经济学投资学讲义
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（4）当到期收益率越来越大时，债券的价 格趋于零。
2020/5/24
10
例题：
某公司债券的面值为100元，现距离到期日为15 年，债券的票面利率为10％，每半年付息一次。 若该债券的现价为105元，求到期收益率。
解：利用公式（2）有
105
30 t 1
100 5％ (1 y / 2)t
100 (1 y / 2)30
解得（用Matlab程序）
y=0.0934
2020/5/24
11
总结： Malkiel定理（Burton G. Malkiel） （1962）
n
PV
CF
t＝1 (1 i)t (1 i)n
由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市 场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，若 市场是有效的（无套利条件），则内在价值＝价格。
现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method,简 称DCF)，又称收入法或收入资本化法。
DCF认为任何资产的内在价值（Intrinsic value）取 决于该资产预期的现金流的现值。
V0
C1 (1 i1)
(1
C2 i1)(1 i2 )
,...,
Cn F
n
(1 ij )
在市场有效的前提下，Malkiel的5个定理总结了债 券价格（现值）与这些因素的关系。
在后面的阐述中我们用价格变化的百分比来表示债 券价格的波动性。
2020/5/24
12
定理1：债券价格与到期收益率具有反向相关关系。
PV
n t＝1
CFt (1 i)t
dPV di
n
t＝1
tCFt (1 i)t1
F i)n1
当i k时，有1 k 1，则 1 i
F k (1 i)n1
F (1 i)n1
F (1 i)n
1 k 1 i
F (1 i)n
, 从而
PVn1 PVn。同理，当i k时，PVn1 PVn。 因此，同样的到期收益率变化给长期债券造成的波动更剧烈。
定理3：虽然到期时间越长，债券价格波动幅度 增加，但增加的速度递减。
格越低。
2020/5/24
1
影响债券价格的外部因素
银行利率：银行的存贷款利率
按照收益与风险相匹配原则，应该有：国债利 率<银行利率<公司债券利率。（但是实际上 国债利率>银行利率。）
市场利率：市场总体利率水平。 其它因素
通货膨胀率及其预期 外汇汇率
2020/5/24
2
12.1 债券定价
比如票面利率为10％的债券，每年为10元， 一共30年，得到300元，再加上100元的面 值，得到的价格为400元。
2020/5/24
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（3）当到期收益率和票面利率相等时，债 券的价格正好等于其面值。
例如票面利率为10%的曲线，当到期收 益率为10%时，其中的价格正好等于 100元。
这两者相等的原因在于，每年的利息支付 正好等于10%的收益，从而每年的价格 保持不变，均为100元。
收到利息能以到期收益率再投资。
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P0
n t 1
C (1 y)t
F (1 y)n
P0 (1 y)n
C(1 y)n1,..., C(1 y) C F
以到期收益 率再投资
12.2.1 债券价格与到期收益率
▪价格表示为到期收益率的函数。
➢图中价格表示为面值（100元）的倍数；所有债券的 期限为30年；每条曲线上的数字表示票面利率。 ➢从图可以看出4个特征。
• 价格
• 500
• 400
• 300
15%
• 200
5%
10%
• 100 0%
•0
5
•
10
15
到期收益率
2020/5/24
8
（1）价格与到期收益率具有反向相关关系。
对于固定的收入流，要使得投资者的到期收 益率越高，投资者购买债券的价格就必须越 低，这样投资回报才越高。
（2）当到期收益率为0时，债券的价格正好 等于它的所有现金流的和。
证明：PVn
n 1 t 1
C (1 i)t
C (1 i)n
F (1 i)n
n 1 t 1
F k (1 i)t
F k (1 i)n
F (1 i)n
原因：长期债券 由于期限长，到 期收益率对其价 格的作用大。
PVn1
n 1 t 1
F k (1 i)t
F k (1 i)n
F k (1 i)n1
(1
(2)
若1年付息1次则
P0
n t 1
C
1 yt
F
1 yn
(3)
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5
到期收益率实际上就是内部报酬率 (internal rate of return)
注意：债券价格是购买日的价格，购买日不一 定是债券发行日。
到期收益率能否实际实现取决于3个条件：
投资者持有债券到期； 无违约(利息和本金能按时、足额收到）；
若已知债券购买价格P0,面值为F，现在距离到期时间 为n年，每年支付的利息总额为C，1年内共分m次利 息，则满足下式的y就是到期收益率
C
P0
F 1 y
mn
mn t 1
m 1 y
t
m
m
（1）
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若每半年支付1次利息，到期收益率
仍以年表示则
2n C / 2
F
P0 t1 (1 y / 2)t (1 y / 2)2n
j 1
其中，V0为债券的现值(内在价值)
Ct为第t期债券的利息
it为t期的市场利率(短期利率）
F为债券的面值(Face value)
2020/5/24
3
12.2 到期收益率
到期收益率（Yield to maturity）：使债券未来支付 的现金流之现值与债券价格相等的折现率。
到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率
影响债券价格的内部因素
期限的长短：期限越长、不确定性就越大，其价格变 动的可能性就越大。
票面利率：债券的票面利率越低，其价格的易变性越 大。
早赎条款：增大了投资者的再投资风险，其价格相应 较低，收益率较高。
税收待遇：免税债券和税收推迟的债券，具有一定的 优势，其价格相应较高。
流动性：具有较高流动性的债券，其价格较高。 违约风险：信用风险越大，违约的可能性越大，其价
0
d 2PV d 2i
n t(t 1)CFt t＝1 (1 i)t2
0
由此可见，债券价格是到期收益率的减函数。Байду номын сангаас
但由于其二阶导数为正，
因此债券价格是到期收益率的凸函数。
2020/5/24
13
定理2：若债券的票面利率不变，债券的到期时间与债券 价格的波动幅度之间成正相关关系。
说明长期债券对到期收益率更加敏感。 长期债券价格的 波动性大于短期债券价格的波动性。
2020/5/24
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例题：
某公司债券的面值为100元，现距离到期日为15 年，债券的票面利率为10％，每半年付息一次。 若该债券的现价为105元，求到期收益率。
解：利用公式（2）有
105
30 t 1
100 5％ (1 y / 2)t
100 (1 y / 2)30
解得（用Matlab程序）
y=0.0934
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总结： Malkiel定理（Burton G. Malkiel） （1962）
n
PV
CF
t＝1 (1 i)t (1 i)n
由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市 场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，若 市场是有效的（无套利条件），则内在价值＝价格。
现金流贴现法(Discounted Cash Flow Method,简 称DCF)，又称收入法或收入资本化法。
DCF认为任何资产的内在价值（Intrinsic value）取 决于该资产预期的现金流的现值。
V0
C1 (1 i1)
(1
C2 i1)(1 i2 )
,...,
Cn F
n
(1 ij )
在市场有效的前提下，Malkiel的5个定理总结了债 券价格（现值）与这些因素的关系。
在后面的阐述中我们用价格变化的百分比来表示债 券价格的波动性。
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定理1：债券价格与到期收益率具有反向相关关系。
PV
n t＝1
CFt (1 i)t
dPV di
n
t＝1
tCFt (1 i)t1
F i)n1
当i k时，有1 k 1，则 1 i
F k (1 i)n1
F (1 i)n1
F (1 i)n
1 k 1 i
F (1 i)n
, 从而
PVn1 PVn。同理，当i k时，PVn1 PVn。 因此，同样的到期收益率变化给长期债券造成的波动更剧烈。
定理3：虽然到期时间越长，债券价格波动幅度 增加，但增加的速度递减。
格越低。
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1
影响债券价格的外部因素
银行利率：银行的存贷款利率
按照收益与风险相匹配原则，应该有：国债利 率<银行利率<公司债券利率。（但是实际上 国债利率>银行利率。）
市场利率：市场总体利率水平。 其它因素
通货膨胀率及其预期 外汇汇率
2020/5/24
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12.1 债券定价
比如票面利率为10％的债券，每年为10元， 一共30年，得到300元，再加上100元的面 值，得到的价格为400元。
2020/5/24
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（3）当到期收益率和票面利率相等时，债 券的价格正好等于其面值。
例如票面利率为10%的曲线，当到期收 益率为10%时，其中的价格正好等于 100元。
这两者相等的原因在于，每年的利息支付 正好等于10%的收益，从而每年的价格 保持不变，均为100元。
收到利息能以到期收益率再投资。
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P0
n t 1
C (1 y)t
F (1 y)n
P0 (1 y)n
C(1 y)n1,..., C(1 y) C F
以到期收益 率再投资
12.2.1 债券价格与到期收益率
▪价格表示为到期收益率的函数。
➢图中价格表示为面值（100元）的倍数；所有债券的 期限为30年；每条曲线上的数字表示票面利率。 ➢从图可以看出4个特征。
• 价格
• 500
• 400
• 300
15%
• 200
5%
10%
• 100 0%
•0
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（1）价格与到期收益率具有反向相关关系。
对于固定的收入流，要使得投资者的到期收 益率越高，投资者购买债券的价格就必须越 低，这样投资回报才越高。
（2）当到期收益率为0时，债券的价格正好 等于它的所有现金流的和。
证明：PVn
n 1 t 1
C (1 i)t
C (1 i)n
F (1 i)n
n 1 t 1
F k (1 i)t
F k (1 i)n
F (1 i)n
原因：长期债券 由于期限长，到 期收益率对其价 格的作用大。
PVn1
n 1 t 1
F k (1 i)t
F k (1 i)n
F k (1 i)n1
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若1年付息1次则
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n t 1
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1 yt
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到期收益率实际上就是内部报酬率 (internal rate of return)
注意：债券价格是购买日的价格，购买日不一 定是债券发行日。
到期收益率能否实际实现取决于3个条件：
投资者持有债券到期； 无违约(利息和本金能按时、足额收到）；
若已知债券购买价格P0,面值为F，现在距离到期时间 为n年，每年支付的利息总额为C，1年内共分m次利 息，则满足下式的y就是到期收益率
C
P0
F 1 y
mn
mn t 1
m 1 y
t
m
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（1）
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若每半年支付1次利息，到期收益率
仍以年表示则
2n C / 2
F
P0 t1 (1 y / 2)t (1 y / 2)2n
j 1
其中，V0为债券的现值(内在价值)
Ct为第t期债券的利息
it为t期的市场利率(短期利率）
F为债券的面值(Face value)
2020/5/24
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12.2 到期收益率
到期收益率（Yield to maturity）：使债券未来支付 的现金流之现值与债券价格相等的折现率。
到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率
影响债券价格的内部因素
期限的长短：期限越长、不确定性就越大，其价格变 动的可能性就越大。
票面利率：债券的票面利率越低，其价格的易变性越 大。
早赎条款：增大了投资者的再投资风险，其价格相应 较低，收益率较高。
税收待遇：免税债券和税收推迟的债券，具有一定的 优势，其价格相应较高。
流动性：具有较高流动性的债券，其价格较高。 违约风险：信用风险越大，违约的可能性越大，其价
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d 2PV d 2i
n t(t 1)CFt t＝1 (1 i)t2
0
由此可见，债券价格是到期收益率的减函数。Байду номын сангаас
但由于其二阶导数为正，
因此债券价格是到期收益率的凸函数。
2020/5/24
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定理2：若债券的票面利率不变，债券的到期时间与债券 价格的波动幅度之间成正相关关系。
说明长期债券对到期收益率更加敏感。 长期债券价格的 波动性大于短期债券价格的波动性。