高中数学必修三习题 [人教B版] 3.3.2 随机数的含义与应用

3.3.2 随机数的含义与应用

一、基础过关

1．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为 ( ) A.SHIFT RND B.SHIFT Ran C.SHIFT Ran# D.STO Ran#

2．与均匀随机数特点不符的是( )

A ．它是[0,1]内的任何一个实数

B ．它是一个随机数

C ．出现的每一个实数都是等可能的

D ．是随机数的平均数

3．将区间[0,1]内的随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为 ( )

A ．rand()*8＋2

B ．rand()*6－2

C ．rand()*8－2

D ．rand()*(－2)＋6

4．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒

豆子，它落在阴影区域内的概率为23

，则阴影区域的面积为 ( )

A.43

B.83

C.23

D ．无法计算

5．A 是平面内的不规则区域，作一个半径为12 cm 的圆Ω，使得A ⊆Ω，如图所示．在

Ω中随机投掷了3 000个质点后，发现有1 440个质点落入区域A 中，则估算A 的面积为

________ cm 2.

6．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．

7．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的

面积．

8．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：

(1)小燕比小明先到校；

(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．

二、能力提升

9．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是()

A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8

10.

将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是() A．一样大B．蓝白区域大

C．红黄区域大D．由指针转动圈数决定

11．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．

12．如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．

三、探究与拓展

13．在如图所示的边长为2的正方形中随机投点，求该点落在三角形区域内的概率，由

此估计无理数3的值．

3．3.2 随机数的含义与应用

1．C 2.D 3.C 4.B 5.1 728π25 6.23

7．解 设事件A ：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．

(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝rand ()，y 1＝rand ()．

(2)经过变换x ＝x 1]N 1,N)，即为概率P(A)的近似值．

设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为9，由几何概型公式得P(A)＝S 9，所以N 1N ≈S 9

. 所以S ≈9N 1N

即为阴影部分面积的近似值． 8．解 记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．

S 1 利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝rand ()，b ＝rand ()，c ＝rand ()分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；

S 2 统计出试验总次数N 及其中满足b

，即分别为事件A ，B 的概率的近似值． 9．C [最后一位数有5种结果，而能被2或5整除的有3种．]

10．B [哪个区域的张角大，即表明指针停留在该区域的可能性大，显然，蓝白区域大．]

11.π16

解析 如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，

因此P ＝π×124×4＝π16

.

12．解 方法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A 内的

豆子数与落在正方形内的豆子数，根据

落在区域A 内的豆子数落在正方形内的豆子数

≈ 区域A 的面积正方形的面积

，即可求区域A 面积的近似值．例如，假设撒1 000粒豆子，落在区域A 内的豆子数为700，则区域A 的面积S ≈7001 000

＝0.7. 方法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：

第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x ，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y ≥x 2，就表示这个点落在区域A 内．

第二步，统计出落在区域A 内的随机点的个数M 与落在正方形内的随机点的个数N ，

可求得区域A 的面积S ≈M N

. 13．解 设A 为随机投点落在三角形区域内的事件．由投点的随机性知，这是一个几何概型的概率计算问题．样本空间Ω所对应的正方形区域的面积为22＝4，事件A 所对应的区域的面积为32

. 由几何概型概率的计算公式，

得P(A)＝38

. 在正方形区域内随机投点(如随机撒一大把豆子，或通过计算机中的随机函数模拟来完

成)N 次，其中有n 次落在三角形区域内，则事件A 发生的频率为n N

.由频率与概率的关系，当N 很大时，有P(A)≈n N ，即38≈n N ，所以3≈8n N

.