数学竞赛之组合数学选讲

将正方体分成 64 个棱长为 1 的小正方体。因为1985 64311，故
4
由抽屉原理知必有一个小正方体（包括周界）含有 32 个已知点，
其中每两点间连线的长度不超过 1 3 ，而长度等于 1 3 的线段至
4
4
多 4 条，从而以这 32 点为顶点的封闭折线的周长小于 32 1 3 8 3
4
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1．2 极端原理
B
C
组合（P，m）也只能有有限个，用极端原理设d
（P，m）为最小。
下面证明，m恰通过n点中2点：
过点P作m的垂线，设垂足为A.若m上至少有n 点中的3点，则至少有2点在A的同侧，设B，C在A 的同侧，且AB<AC,则d(B,PC)= d(P,m),矛盾.
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例6． 一组砝码具有如下性质： （1）其中有5个砝码的质量各不相同； （2）对于任何2个砝码，都可以找到另外2个砝码，它们 质量之和相等。问这组砝码至少有多少个？ 解答:设A是其中最重的砝码,B是次重的砝码,则质量组{A,B} 的质量之和只能与质量分别与它们相等的两个砝码的质量
之和相等.因此至少有两组这样的砝码.又砝码{A,A}的质量 之和又只能与质量分别与它们相等的两个砝码的质量之和
相等,因此最重的砝码至少有4个,次重的砝码至少有2个. 同理最轻的砝码至少有4个, 次轻的砝码至少有2个.因为有 5个质量各不相同的砝码, 至少还有另一种质量的砝码,所 以砝码个数至少有4+4+2+2+1=13个.
利用讨论“极端”对象来实现问题解决的解题方 法称为用极端原理解题，常用的极端原理基于下述简 单的事实：
1）由实数组成的有限集合，必有一个最大数，也 有一个最小数。
2）由自然数组成的任何非空集合中，必有一个最 小的自然数。
为了肯定或否定组合数学问题的存在性，极端原
理有着重大的作用。考察极端情况，讨论极端对象，
无形中给问题的讨论增加了一个条件，所以更有利于
问题的解决；用反证法时，讨论极端情况，使矛盾更
容易暴露。
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例5． 对平面上不全共线的n个点，求证：必存在一
条恰好通过两点的直线。
P
解答：对n个点中的任两点作连线m，
并取连线外的点P（必存在），
考察P到m的距离d（P，m），
由于点为有限个，连线m为有限条， m A
有两个子集，即有 BA,CA, B与C中各数和相 等。若 B C ，则结论成立；若B C ，则以
B\BC ,C \BC 代替B，C，结论亦成立。 9
例 4．已知单位正方体内有 1985 个点,求证:从中可以选出 32 个点,使得以它们为顶点的每条闭折线的周长都小于 8 3 。
证：将正方体的每条棱 4 等分，过分点作正方体的面的平行平面，
组合数学
西北工业大学附属中学 焦和平
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二、数学竞赛中的主要问题
1．组合数学中的存在性问题
1．1抽屉原理
抽屉原理是一件简单明了的事实：n+1个物品 放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉，其中有两个 或更多的物品。
一般地：m个物品放入n个抽屉中，则至少有
一个抽屉不少于a个，其中
a
m
n
m n
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2
例2．平面上任给2005个点，其中任两点距离均大 于 2 ，求证：必有223个点彼此之间距离都不小于2。
解答:将平面按图分成九 个抽屉,i号小方格全体为 第i个抽屉.2005个点分放 在九个抽屉中,至少有一 个抽屉含有223个点,由于 2005个点中任两点距离均
大于 2 ,所以此223个点
距离均大于,它们中没有 两点属于同一小方格,而 同号方格又不在同一方格 中的任两点距离都不小于 2.
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例1．单位圆内任意投放六点，求证至少有两点距离 不大于1。
解答：取六点中一点A， 若A为单位圆的圆心， 结论显然成立。
A O
若A不是圆心O，则如图将 单位圆划分为六个中心角为60度的扇形,若阴影部 分内尚有六点中另一点,则结论成立. 若阴影部分 内没有六点中除A点外的点,则另五点(物品)在其 余四个扇形(抽屉)中,由抽屉原理,必有某个扇形(抽 屉)含有至少两个(物品),故结论成立.
n
m n
m
，
也得矛盾。
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抽屉原理的变式
①无穷多个物品放入有限个抽屉中，则至少有一个抽屉中有无穷多个物品。
②m 个物品放入 n 个抽屉中，则至少有一个抽屉中的物品不多于 a 个，其中
a
m
n
m n
,
,
n|m
。
n|m
③n 个实数的和 s x1 x2 x3
xn
，则
min xi
1in
s n
, max xi
另一方面, 质量分别为{1,1,1,1,2,2,3,4,4,5,5,5,5}的13个
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砝码满足题给条件.
例7．n（n>3）名乒乓球选手单打比赛若干场后,任意两 名选手已赛过的对手恰好都不完全相同, 求证:总可以从中去掉一名选手,使得余下的选手中,任意
, 1,
n
|m n |m
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抽屉原理
一般地：m个物品放入n个抽屉中，则至少有一个
抽屉不少于a个，其中
a
m, n
m n
1,
n
|m n |m
证明：n | m ，若结论不真，每个抽屉中物品至多有
m
1
n
个，n
个抽屉中物品总数
n
m n
1
m
n
m
个，矛盾。
n†
m
，若否，n
个抽屉中物品总数
n
m n
123123123 456456456 789789789 123123123 456456456 789789789 123123123 456456456 789789789
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例 3．设 S 1,2, ,2005 ，A 为 S 的 15 元子集，
求证：A 必有两个不交的子集，每个子集中各数之和
相等。
本题牵扯到A的子集以及子集中各数之和两个讨论
对象，分别讨论它们有多少种。15元子集A的子集
共个2 1 5 ，不空真子集共 79，
1 S 1 9 9 2 1 9 9 3 2 0 0 5
子集中各数和的种数不超过27979，将32766个子 集放入27979类和（抽屉）中，至少有一类和中含
1in
s n
。
④设 q1, q2, , qn 都是正整数，如果把 q1 q2 qn n 1个物品放入 n 个抽屉中， 则或者第 1 个抽屉中至少有 q1 个物品，或者第 2 个抽屉中至少有 q2 个物 品，……，或者第 n 个抽屉中至少有 qn 个物品，即第 i 个抽屉中至少有 qi 个物
品。