APT与风险收益多因素模型
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▪ 时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资 产，包括现在对未来的套利和未来对未来的套利 。
.2009年9月
11
▪ 套利举例：
▪ 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。
▪ 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假 设1000万元）
ßA =1； ßB = 1；E(rA) =10% ； E(rB) =8%
A和B是否可以在图 中的条件下共存呢？
.2009年9月
19
套利组合及套利过程
在资产组合， A上做多头： (0.10+1.0F) ×100万 B上做空头：-（0.08+1.0F）×100万
0.02 ×100=2万（净收益） ▪ A、B组合收益差距消失,两条收益线重叠。市场均
Systematic Factor
充分分散投资组合A；单个证券S。 且ßA = ßS =1； E(rA) = E(rS) =10%
.2009年9月
17
10.2.3 贝塔与期望收益
▪ 套利准则一：如果两个充分分散化的投资组 合具有相同的β值，则它们在市场中必有相同
的预期收益。
▪ 套利准则二：如果两个充分分散化的投资组 合β值不同，则其风险溢价应正比例于β。
.2009年9月
23
套利组合及套利过程
▪ 做D多头： （0.07+0.5F）×100万 ▪ 做C空头：-（0.06+0.5F）×100万
0.01 ×100万=1万 ▪ 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险，
即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零 ▪ 结果：均衡下CD必然重叠，而D点是直线组合
点，则C必然在直线上.
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
.2009年9月
12
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
投资学 第10章
APT与风险收益多因素模型
.2009年9月
引言
▪ 资本资产定价模型刻画了均衡状态下资产的期望 收益和相对市场风险测度（ß值）之间的关系。 不同资产的ß值决定它们不同的期望收益。
▪ 资本资产定价模型要求大量的假设，其中包括马 柯维茨在最初建立均值—方差模型时所作的一系 列假设，如每个投资者都是根据期望收益率和标 准差，并使用无差异曲线来选择他的最佳组合。
单因素模型暗含正 一确 个的 不假设： 股票对每种风险敏 因感 素程 的度相同
.2009年9月
5
10.1.1 证券收益的因素模型
扩展：双因素模型
ri E(ri ) iGDPGDP iIRIR ei 其中的又称为因素敏感度、因子载荷、因子
多因素模型的好处： (1)寻找均衡价格 (2)风险管理
.2009年9月
均衡收益有什么关系? ➢答：运用相同ß的两个分散组合的收益决定
关系
.2009年9月
由组合A与无风险资产按等权重构成新组合 D ，则D的期望收益率？贝塔？ E(rD) = 0.5*10%+0.5*4% = 7% ßD = 0.5*1+0.5*0 = 0.5；
市场均衡吗？
.2009年9月
图 10.3 An Arbitrage Opportunity
6
10.1.2 多因素证券市场线
CAPM： E(r) rf [E(rM)rf ]
令RPM E(rM)rf
E(r) rf RPM 双因素SML：E(r) rf GDPRPGDPIRRPIR
概念：因素组合
.2009年9月
7
10.2 套利定价理论 (Arbitrage Pricing Theory)
▪ 套利 ➢套利指一个通过零投资可以获得无风险 利润的交易策略
▪ 资本市场均衡：不存在套利机会（无套利 均衡）
▪ 一价定律(the law of one price)：两种 资产未来所有现金流均相等，那么二者的 市场价格应该相等。
.2009年9月
9
10.2.1 套利、风险套利与均衡
▪ 无风险套利使用零投资组合(zeroinvestment portfolio)
E (rC )rfC [E (rA)rf]
.2009年9月
11.2.4 单因素证券市场线
证明：市场组合M也是充分分散化的组，合 若有任一充分分散化投的资组合P，
且P M
1,则有：E(rP) rf E(rM ) rf
P M
E(rP ) rf P[E(rM ) rf ]
没用到CAPM严格的假设，得到了与
▪ APT与CAPM的比较
➢ APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，而是基于 无套利原则和因素模型。
➢ 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致行动。 只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。
➢ 不要求投资者是风险规避的
.2009年9月
14
10.2.2 充分分散的投资组合
▪ 问题：假设证券收益可用因素模型 生成，有足够多证券分散风险，那 么一个充分分散组合的风险具有什 么特征？
▪ 而1976年由罗斯发展的套利定价理论比CAPM所要 求的假设要少的多，逻辑上也更加简单。该模型 以收益率生成的因素模型为基础，用套利的概念 来定义均衡。
.2009年9月
2
▪ 套利
➢ 利用证券定价之间的不一致来赚取无风险利润 的行为
▪ 资本市场均衡：不存在套利机会
▪ 套利定价理论：用无套利原则来简化风险收益关系
衡下不可能出现这个图形。 ➢ 若市场全部的套利机会消失时证券市场必将处于
均衡状态.
.2009年9月
考虑不同贝塔的充分分散组合的收益决定? 例：假设无风险利率为4%，两个充分分散投资 组合A与C
ßA=1；ßC=0.5；E(rA)=10%；E(rC)=6% ➢C的收益是均衡收益吗? C的均衡收益与A的
套利定价同样是否适用于单个资产（证券）定价！
E(ri)rf i
.2009年9月
10.3 单项资产与套利定价理论
▪ 套利定价理论与CAPM：
➢ 作用相同 ➢ 不需要太严格的假设 ➢ 不需要市场组合 ➢ APT的推导以无套利为核心，CAPM则以均值－
方差模型为核心 ➢ APT也有缺点
.2009年9月
数学描述：
准则一：若有充分分散化的投资组合P、Q，
且P Q,则必有：E(rP ) E(rQ )
准则二：若有充分分散化的投资组合P、Q，
且P
Q
,
则必有：E(rP E(rQ
) )
rf rf
P .2009年9Q月
如果以上准 则不满足呢？ 风险（不确 定性）如何 消除？
图10.2 Returns as a Function of the Systematic Factor: An Arbitrage Opportunity
▪ 无风险套利组合的重要性质：任何投资者， 不管其风险态度如何，都愿意更多地拥有 该项组合头寸
.2009年9月
10
套利基本形式
▪ 空间套利或称地理套利，是指在一个市场上低价 买进某种商品，而在另一市场上高价卖出同种商 品，从而赚取两个市场间差价的交易行为。
▪ 工具套利是利用同一标的资产的现货及各种衍生 证券的价格差异，通过低买高卖来赚取无风险利 润的行为。在这种套利形式中，多种资产或金融 工具组合在一起，形成一种或多种与原来有着截 然不同性质的金融工具，这就是创造复合金融工 具的过程。
.2009年9月
13
▪ 存在套利机会表明市场是非均衡的，而套利者的 行为会改变市场供求关系，最终导致套利机会的 消失，此时，达到市场均衡状态。
▪ 套利理论与风险-收益主导观点在支持均衡价格关 系方面的区别：传统理论是所有人调整（大量投 资者，少量资金），这里是少数人调整（少量投 资者，大量资金）。
.2009年9月
15
10.2.2 充分分散的投资组合
Well - diversifie d portfolio
考虑 n 个证券的等权重资产组
合，
其中每个证券的收益为
： ri E ( ri ) i F e i
组合 P 的收益： rP E ( rP ) P F e P
其中， P w i i , e P w i e i
CAPM差不多的结论
.2009年9月
25
Figure 10.4 The Security Market Line
.2009年9月
26
10.3 单项资产与套利定价理论
▪ 充分分散投资组合的单因素套利定价模型
E(rP)rf P
它描述了市场均衡状态下，任意充分分散投资组合 期望收益率与其风险（ ß ）的关系。 其中λ为直线斜率，代表单位风险的报酬，也称为 风险因素的报酬。
28
10.4 多因素套利定价理论
▪ 因素资产组合(factor portfolio)，亦为跟踪投资 组合(tracking portfolio)
▪ 双因素模型：
ri E(ri)i1F1 i2F2 ei 由因素组合构建一目 个标 和资产组合相的同资产组合，
以判断有无套利机会。 组合构建方法：
按比例i1、i2、(1i1 i2)投资于
.2009年9月
3
10.1 多因素模型概述 （Multi-Factor model）
▪ 指数模型：用一个市场指数替代所有的宏 观经济风险
▪ 改进思路：将注意力直接放在风险的根本 来源上比间接地运用市场替代更有效
.2009年9月
4
10.1.1 证券收益的因素模型
单因素模型 ri ： E(ri)iFei
则组合风险：
2 P
2 P
2 F
2 (eP )
又：
2 (eP )
n i1
1 n
2
2 (ei)
1 n
2 (ei)
市场组合 的β为多 少？
其中，
2 (ei)
2 (ei) ,又 n
E (ei)
0
于是有： r P E ( r P ) P F .2,0且09：年9月 P P F
16
图10.1 Returns as a Function of the
E ( r i) r f iM [ E ( r M ) r f] i[ e E ( r e ) r f]
.2009年9月
31
本章小结
▪ 多因素模型有更好的解释能力 ▪ 无套利原则 ▪ 充分分散化的投资组合 ▪ 多因素套利定价理论 ▪ 多因素资本资产定价模型
.2009年9月
32
▪ 最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提 出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也 表明证券的风险与收益之间存在着线性关 系.
▪ 三个基本假设
➢ 证券收益能用因素模型表示 ➢ 有足够多的证券来分散特有风险 ➢ 有效的证券市场不允许持续性的套利机会
.2009年9月
8
10.2.1 套利、风险套利与均衡
因素组合 1、因素组2合、无风险资产
.2009年9月
29
1Hale Waihona Puke Baidu.5 因素的确定
确定思路：
▪ 利用系统风险因素
➢ 如Chen, Roll, Ross(1986)
▪ 利用公司特征经验来代替系统风险
➢ 如Fama & French(1996)
.2009年9月
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10.6 多因素资本资产定价模型与 套利定价理论
.2009年9月
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▪ 套利举例：
▪ 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。
▪ 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假 设1000万元）
ßA =1； ßB = 1；E(rA) =10% ； E(rB) =8%
A和B是否可以在图 中的条件下共存呢？
.2009年9月
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套利组合及套利过程
在资产组合， A上做多头： (0.10+1.0F) ×100万 B上做空头：-（0.08+1.0F）×100万
0.02 ×100=2万（净收益） ▪ A、B组合收益差距消失,两条收益线重叠。市场均
Systematic Factor
充分分散投资组合A；单个证券S。 且ßA = ßS =1； E(rA) = E(rS) =10%
.2009年9月
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10.2.3 贝塔与期望收益
▪ 套利准则一：如果两个充分分散化的投资组 合具有相同的β值，则它们在市场中必有相同
的预期收益。
▪ 套利准则二：如果两个充分分散化的投资组 合β值不同，则其风险溢价应正比例于β。
.2009年9月
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套利组合及套利过程
▪ 做D多头： （0.07+0.5F）×100万 ▪ 做C空头：-（0.06+0.5F）×100万
0.01 ×100万=1万 ▪ 结果是：套利组合的收益为正；收益无风险，
即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零 ▪ 结果：均衡下CD必然重叠，而D点是直线组合
点，则C必然在直线上.
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
.2009年9月
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3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
投资学 第10章
APT与风险收益多因素模型
.2009年9月
引言
▪ 资本资产定价模型刻画了均衡状态下资产的期望 收益和相对市场风险测度（ß值）之间的关系。 不同资产的ß值决定它们不同的期望收益。
▪ 资本资产定价模型要求大量的假设，其中包括马 柯维茨在最初建立均值—方差模型时所作的一系 列假设，如每个投资者都是根据期望收益率和标 准差，并使用无差异曲线来选择他的最佳组合。
单因素模型暗含正 一确 个的 不假设： 股票对每种风险敏 因感 素程 的度相同
.2009年9月
5
10.1.1 证券收益的因素模型
扩展：双因素模型
ri E(ri ) iGDPGDP iIRIR ei 其中的又称为因素敏感度、因子载荷、因子
多因素模型的好处： (1)寻找均衡价格 (2)风险管理
.2009年9月
均衡收益有什么关系? ➢答：运用相同ß的两个分散组合的收益决定
关系
.2009年9月
由组合A与无风险资产按等权重构成新组合 D ，则D的期望收益率？贝塔？ E(rD) = 0.5*10%+0.5*4% = 7% ßD = 0.5*1+0.5*0 = 0.5；
市场均衡吗？
.2009年9月
图 10.3 An Arbitrage Opportunity
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10.1.2 多因素证券市场线
CAPM： E(r) rf [E(rM)rf ]
令RPM E(rM)rf
E(r) rf RPM 双因素SML：E(r) rf GDPRPGDPIRRPIR
概念：因素组合
.2009年9月
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10.2 套利定价理论 (Arbitrage Pricing Theory)
▪ 套利 ➢套利指一个通过零投资可以获得无风险 利润的交易策略
▪ 资本市场均衡：不存在套利机会（无套利 均衡）
▪ 一价定律(the law of one price)：两种 资产未来所有现金流均相等，那么二者的 市场价格应该相等。
.2009年9月
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10.2.1 套利、风险套利与均衡
▪ 无风险套利使用零投资组合(zeroinvestment portfolio)
E (rC )rfC [E (rA)rf]
.2009年9月
11.2.4 单因素证券市场线
证明：市场组合M也是充分分散化的组，合 若有任一充分分散化投的资组合P，
且P M
1,则有：E(rP) rf E(rM ) rf
P M
E(rP ) rf P[E(rM ) rf ]
没用到CAPM严格的假设，得到了与
▪ APT与CAPM的比较
➢ APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，而是基于 无套利原则和因素模型。
➢ 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致行动。 只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。
➢ 不要求投资者是风险规避的
.2009年9月
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10.2.2 充分分散的投资组合
▪ 问题：假设证券收益可用因素模型 生成，有足够多证券分散风险，那 么一个充分分散组合的风险具有什 么特征？
▪ 而1976年由罗斯发展的套利定价理论比CAPM所要 求的假设要少的多，逻辑上也更加简单。该模型 以收益率生成的因素模型为基础，用套利的概念 来定义均衡。
.2009年9月
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▪ 套利
➢ 利用证券定价之间的不一致来赚取无风险利润 的行为
▪ 资本市场均衡：不存在套利机会
▪ 套利定价理论：用无套利原则来简化风险收益关系
衡下不可能出现这个图形。 ➢ 若市场全部的套利机会消失时证券市场必将处于
均衡状态.
.2009年9月
考虑不同贝塔的充分分散组合的收益决定? 例：假设无风险利率为4%，两个充分分散投资 组合A与C
ßA=1；ßC=0.5；E(rA)=10%；E(rC)=6% ➢C的收益是均衡收益吗? C的均衡收益与A的
套利定价同样是否适用于单个资产（证券）定价！
E(ri)rf i
.2009年9月
10.3 单项资产与套利定价理论
▪ 套利定价理论与CAPM：
➢ 作用相同 ➢ 不需要太严格的假设 ➢ 不需要市场组合 ➢ APT的推导以无套利为核心，CAPM则以均值－
方差模型为核心 ➢ APT也有缺点
.2009年9月
数学描述：
准则一：若有充分分散化的投资组合P、Q，
且P Q,则必有：E(rP ) E(rQ )
准则二：若有充分分散化的投资组合P、Q，
且P
Q
,
则必有：E(rP E(rQ
) )
rf rf
P .2009年9Q月
如果以上准 则不满足呢？ 风险（不确 定性）如何 消除？
图10.2 Returns as a Function of the Systematic Factor: An Arbitrage Opportunity
▪ 无风险套利组合的重要性质：任何投资者， 不管其风险态度如何，都愿意更多地拥有 该项组合头寸
.2009年9月
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套利基本形式
▪ 空间套利或称地理套利，是指在一个市场上低价 买进某种商品，而在另一市场上高价卖出同种商 品，从而赚取两个市场间差价的交易行为。
▪ 工具套利是利用同一标的资产的现货及各种衍生 证券的价格差异，通过低买高卖来赚取无风险利 润的行为。在这种套利形式中，多种资产或金融 工具组合在一起，形成一种或多种与原来有着截 然不同性质的金融工具，这就是创造复合金融工 具的过程。
.2009年9月
13
▪ 存在套利机会表明市场是非均衡的，而套利者的 行为会改变市场供求关系，最终导致套利机会的 消失，此时，达到市场均衡状态。
▪ 套利理论与风险-收益主导观点在支持均衡价格关 系方面的区别：传统理论是所有人调整（大量投 资者，少量资金），这里是少数人调整（少量投 资者，大量资金）。
.2009年9月
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10.2.2 充分分散的投资组合
Well - diversifie d portfolio
考虑 n 个证券的等权重资产组
合，
其中每个证券的收益为
： ri E ( ri ) i F e i
组合 P 的收益： rP E ( rP ) P F e P
其中， P w i i , e P w i e i
CAPM差不多的结论
.2009年9月
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Figure 10.4 The Security Market Line
.2009年9月
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10.3 单项资产与套利定价理论
▪ 充分分散投资组合的单因素套利定价模型
E(rP)rf P
它描述了市场均衡状态下，任意充分分散投资组合 期望收益率与其风险（ ß ）的关系。 其中λ为直线斜率，代表单位风险的报酬，也称为 风险因素的报酬。
28
10.4 多因素套利定价理论
▪ 因素资产组合(factor portfolio)，亦为跟踪投资 组合(tracking portfolio)
▪ 双因素模型：
ri E(ri)i1F1 i2F2 ei 由因素组合构建一目 个标 和资产组合相的同资产组合，
以判断有无套利机会。 组合构建方法：
按比例i1、i2、(1i1 i2)投资于
.2009年9月
3
10.1 多因素模型概述 （Multi-Factor model）
▪ 指数模型：用一个市场指数替代所有的宏 观经济风险
▪ 改进思路：将注意力直接放在风险的根本 来源上比间接地运用市场替代更有效
.2009年9月
4
10.1.1 证券收益的因素模型
单因素模型 ri ： E(ri)iFei
则组合风险：
2 P
2 P
2 F
2 (eP )
又：
2 (eP )
n i1
1 n
2
2 (ei)
1 n
2 (ei)
市场组合 的β为多 少？
其中，
2 (ei)
2 (ei) ,又 n
E (ei)
0
于是有： r P E ( r P ) P F .2,0且09：年9月 P P F
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图10.1 Returns as a Function of the
E ( r i) r f iM [ E ( r M ) r f] i[ e E ( r e ) r f]
.2009年9月
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本章小结
▪ 多因素模型有更好的解释能力 ▪ 无套利原则 ▪ 充分分散化的投资组合 ▪ 多因素套利定价理论 ▪ 多因素资本资产定价模型
.2009年9月
32
▪ 最早由美国学者斯蒂芬·罗斯于1976年提 出，这一理论的结论与CAPM模型一样，也 表明证券的风险与收益之间存在着线性关 系.
▪ 三个基本假设
➢ 证券收益能用因素模型表示 ➢ 有足够多的证券来分散特有风险 ➢ 有效的证券市场不允许持续性的套利机会
.2009年9月
8
10.2.1 套利、风险套利与均衡
因素组合 1、因素组2合、无风险资产
.2009年9月
29
1Hale Waihona Puke Baidu.5 因素的确定
确定思路：
▪ 利用系统风险因素
➢ 如Chen, Roll, Ross(1986)
▪ 利用公司特征经验来代替系统风险
➢ 如Fama & French(1996)
.2009年9月
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10.6 多因素资本资产定价模型与 套利定价理论