imo数学竞赛

2011年数学奥林匹克希望联盟讲座镇海中学沈虎跃一、2011IMO试题选讲二、多项式问题选讲【问题1】设整系数1n >次多项式()f x 在区间(0,1)上有n 个不全相等的实根.若()f x 的首项系数是a ，求证：2 1.n a ≥+证明 设12,,,n x x x 是所给多项式的根，我们有因为所有的根均在(0,1)上，可得(0)0,(1)0.f f ≠≠并且，当x 取整数值时，()f x 也是整数，所以(0),(1)f f 均为非零整数.从而不等式01(1,2,,)k x k n <<=能够保证每个因子均为正.对任意x ，都有1(1)4x x -≤，当且仅当12x =时等号成立（这并不是对所有的k x 都成立），我们得到 这说明2.n a > 考虑到a 是一个整数，我们得到2 1.n a ≥+【问题2】设非负实系数多项式111()1n n n f x x a x a x --=++++有n 个实根.求证：（1）(2)3;n f ≥（2）对所有0,x ≥有()(1);n f x x ≥+（3）对所有1,2,,1,k n =-有.k k n a C ≥ 证明 显然当0x ≥时，()f x 取正值，所以它的所有实根都是负数. 为方便起见，设其为12,,,,n ααα---其中12,,,n ααα为正.我们得到根据多项式的根与系数的关系得我们将看到，三个命题的证明都依赖于这个等式.（1）由AM -GM 不等式，我们得到对于1,2,,k n =均成立.因此（2）这部分我们基本可以用相同的方法证明，这里要用到加权AM -GM 不等式．对于所有的非负数x 和所有的1,2,,k n =，我们有如果0,x ≥那么（3）这是AM -GM 不等式的又一个结论.系数k α是12,,,n ααα中所有可能的k 项乘积之和.有n k ⎛⎫ ⎪⎝⎭个这样的乘积，并且每个k α都包含在其中的11n k -⎛⎫ ⎪-⎝⎭个乘积中.因此【问题3】已知,,a b c R ∈，求证：,,a b c 都是正数的充要条件是0,0,0a b c ab bc ca abc ++>++>>．【证明】必要性显然成立．下面证明充分性．由题设条件容易联想到韦达定理的逆定理，设0,0,0p a b c q ab bc ca r abc =++>=++>=>，则由韦达定理得逆定理知，,,a b c 是多项式()32P x x px qx r =-+-的三个根．又因为当0x ≤时，()320P x x px qx r =-+-<，所以()P x 的根都是正的，即,,a b c 都是正数．【点评】（1）这里我们利用韦达定理的逆定理，构造以,,a b c 为根的辅助多项式()32P x x px qx r =-+-，从而将问题转化为证明多项式()32P x x px qx r =-+-的根全为正．这种构造的技巧在解多项式问题时经常用到．（2）由本题的证明启发我们将此题推广为：已知,1,2,,i x R i n ∈=，则i x 为正数的充要条件是证法与上例类似．【问题4】试确定形如()10111,0n n n n n a x a x a x a a i n --++++=±≤≤的全体多项式，使多项式的根都是实数． 【解】不妨先考虑01a =，设其n 个根为12,,,n x x x ，则121n x x x a +++=-， (1)121312n n x x x x x x a -+++=， (2)()121nn n x x x a =- (3) 由（1）、（2）得 ()2222121222120n x x x a a a +++=--=-≥， 于是212a ≤，故21a =-． 从而222123n x x x +++=，又由（3）得()2121n x x x =，再利用平均不等式得3,3n n ≥=∴≤，即1,2,3n =．当1n =时所求多项式成为()()1,1x x ±-±+；当2n =时所求多项式成为()()221,1x x x x ±+-±--；当3n =时所求多项式成为()()32321,1,x x x x x x ±+--±--+()321x x x ±+-+（有虚根舍去），()321x x x ±+--（有虚根舍去）．综上所求多项式共12个．【点评】此题中我们应用韦达定理和不等关系，求出n 的取值范围，进而求出n 的值，确定出符合题设条件的全体多项式．【问题5】设,x y 是实数，求证：存在实系数多项式(),0P x y ≥，(),P x y 不能写成实系数多项式的平方和．证明： ()()22221,127P x y x y x y =+-+是满足条件的多项式．证明如下：首先证明(),0P x y ≥．若2210x y +-≥，显然(),0P x y >．若2210x y +-<，则()322222222111327x y x y x y x y ⎛⎫--++--≤= ⎪⎝⎭， 即()22221127x y x y +-≥-，所以(),0P x y ≥． 下证(),P x y 不能写成实系数多项式的平方和．反设()()21,,n i i P x y Q x y ==∑，其中()()deg 6,deg 3i P x Q x =≤．可设()322322,i i i i i i i i i i i Q x y A x B x y C xy D y E x F xy G y H x I y J =+++++++++，比较(),P x y 和()21,n i i Q x y =∑中66,x y 的系数，得22110n ni i i i AD ====∑∑， 即0,1,2,,i i A D i n ===．比较44,x y 对应的系数，得22110n ni i i i EG ====∑∑， 即0,1,2,,i i E G i n ===．比较22,x y 对应的系数，得22110n ni i i i HI ====∑∑， 即0,1,2,,i i H I i n ===．因此 ()22,i i i i i Q x y B x y C xy F xy J =+++．最后，比较22x y 的系数，得211n i i F==-∑，这与i F 是实数矛盾．证毕．【问题6】2011个实数122007,,,x x x 满足方程组 201111,1,2,,201121k k x n n k n ===++∑， 试计算2011121k k x k =+∑的值． 解：构造多项式：()()()()()201112122011211122011x x x f x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++++++- ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦， 据所给的条件可知：当1,2,,2011x =时，皆有()0f x =．则有常数c ，使 ()()()()122011f x c x x x =---， 先取12x =-，得14023c =-． 再取12x =，可得 2011211112144023k k x k =⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∑．【练习】已知122010,,,a a a 满足：对任意的R x ∈均有求证：122010..........2010a a a +++≤． 证明：由于2011sin1005.cos2cos cos 2..........cos 2010sin2αααααα+++== A 取22011k απ=( k = 1 ; 2 ; ……..; 2010) 则 A = -1 所以，令122010244020,,...,201120112011x x x πππ===,代入f (x ) 得：…累加得：所以， 122010..........2010a a a +++≤.【问题7】设n 是一个正整数，考虑S =}0210,,:),,{(>++⋯⋯=z y x n z y x z y x ，，，这样一个三维空间中具有1)1(3-+n 个点的集合。

问最少要多少个平面，它们的并集才能包含S ，但不含(0,0,0)。

分析 可能有人以前做过二维的，大体方法如下：二维时，我们可以考虑最外一圈的4n -1个点。

如果没有直线x =n 或y =n ，那么每条直线最多过这4n -1个点中的两个，故至少需要2n 条直线。

如果有直线x =n 或y =n ，那么将此直线和其上的点去除，再次考虑最外一圈，只不过点数变成了4n -3个，需要至少2n -1条直线，再加上去掉的那条正好2n 条如果需要多次去除直线，以至于比如x =1 x =2 ...... x =n 这所有n 条直线全部被去除了，那么剩下(0,1)(0,2)......(0,n )至少还需要n 条直线去覆盖，2n 条亦是必须的。

2n 条显然是可以做到的，所以二维的最终结果就是2n 。

但是将这种方法推向三维的时候，会出现困难，因为现在用来覆盖的不是直线而是平面，平面等于有了三个自由变量，而且不容易选取标志点来进行考察。

当然，我们要坚信一个事实，就是答案一定是3n ，否则题目是没有办法做的。

在这个前提下，通过转化，将这个看起来是个组合的题目变成了一个代数题。

解 首先第一步，我们就要将每个平面表述成一个三元一次多项式的形式。

比如平面1=++z y x 就表示成1-++z y x 。

将所有这些平面表述成如此形式后，我们将这些多项式都乘起来。

下面我们需要证明的只有一点，就是乘出来的多项式，至少具有3n 次。

（3n 个平面是显然可以做到的，只要证明这点，3n 就是最佳答案了）这个乘出来的多项式具有什么特点呢它在x ，y ，z 均等于0时不等于0，在x ，y ，z 取其它0～n 之间的数值时，其值均为0。

我们发现，当多项式中，某一项上具有某个字母的至少n +1次时，我们可以将其降低为较低的次数。

我们用的方法就是，利用仅仅讨论x ，y ，z 在取0，1，2，……，n 这些值时多项式的取值这一事实，在原多项式里可以减去形如)()2)(1(n x x x x -⋯⋯--或者此式子的任何倍数的式子。

从而，如果多项式中某一项的某个字母次数超过n ，可以用此法将其变成小于或等于n 。

我们假设用此法变换过后剩余的多项式是F ，显然F 的次数不大于原乘积多项式的次数。

我们下面需要证明的，就是F 中n n n z y x 这一项系数非0（F 中只有这一项次数是3n ）。

要想证明这样的问题，我们需要证明二维即两个未知数时的两个引理。

引理1：一个关于x 和y 的实系数多项式，x 和y 的次数均不超过n 。