包括系统噪声温度的计算、大气吸收、根据大气折射指数模型绘制威力图的方法及多路径干涉的计算，发表文章进一步阐述了距离估算问题。

这一章是根据美国海军研究实验室（NRL ）的报告[13]和一本给出更多细节的专著[14]写成的。

从事距离估算研究还有许多其他人，不胜枚举。

这里只概略地举出一些主要文章。

MIT 辐射实验室丛书第13和24卷（Kerr [15]，Lawson 和Uhlenbeck [16]主编）列举了大量的有关文章。

本章引用以上两卷中的许多内容。

2.2 距离方程
雷达传播方程
下式是由Kerr [15]给出的方程称为单基地雷达（发射机和接收机同基地）传播方程。

R F F G G P P r t r t t
r 43222)4(π=λσ （2.1） 式中，P r 为接收信号的功率（天线端）；P t 为发射信号的功率（天线端）；G t 为发射天线功率增益；G r 为接收天线功率增益；σ 为雷达目标截面积；λ为波长；F t 为从发射天线到目标的方向图传播因子；F r 为从目标到接收天线的方向图传播因子；R 为雷达到目标的距离。

这个方程与Kerr 所列的方程并不完全相同。

Kerr 假设发射和接收使用同一天线，因而G t G r 成为G 2，F t 2F r 2成为F 4。

在上述方程中惟一要解释的是传播因子F t 和F r 。

F t 的定义为，目标位置处的场强E 与自由空间中天线波束最大增益方向上距雷达同样距离处的场强E 0之比。

F r 的定义与此类似。

这两个因子说明目标不在波束最大值方向上的情况（G t 和G r 是最大值方向上的增益）以及自由空间中不存在的各种传播增益和传播损耗。

最常见的影响是吸收、绕射、阻挡、某些折射效应和多路径干涉。

在自由空间中，当目标位于发射和接收天线波瓣图的最大值方向时，F r = F t = 1。

这些因子和方程中的其他因子将在2.3～2.7节中详细叙述。

第2章 雷达距离估算
·21·
最大作用距离方程
式（2.1）不是距离方程，尽管也能写成
4/13222)4(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡π=P F F G G P R r r t r t t λσ （2.2）
式（2.2）表明，R 是在发射功率为P t ，接收回波功率为P r ，目标尺寸为σ 等确定的前提下得出的距离。

若在P r 和R 中加上下标，使之成为P r ,min 和R max ，则该式系指最大作用距离方程。

也就是说，当式（2.2）中P r 是最小可检测值时，相应的作用距离就是雷达的最大作用距离。

但是，这个最大作用距离方程只是个非常简单的式子，其用途有限。

为使方程更为有用，第一步是用更明确的表达式来代替P r 。

首先定义信噪功率比为
P P N S n
r = （2.3） 式中，P n 是接收系统的噪声功率，决定可检测到的最小值P r 。

依次，噪声功率能用接收系统噪声温度T s 来表示，即
B T k P n
s n = （2.4） 式中，k 为玻耳兹曼常数（1.380 658×10-23 Ws/K ）；B n 为接收机检波前滤波器的噪声带宽，单位为Hz 。

（这些参数在2.3和2.5节中有更完整的定义[17]。

）因此
B T K N S P n
s r )/(= （2.5） 把P t 定义为发射机的发射功率而非天线端的发射功率，如式（2.1）是较适宜的变换。

由于传输线的损耗，天线端的发射功率通常略小于发射机的发射功率。

当雷达设计师或生产者指定了发射机功率，实际的发射机输出功率是有意义的，因此要重新定义P t 。

根据这个定义，P t 必须用P t /L t 来代替。

其中，L t 是损耗因子，定义为发射机输出功率与实际传到天线端功率之比，因此，L t ≥1。

在后续章节中可以看到，提出与雷达方程中其他因子相关的附加损耗因子是方便的。

并且这些系数相乘，也就是说，如果有三个损耗因子L 1,L 2,L 3，则它们可用一个系统损耗因子L = L 1L 2L 3来表示。

最后得最大作用距离方程：
4/13min 222max )/()4(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡π=L B T k N S F F G G P R n s r t r t t λσ （2.6）
式中的(S /N )min 和T s 是在天线端的估算值，这缩小了方程的应用范围。

若如此定义，则(S /N )min 与B n 有关，且这种相关性在公式中是难于考虑到的。

而若忽略这种相关性，则方程表明，R max 是B n 的反函数，即如果方程中的其他因子保持不变，只要B n 足够小，R max 要多大就可有多大。

众所周知，这是不现实的。

为了弥补这一点，必须考虑几个损耗因子。

根据具体的发射波形，这一点是很方便做到的。

脉冲雷达方程
式（2.6）并没有具体说明发射信号的性质，它可以是连续波、调幅波、调频波或脉冲信号。

根据脉冲雷达的具体情况，修改上述方程是有益的，并且它也可避免遇到式（2.6）中的“带宽”难题。

当然，脉冲雷达是最常用的类型。

尽管修改后的方程表面上只限于脉冲雷达，
雷 达 手 册
·22· 但实际上，只需对某些参数重新进行适当的说明，方程就能应用于其他类型的雷达。

D. O. North [2]证明，当接收机带宽B n 为一个特定（最佳）值时，可检测到的信噪比即有最小值，并且B n 的最佳值与脉冲宽度τ成反比。

这一点表明，方程分母中的带宽可用分子中的脉冲宽度来代替。

North 还证实，在接收机中相邻信号和噪声样本的积累可改善信号的可检测性，并且可检测性是信号积累总能量的函数。

（积累过程将在2.4节中讨论。

） 最后，他指出，当接收机滤波器与脉冲波形匹配时，接收到的脉冲能量与噪声功率谱密度之比在接收机滤波器输出端最大，并且等于天线端信噪比。

这里的术语“匹配”指滤波器的带宽为最佳时的情况，它的实际含义是滤波器的传递函数等于脉冲频谱的复共轭。

可见度系数
基于上述这些事实的最大作用距离方程可用一个称为可见度系数的参数来推导。

可见度系数由电气与电子工程师协会（IEEE ）[18]定义为，“在脉冲雷达中，能提供规定检测概率和虚警概率的单个脉冲信号能量与单位带宽噪声功率之比，在中频放大器中测量，使用与单个脉冲匹配的中频滤波器，并且中频滤波器后为最佳的视频积累。

”若暂且不考虑定义中的某些含义，可见度系数可用下面的数学式子表示为*
s t r kT P N E D τ==00 （2.7）
式中，D 0是可见度系数；E r 是接收到的脉冲能量；N 0是单位带宽噪声功率。

E r 和N 0都是在接收机滤波器输出端（也就是检波器的输入端）的测量值。

其次，考虑接收机带宽B n 非最佳的情况，作用距离方程要定义一个带宽校正系数C B 。

它的定义式为
B n B n n
C B
D C B N S B N S opt ,0opt ,)0m in(m in )/()/(== （2.8）
式中，B n ,opt 是B n 的最佳值。

由于C B 最初是根据带宽最优化来定义的，所以称之为带宽校正系数。

实际上，用North 匹配滤波器的观点来看，它是滤波器失配系数。

由式（2.8）可知，C B ≥1。

它的计算将在2.3节中讨论。

式（2.8）中的(S /N )min(0)是(S /N )min 在最佳带宽（匹配滤波器）时的值。

North 认为，它等于D 0。

因此，作用距离方程可以如愿地用检波器输入端（滤波器输出端）的信噪比来表示，而不用天线端的信噪比。

North 推断B n ,opt 正好等于1/τ。

如后所述，采用人工观测的许多雷达检测实验表明，比例常数不恰好等于1。

但是，对矩形脉冲和2.3节中给出的噪声带宽B n 定义来说，North 的推断在理论上是正确的。

对于其他形状的脉冲而言，其脉宽-带宽关系受制于脉宽所采用的具体定义。

当然，矩形脉冲不存在这一问题。

基于上面的结论，再根据式（2.8）的参数，作用距离方程的分子可按照下式用脉宽表示。

τB n C D B N S 0m in )/(= （2.9）
将式（2.9）代入式（2.6），得到期望的脉冲雷达距离方程：
* 在某些文献中，匹配滤波器输出信噪比等于2E r /N 0。

这种表示法的根据是，峰值功率不仅是输出脉冲波峰的瞬时功率值，而且是射频周期波峰的瞬时功率值。

而瞬时功率在理论上是平均功率的两倍。

North 的定义基于整个射频周期的信号平均功率，这和噪声功率的定义是一致的，它是在射频周期和随机噪声起伏上的平均。

第2章 雷达距离估算
·23· 4/103222max )4( ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡π=L C D T k F F G G P R B s r t r t t λστ （2.10） 这个方程的主要优点是，能获得用检测概率和虚警概率作为参数的参数D 0（积累脉冲数的一个函数）的标准曲线（参见2.4节）。

计算这些曲线，以检波器输入端的信噪比D 0表示。

强调方程中脉冲能量（分子中P t τ 的乘积）的重要性对系统设计者是有益的。

当雷达采用脉冲压缩时，脉冲能量也给出距离方程使用哪一个脉冲宽度问题的一个简单答案。

脉冲压缩是指发射相对较宽的编码脉冲波形，然后，在接收时“压缩”成窄脉冲。

P t τ 乘积必须等于发射脉冲的能量，由此可推算出上述问题的正确答案。

因此，如果脉冲功率P t 是宽（未压缩）发射脉冲的功率，则τ必须是该脉冲的宽度。

这种形式的距离方程，或更准确地说是可见度系数的定义，深一层的优点是雷达探测距离所表现出的对相邻脉冲积累的依赖性。

如果存在积累，它们发生在接收系统中。

积累将在
2.4节中讨论。

最后，如前所述，虽然该距离方程明确是根据脉冲雷达参数推导出的，但是它也适用于连续波雷达和使用非脉冲调制的雷达。

其他雷达类型要使用该方程就必须重新定义参数τ和D 0。

它的详细过程见参考资料14的第2和9章。

概率注释
在2.1节已提到过，雷达信号检测过程在本质上具有概率或统计特性。

这是由于在接收机电路中总存在噪声电压而导致的结果。

噪声电压随机变化或起伏，当它和雷达回波信号混合后，就无法确知接收机输出瞬间的增大是由于信号引起的，还是由于噪声的起伏引起的。

但是，定义这两种可能性的概率，并定量讨论检测过程是可行的。

信号（若存在的话）被检测到的概率称为检测概率P d ，噪声起伏被错判为信号的概率则称为虚警概率P fa 。

若用下标标明P d 和P fa 的适用值，那么就可以用更准确的符号来替换R max ,P r ,min 和(S /N )min 。

但是，下标fa 在应用中常常被省略，所以R 50是指在50％检测概率和某个规定虚警率条件下的距离。

如果目标截面积σ 是起伏的，则将改变信号-噪声的统计特性。

如2.1节所述，Swerling [5]
和另外一些人[6]～[10]已经分析了这个问题。

在信号起伏的情况下，对于不同的检测概率和虚警
概率，这些已经计算好的曲线可确定适当的D 0值（参见2.4节）。

自动检测
如果信号存在与否的判决完全由物理设备完成，而无需人工干预，那么这种检测*就称为自动检测。

在North 的描述中，这种设备建立一个门限电压（如利用偏置二极管）。

如果处理（例如积累）后的接收机输出超出门限（如二极管导通），那么将激励某个装置，并作出明确
* 在此检测、检波器和检波具有不同的意义。

在无线电中，检波器是指变频器（如超外差第一检波器）或解调器（通常是超外差接收机的第二检波器，它常常是线性检波器）。

检波是指使用这种器件进行波形变换。

自动检测是判断装置。

雷 达 手 册
·24· 的指示。

这个装置可以是灯光、铃声或更常见的将二进制数据信道中的某位置1（0对应于无信号）。

然后，依次自动地得出其他结果。

因此，雷达检测的分析可认为是统计判决理论中的一个问题。

双基地雷达方程
以上距离方程都假定发射天线和接收天线位于同一位置（称为单基地雷达）。

所谓双基地雷达是指两个天线远远离开的雷达（参见第25章），因此从发射天线到目标的距离（或方向）和从目标到接收天线的距离（或方向）不一定是相同的。

而且，目标反射回接收天线的回波信号不是完全后向散射，这与单基地雷达不同，所以目标截面积一般也不相同（假定发射天线以同一方向角照射目标）。

此时就需要定义一个参数——“双基地雷达截面积σb ”。

前面公式中的σ 是指单基地雷达截面积。

双基地雷达的距离方程也可用前面的单基地雷达方程式，但必须用相应的值代替σ 和R 。

R 的双基地值等于R r R t ，其中，R t 是发射天线到目标的距离；R r 是目标到接收天线的距离。

实用单位制方程
以上给出的方程只适用于同一种单位制，如米-千克-秒单位制，但在实际应用中，采用“混合单位制”是很方便而且是有必要的。

此外，波长λ还常常转换成频率，用MHz 来表示。

并希望把所有的数字系数和各种单位变换系数都合并成一个常数。

下式是由式（2.10）得出的特殊混合单位制方程式，即
4/102MHz 22s )W (k max 2.129⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=μL C D T f F F G G P R B s r t r t t στ （2.11）
R max 表示满足规定检测概率和虚警概率的距离。

以上方程中距离用国际海里作为单位（1 n mile = 1852 m ），目标截面积用平方米，发射功率用千瓦，脉冲宽度用微秒，频率用兆赫，系统噪声温度用开[尔文]。

其他参数都是无量纲的。

如果距离单位不用海里，而其他参数的单位不变，则需用下表的系数代换式中的系数129.2。

分贝-对数形式的距离方程有时也是有用的。

因为式（2.11）只有乘法、除法和幂运算，所以很容易得到方程各项对数值代数和的方程形式。

若是分贝或是指数形式，则要乘上相应的系数。

第2章 雷达距离估算
·25·
2.3 距离诸因子的定义及计算
雷达距离方程中大部分因子的定义都有其局部随意性，而且许多因子的定义不只一种。

原则上，不能认为哪一种定义比另一种优越。

但是，一旦选定一种因子的定义后，就不能再换用另一种定义。

这些因子的定义之间是互相依赖的，相互间保持一致是必须的。

这里将给出被认为是互相协调的一组定义，并给出它们在实际应用中的计算方法。

下面将深入探讨那些引出特殊问题的距离方程因子。

发射机功率及脉冲宽度
雷达传播方程是用比值P t /P r （无量纲的）表示的，后续的所有雷达距离方程都是由它推出的。

因此，定义P t 的最基本要求是必须与P r 的定义一致。

在连续波雷达中，功率（射频周期内的平均值）是一个常数，所以不存在定义问题。

在脉冲雷达中，P t 和P r 通常都定义为脉冲功率，即脉冲持续期内的平均功率。

更准确地说，
⎰-=2/2
/d )(1T T t t t W P τ （2.12） 式中，W (t )是瞬时功率（时间t 的函数），但它不包括脉冲的“前沿尖峰”、“尾巴”和任意其他对雷达探测无用的瞬变信号。

时间间隔T 是脉冲周期，等于脉冲重复频率的倒数。

由于排除了波形的无用部分（发射机输出端就是如此），所以如此定义的P t 可以称为有用脉冲功率。

P t 通常可看做峰值功率，但是峰值功率表示脉冲峰值的功率（射频周期取平均）更准确，所以用脉冲功率表示更恰当。

在传播式（2.1）中，P t 和P r 是天线端的发射和接收功率。

在2.2节已介绍过，P t 定义为发射机输出端的发射功率，发射机输出端与天线输入端之间的损耗则用损耗因子L t 表示。

在定义脉冲功率P t 和脉冲宽度τ时，必须使它们的乘积等于脉冲能量。

如果和式（2.12）中取同一个τ 的定义，则τ 的定义无论怎样取，都可以得出以上结果。

这里介绍的是最普通的定义，即τ 等于射频脉冲包络半功率点（0.707 V 电压点）之间的时间间隔。

在某些用途中，如分析距离分辨力或测量精度，需要更严格的脉冲宽度定义。

但在距离方程中采用半功率点定义比较常见，也是可以接受的。

距离方程中的P t τ 可以用脉冲能量E t 代替。

本文仍然用P t τ 的表示法，这是因为一般脉冲雷达常常都是给出P t 和τ，而不给出E t 。

但是，方程中用E t 也有优点，这样可避免定义P t 和τ，它在发射复杂波形时特别有用。

若假定固定积累时间内的积累是相关的，那么在距离方程的分子上可用发射机平均功率表示。

在简单的脉冲雷达中，平均功率等于脉冲功率、脉冲宽度和脉冲重复频率的乘积。

在用平均功率表示的公式中，平均功率t P 要乘上积累时间t i （假定积累时间比脉冲间隔时间长）才等于发射能量。

假定检测是建立在观察一个脉冲基础上的话，那么还要用到D 0（参见2.4节，如图2.3所示）。

用平均功率表示的公式特别适用于连续波雷达或脉冲多普勒雷达。

天线增益、效率和损耗因子
G t 和G r 定义为天线在最大增益方向上的功率增益。

如果感兴趣目标的仰角不在波束最大。