计算机图形学 第三章 变换与裁剪

(x,y)
x cos y sin 1 0
X
sin cos 0
0 x 0 y 1 1
10
二维放缩

对于进行放缩的变换公式
Y
(x,y)
O
(x',y')
X
x sx y 0 1 0
关于X轴的对称变换
(-x,y)
(-x,-y)
O
(x,y) X (x,-y)
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
关于坐标原点的对称变换
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
26

4、视点坐标系
视点坐标系定义于世界坐标系中； 其过程类似于拍照片：

照相机镜头的朝向N：视线方向 照相机的位置C UP方向

27
视点坐标系的交互建立
坐标原点C=(Cx,Cy,Cz)：相机的位置 单位向量N=(Nx,Ny,Nz)：镜头的朝向 与N不平行的向量UP：

N UP V N UP
0 0 x 1

∴变换矩阵为Tt=Tt1•Tt2
18
例2：多种复合组合

例:对一线段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。
y (x,y)
y
(x´,y´)
y
(x´´,y´´)
x

x
Tx
x
解:设点(x,y)为线段上的任意一点,点(x´,y´)为点(x,y)放大后 的坐标,点(x´´,y´´)为点(x´,y´)平移后的坐标,则: [x´ y´ 1]= [x y 1]S2(2,2) [x´´ y´´ 1]= [x´ y´ 1]T2(10,0) [x´´ y´´ 1]= [x´ y´ 1]T2(10,0)=[x y 1]S2(2,2)T2(10,0) 令：M=S2(2,2)T2(10,0) ，则M即为组合变换
19
例3：旋转变换
例：对参考点F(xf,yf)做旋转变换。

解：1、把旋转中 心 F(xf,yf) 平移至坐 标原点，即坐标系 平 移 （ -xf,-yf ） ， 则 2、进行旋转变换
x1
y1 1 x
1 y 1 0 x f
0 1 yf
0 0 x 1
3、将坐标系平移 x * 回原来的原点 4、因此变换矩阵：
y * 1 x2
y2

M T x f , y f T ( ) T x f , y f
20
内容
二维变换 三维变换

场景坐标系和造型变换 视点坐标系和取景变换 投影坐标系和投影变换 屏幕坐标系和设备变换

刚体 变换
仿射 变换
17
例1：复合平移
求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平 移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*, y*） 解：设点 P(x,y,1) 经第一次平移变换后的坐标为 P(x y 1)，则 1 0 0

P' x' y ' 1 x y 1 0 1 T x1 T y1 0 x 1 y 1Tt1
34
三维模型变换：放缩
0 sy 0
0 x 0 y 1 1
其中sx和sy分别为x和y分量的放缩比例
11
剪切变换(Shear)

沿X-轴方向的剪切变换
Y
(x,y)
(x',y')

X
x 1 tg y 0 1 1 0 0
采用齐次坐标: (x, y) (x, y, 1)
O
X
x 1 0 t x x y 0 1 t y y 1 0 0 1 1
9
二维旋转

将点P(x,y)绕坐标原点按逆时针旋转角
Y
(x',y')
U VN
得到两个向量 U=(Ux,Uy,Uz) 和V=(Vx,Vy,Vz)， 然后单位化。
28
视点坐标系的交互建立
四个矢量C、U、V、N组成了视点坐标系 由世界坐标系到视点坐标系的取景变换：

u U x v Vx n Nx 1 0
第三章 变换与裁剪
内容
二维变换 三维变换 裁剪

2
内容

二维变换
齐次坐标表示 基本变换 其它变换

三维变换 裁剪

3
二维变换

通过二维变换和裁剪，将定义在二维世界 坐标系中的物体变换到以像素为单位的屏 幕坐标系中，实现二维物体的光栅显示

矢量图形、卡通动画

二维图形中常见的变换
y 1T x f , y f

x2
y2 1 x1 y1
cos sin 0 1 sin cos 0 x1 y1 1T 0 0 1
1 1 0 x f 0 1 yf 0 0 x2 1 y2 1T x f , yf
齐次坐标表示： 基本变换：平移、旋转、放缩 其它变换：剪切、对称、复合

4
齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个 n 维 向 量 。 如 n 维 向 量 (P1,P2, … ,Pn) 表 示 为 （hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。
5
齐次坐标
1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标 不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换 为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3) 等等。 2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由 普通坐标h→齐次坐标,由齐次坐标÷h→普通 坐标 齐次坐标与普通坐标之间是一一对应关系


裁剪
21
三维变换的基本概念

三维变换可以看作照相过程模拟，即如何将场景中的三 维几何物体变换到二维屏幕上
22
三维变换中的各种坐标系
23
坐标系
24
例如，对显示器而言，分辨率就是其设备的坐标系的界限范围。
25
3 规格化设备坐标系 用于用户的图形是定义在用户坐标系里， 而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于 基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同 的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽 相同， 例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的 范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨 率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
29
三维变换的基本概念

场景造型：
场景坐标系：世界坐标系、局部坐标系 变换：造型变换


放置虚拟照相机
坐标系：视点坐标系(虚拟照相机的位置、朝 向以及向上的方向) 变换：取景变换 (在视域四棱锥进行裁剪和背 面剔除 )

30
三维变换的基本概念

投影(照相、摄影)：
坐标系：投影坐标系和窗口坐标系 变换：投影变换

局部坐标系可以简化物体的定义 物体=｛标准体素，变换｝


造型变换：
物体从局部坐标系到ຫໍສະໝຸດ Baidu界坐标系的变换 三维线性和非线性变换

33
三维模型变换：平移

三维平移T：三维点P(x,y,z)移动(tx,ty,tz)后， 得到点P'(x',y',z')
x 1 y 0 z 0 1 0 0 1 0 0 0 t x x 0 t y y 1 t z z 0 1 1
x 0 1 0 x y 1 0 0 y 1 0 0 1 1
关于直线y=-x的对称变换
14
复合二维变换
平移、旋转和放缩矩阵通常记为T、R和S 二维变换具有结合性：(AB)C=A(BC) 二维变换不具有交换性
0 x 0 y 1 1
(1) 变换过程中, y坐标保持不变,而x坐标值发生线性变化;
(2) 平行于X轴的线段变换后仍平行于X轴，平行于Y轴的线段变换 后错切成与Y轴成固定角的直线
12
对称变换
Y
x 1 0 0 x y 0 1 0 y 1 0 0 1 1


二维显示
坐标系：窗口坐标系、规格化设备坐标系与 屏幕的物理坐标系 变换：设备变换、视窗变换

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三维变换流程图
局部坐标系
造型变换
世界坐标系
取景变换
视点坐标系
投影变换
图像坐标系
设备变换
规格化设备 坐标系
视窗变换
屏幕坐标系
32
场景坐标系和模型变换
几何场景建立于世界坐标系中 场景中的具体物体与局部坐标系相联系
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵 运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐 标系变换到另一坐标系的有效方法。 2. 便于表示无穷远点。 例如：（x h, y h, h)，令h等于0 3. 齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变 换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面 体。(图形拓扑关系保持不变） 4. 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成,便于硬件实现

先旋转，再(非等比例)放缩
先(非等比例)放缩，再旋转
15
复合二维变换

二维变换不具有交换性
先平移，再旋转
先旋转，再平移
16
复合二维变换

上述变换的组合可以得到特殊的二维变换

刚体变换
可以分解为：平移和旋转的组合 物体的形状没有变化，位置和方位有变化


仿射变换
可以分解为：平移、旋转和放缩的组合 保持点的共线性、长度的比例＝>平行线
Uy Vy Ny 0
Uz Vz Nz 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0
0 C x x 0 C y y 1 C z z 0 1 1
(x, y, z, 1)为世界坐标系中的点 (u, v, n, 1)为视点坐标系中的点

经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
1 P * x * y * 1 x' y ' 1 0 T x2 1 0 0 1 0 x y 1 0 1 0 0 1 T x1 Ty1 1 Tx 2 Ty 2 0 1 Ty 2 0 0 1 y 1Tt1Tt 2
关于Y轴的对称变换
13
对称变换
Y y=x (x,y) O O (-y,-x) X y=-x Y (x,y)
X
(y,x)
x 0 1 0 x y 1 0 0 y 1 0 0 1 1
关于直线y=x的对称变换

齐次坐标表示点的优势

防止浮点数溢出 矩阵变换的统一表示
8
二维平移

二维点P(x,y)移动(tx,ty)后，得到点P'(x', y')
Y (x',y') (x,y)
x ' 1 0 x t x t y ' 0 1 y y
x=X/ y=Y/
3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐 标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维 坐标。
6
齐次坐标
(x,y)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , h) xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线
xh hx y h hy z h h