(西姆松定理-欧拉线-九点圆)

西姆松(Simson)定理

西姆松定理说明

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）

定理定义：

（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有：

（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

证明

证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于

E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.

易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、

C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠AB

P的补角）且∠PDE=∠PCE

②而∠ACP+∠PCE=180°

③∴∠FDP+∠PDE=180°

④即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，

由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.

证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有

∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.

故L、M、N三点共线。

相关性质的证明：

1. M为线段PH的中点连AH延长线交圆于G。

证明：连PG交西姆松线与R,BC于Q

如图连其他相关线段

AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2

A.G.C.P共圆==>∠2=∠3

PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圆==>∠3=∠4

==>∠1=∠4

PF⊥BC

==>PR=RQ

BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6

A.B.G.C共圆==>∠6=∠7

==>∠5=∠7

AG⊥BC==>BC垂直平分GH

==>∠8=∠2=∠4

∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10

==>HQ//DF

==>PM=MH

欧拉线

莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

如右图，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、

外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。

注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结

三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧

拉圆。

欧拉线的证法1：

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点

D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM

交OH于点G’

∵BD是直径

∴∠BAD、∠BCD是直角

∴AD⊥AB，DC⊥BC

∵CH⊥AB，AH⊥BC

∴DA‖CH，DC‖AH

∴四边形ADCH是平行四边形

∴AH=DC

∵M是BC的中点，O是BD的中点

∴OM= 1/2DC

∴OM= 1/2AH

∵OM‖AH

∴△OMG’ ∽△HAG’

∴AG/GM=2/1

∴G’是△ABC的重心

∴G与G’重合

∴O、G、H三点在同一条直线上

如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O、G、H三点的坐标即可.

欧拉线的证法2：

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连

接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。

连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连

接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以AE⊥BC。

所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则

GA:GD=2:1。

连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。

同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠O DF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以O D:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。

欧拉线的证法3

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.

则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC

向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，

向量OG*3=向量OH

所以O、G、H三点共线

应用；

1 ：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。

证明：设5个点对应的向量分别是z1, z2, z3, z4, z5，且它们的模相等。

因为|z1|=|z2|，所以0, z1, z2, z1+z2这四个点构成一个菱形，所以它们的对角线垂直，所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。

这样经过三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2连线的直线方程就是

z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意实数。

取t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。

2：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。

3：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。

证明：第2，3个结论缘于以下事实：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。