高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型教学内容

选做题部分 极坐标系与参数方程
一、极坐标系
1．极坐标系与点的极坐标
(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2点M 直角坐标(x ，y )
极坐标(ρ，θ)
互化公式
题型一 极坐标与直角坐标的互化
1、已知点P 的极坐标为)4
,2(π
，则点P 的直角坐标为 （ ）
A.（1，1）
B.（1，-1）
C.（-1，1）
D.（-1，-1）
2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32,
)4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4
π-
3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A ．ρ＝cos θ
B ．ρ＝sin θ
C ．ρcos θ＝1
D ．ρsin θ＝1
5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2
－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π
4
(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
题型二 极坐标方程的应用
由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．
2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
4，π3，则
|CP|＝________.
3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，π4，圆的半径为1.
(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．
4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．
二、参数方程
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α
y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)
题型一 参数方程与普通方程的互化 【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨⎧
x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ； (2)⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋1
2t ，y ＝5＋3
2t .
题型二 直线与圆的参数方程的应用
1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ＋2，
y ＝2sin θ(参
数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．
2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：
（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．
3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．
综合应用
1、曲线25()12x t
t y t =-+⎧⎨
=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）
A 21(0,)(,0)52、
B 11(0,)(,0)52、
C (0,4)(8,0)-、
D 5(0,)(8,0)9
、
3、参数方程2
2
2sin sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤
3．判断下列结论的正误．
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )
(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π
3）( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )
4.参数方程为1()2
x t t t y ⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）
A ．一条直线
B ．两条直线
C ．一条射线
D ．两条射线
5
．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2
x B ．21(01)4
y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2
x D ．21(01,02)4
y x y +=≤≤≤≤2
x 15.参数方程()为参数θθθ⎩
⎨⎧+==cot tan 2
y x 所表示的曲线是 （ ）
A ．直线
B ．两条射线
C ．线段
D ．圆
16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2
=表示同一曲线的方程是： ( )
A ．x t y t ==⎧⎨⎩2
B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2
C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪
D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=
t y t t x tan 2cos 12cos 1
3.由参数方程()
⎪⎭⎫
⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθ
θ为参数，
y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是。

4.若直线l 的参数方程是x t y t
=+=-+⎧
⎨⎪⎪⎩
⎪⎪345
235（t 是参数），则过点（4，－1）且与l 平行
的直线在y 轴上的截距是 。

5.方程x t y t =+︒
=-+︒⎧⎨
⎩
550350sin cos （t 是参数）表示的是过点 ，倾斜角为 直线。

8.在极坐标系有点M(3,3
π
)，若规定极径ρ＜0, 极角θ∈[0,2π]，则M 的极坐标为 ；
若规定极径ρ＜0，极角θ∈(-π,π)，则M 的极坐标为 . 9.∆OP P 12的一个顶点在极点O ，其它两个顶点分别为⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-12443521ππ，，，P P ，则∆OP P 12
的面积为。

6．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝
⎛
⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于
________．
7、平面直角坐标系中,将曲线2cos 2
(sin x y ααα=+⎧⎨
=⎩为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2
倍得到曲线1C ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立的极坐
标系中,曲线2
C 的方程为4sin ρθ=
(Ⅰ)求
1
C 和
2
C 的普通方程:(Ⅱ)求
1
C 和
2
C 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.
8、已知曲线C 的极坐标方程是0sin 2cos 2=+-θθρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=t y t x 222221（t 为参数）.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求AB 的值.
7、已知圆C ：⎩⎨⎧ x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为
参数，α为直线l 的倾斜角)． (1)当α＝2π
3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值； (2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．
28．参数方程cos (sin cos )
()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩
为参数表示什么曲线？
21．点P 在椭圆
22
1169
x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。

22．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=，
（1）写出直线l 的参数方程。

（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。