幂函数与指数函数的区别
指数与对数函数幂函数知识点总结
指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
指数、对数、幂函数对比
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a＞0，a≠1) y=log a x(a＞0，a≠1) 定义域(-∞，+∞) (0，+∞)值域(0，+∞) (-∞，+∞)函数值变化情况当a＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1xxxa x当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1xxxa x当a＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0logxxxxa当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0logxxxxa单调性当a＞1时，a x是增函数；当0＜a＜1时，a x是减函数.当a＞1时，log a x是增函数；当0＜a＜1时，log a x是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x的图像关于直线y=x对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数 偶函数 非奇非偶函数 1n >01n <<0n <OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶 奇在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数、对数、幂函数对比
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1)当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握ny x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．ny x =奇函数 偶函数 非奇非偶函数1n >01n <<0n <y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 R R R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠奇偶性奇 奇 奇 非奇非偶奇 在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减OxyOxyOxy OxyOxyOxyOxyOxyOxy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
幂函数与指数函数的关系
幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学和实际问题中都有重要的应用和意义。
幂函数以底数为变量的幂次函数形式呈现，而指数函数则以指数为变量的底数函数形式呈现。
本文将探讨幂函数与指数函数之间的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、幂函数的定义及特征幂函数的一般形式为 y = Ax^n，其中 A 为常数，n 为指数，x 为自变量。
幂函数的特征主要包括：1. 指数 n 的取值：可以是整数、分数或者负数。
当 n 为整数时，幂函数的图像通常由一个或多个曲线段组成；当 n 为分数时，幂函数的图像通常为一条连续的曲线；当 n 为负数时，幂函数的图像则为一个对称于 y 轴的曲线。
2. 对称性：对于正幂函数来说，其图像关于 y 轴对称；对于负幂函数来说，其图像关于 x 轴对称。
3. 增减性：当幂函数的指数 n 大于 0 时，函数在定义域上严格单调递增；当指数 n 小于 0 时，函数在定义域上严格单调递减。
4. 渐近线：幂函数的渐近线通常为 x 轴和 y 轴。
二、指数函数的定义及特征指数函数的一般形式为 y = Aa^x，其中 A 为常数，a 为底数，x 为自变量。
指数函数的特征主要包括：1. 底数 a 的取值：底数 a 为正实数且不等于 1。
不同的底数对应不同的函数图像。
2. 增减性：当底数 a 大于 1 时，函数在整个定义域上严格单调递增；当底数 a 在 0 到 1 之间时，函数在整个定义域上严格单调递减。
3. 渐近线：指数函数的渐近线通常为 x 轴。
三、幂函数与指数函数的关系幂函数与指数函数之间存在一种密切的关系，即它们互为反函数。
具体而言，如果一个幂函数和一个指数函数的底数与指数互为倒数，那么这两个函数互为反函数。
例如，y = 2^x 和 y = log₂x 就是互为反函数的例子。
这种反函数关系也可以从图像上得到验证。
以 y = 2^x 为例，该指数函数在坐标系上的图像为一个逐渐上升的曲线。
幂函数与指数函数的关系
幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学和科学中都有着广泛的应用。
本文将探讨幂函数与指数函数之间的关系，以及它们的性质和特点。
1. 幂函数的定义与性质幂函数可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 是实数且a ≠ 0。
幂函数的定义域为实数集，值域根据 a 的正负性质而定。
幂函数的一般形式可以写为 y = kx^n，其中 k 和 n 分别代表常数和指数。
2. 指数函数的定义与性质指数函数可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
指数函数的特点是 y 轴上存在一个水平渐近线。
3. 幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数有密切的联系。
事实上，幂函数是指数函数的逆运算。
幂函数 f(x) = a^x 和指数函数 g(x) = log_a(x) 是互为反函数的关系。
其中，a 是幂函数的底数，也是指数函数的基数。
4. 图像特点比较幂函数的图像特点与指数函数的图像特点相似，但有些细微差别。
幂函数的图像可能会在某些情况下与坐标轴相交，而指数函数的图像则不会与 y 轴相交。
此外，指数函数的图像在 x = 0 处存在一个水平渐近线，而幂函数的图像则没有。
5. 幂函数和指数函数的应用幂函数和指数函数在实际应用中有许多重要的应用。
指数函数在财务、经济学和生物学领域具有广泛的应用，如复利计算、人口增长模型等。
幂函数在物理学领域也有广泛应用，如速度-时间关系、反比例关系等。
总结：幂函数与指数函数之间存在密切的联系，幂函数是指数函数的逆运算。
幂函数的定义形式为 y = kx^n，而指数函数的定义形式为 f(x) = a^x。
两者的图像特点相似但有些差别，幂函数可能与坐标轴相交，而指数函数则不会。
这两种函数在数学和科学中有着广泛的应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。
（注：以上内容仅供参考，具体格式如何书写，请根据实际要求和题目进行判断和调整。
幂函数与指数函数的相同点与不同点
标题：幂函数与指数函数：相同点和不同点的深度探讨在数学领域中，幂函数与指数函数是两个非常重要且基础的概念。
它们在代数、微积分、几何等多个数学分支中发挥着重要的作用。
本文将深入探讨幂函数与指数函数的相同点和不同点，从而帮助读者更加全面地理解这两个概念。
1. 定义在正实数a（a≠1）及任意实数x（当a>0时）或整数x（当a<0时）的基础上，幂函数f(x) = a^x是形如a^x（a≠0, a>0, a≠1）的函数。
指数函数g(x) = a^x是形如 a^x（a≠0, a>0, a≠1）的函数。
幂函数和指数函数都是以指数为自变量的函数，其特点是底数都是常数。
在定义上，两者非常相似，都具有指数作为自变量和底数为常数这一共同点。
2. 图像幂函数的图像随着底数a的不同而有所不同，而指数函数的图像则随着底数a的不同而有所不同。
当底数a大于1时，幂函数呈现指数递增的趋势；而当底数a介于0和1之间时，幂函数呈现指数递减的趋势。
而指数函数的图像在底数为正数时，呈现指数递增的趋势；当底数为负数时，图像在x轴上方为正数，而在x轴下方则为负数。
3. 性质幂函数和指数函数都具有单调性，且在定义域内均有且仅有一个零点。
其中，幂函数在底数a大于1时，为递增函数；在底数a介于0和1之间时，为递减函数。
而指数函数在底数为正数时，为递增函数；在底数为负数时，则会出现周期性变化。
此处，两者在函数性质上的相同点和不同点得到了充分的展现。
4. 应用在实际生活中，幂函数与指数函数都有着重要的应用。
比如在经济学中，幂函数常常用于描述通货膨胀速度与时间之间的关系；而指数函数则常被用来描述某种资源的增长或衰减规律。
在生物学、物理学、工程学等领域，两者也都有着广泛的应用。
在对幂函数与指数函数的相同点和不同点进行全面了解后，我们可以清楚地认识到它们之间精妙的关系。
虽然在定义、图像、性质和应用上有着诸多不同，但二者都具有指数作为自变量和底数为常数的共同点。
指数、对数、幂函数对比
指数函数概念：一般地,函数y=a^x（a＞0,且a≠1）叫做指数函数,个中x是自变量,函数的界说域是R.留意：⒈指数函数对外形请求严厉,前系数要为1,不然不克不及为指数函数.⒉指数函数的界说仅是情势界说.指数函数的图像与性质：纪律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性.2.当a＞1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越接近y轴;当0＜a＜1时,底数越小,图像降低的越快,在y轴的左侧,图像越接近y轴.在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”.3.四字口诀：“大增小减”.即：当a＞1时,图像在R上是增函数;当0＜a＜1时,图像在R上是减函数.4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数.比较幂式大小的办法：1.当底数雷同时,则应用指数函数的单调性进行比较;2.当底数中含有字母时要留意分类评论辩论;3.当底数不合,指数也不合时,则须要引入中央量进行比较;4.对多个数进行比较,可用0或1作为中央量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移.在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移.对数函数因为指数函数y=a x在界说域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它消失反函数,我们把指数函数y=a x(a ＞0,a ≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=log a x(a ＞0,a ≠1).因为指数函数y=a x的界说域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log a x 的界说域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).对数函数与指数函数互为反函数,是以它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.为了研讨对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的性质,我们在统一向角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x,y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图,再联合指数函数的图像和性质,可以归纳.剖析出对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的图像的特点和性质.见下表.]图 象a ＞1a ＜1性 质(1)x ＞0(2)当x=1时,y=0 (3)当x ＞1时,y ＞0 0＜x ＜1时,y ＜0 (3)当x ＞1时,y ＜0 0＜x ＜1时,y ＞0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数 填补 性质设y 1=log a x y 2=log b x 个中a ＞1,b ＞1(或0＜a ＜1 0＜b ＜1) 当x ＞1时“底大图低”即若a ＞b 则y 1＞y 2当0＜x ＜1时“底大图高”即若a ＞b,则y 1＞y 2比较对数大小的经常应用办法有：(1)若底数为统一常数,则可由对数函数的单调性直接进行断定.(2)若底数为统一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类评论辩论. (3)若底数不合.真数雷同,则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数.真数都不雷同,则常借助1.0.-1等中央量进行比较.幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =跟着n 的不合,界说域.值域都邑产生变更,可以采纳按性质和图像分类记忆的办法．闇练控制n y x =,当112,1,,,323n =±±±的图像和性质,列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不订交,任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④任何两个幂函数最多有三个公共点．幂函数y x α=（x ∈R,α是常数）的图像在第一象限的散布纪律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R,α是常数）的图像都过点)1,1(;②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(;③当1=α时,y x α=的的图像在第一象限是第一象限的等分线（如2c ）;④当3,2=α时,y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时,y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时,y x α=的的图像不过原点)0,0(,且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ） 当0>α时,幂函数y x α=有下列性质： （1）图象都经由过程点)1,1(),0,0(; （2）在第一象限内都是增函数;（3）在第一象限内,1>α时,图象是向下凸的;10<<α时,图象是向上凸的; （4）在第一象限内,过点)1,1(后,图象向右上方无穷伸展. 当0<α时,幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都经由过程点)1,1(;（2）在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;（3）在第一象限内,图象向上与y 轴无穷地接近;向右无穷地与x 轴无穷地接近; （4）在第一象限内,过点)1,1(后,α越大,图象下落的速度越快.无论α取任何实数,幂函数y x α=的图象必定经由第一象限,并且必定不经由第四象限.对号函数函数xbax y +=（a>0,b>0）叫做对号函数,因其在（0,+∞）的图象似符号“√”而得名,应用对号函数的图象及均值不等式,当x>0时,ab xb ax 2≥+（当且仅当x b ax =即ab x =时取等号）,由此可得函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质:当ab x =时,函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值ab 2,特殊地,当a=b=1时函数有最小值 2.函数xb ax y +=（a>0,b>0）在区间（0,ab ）上是减函数,在区间（ab ,+∞）上是增函数.因为函数xb ax y +=（a>0,b>0）是奇函数,所以可得函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）的性质：当ab x -=时,函数xb ax y +=（a>0,b>0,x ∈R -）有最大值-ab 2,特殊地,当a=b=1时函数有最大值-2.函数xb ax y +=（a>0,b>0）在区间（-∞,-ab ）上是增函数,在区间（-ab ,0）上是减函数.。
幂函数知识总结
幂函数知识总结幂函数复：幂函数是指形如αy=x(α∈R)的函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数与指数函数的本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
幂函数在第一象限的性质：当α>0时，图像过定点（0,0）和（1,1），在区间（1，+∞）上单调递增；当α<0时，图像过定点（1,1），在区间（0，1）上单调递减。
对于形如y=x(m/n)(m,n∈Z且m,n互质)的幂函数，当m和n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；当m为奇数n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；当m为偶数n为奇数时，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限内。
幂函数的图像画法：先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1时，在第一象限为抛物线型（凹）；指数等于1时，在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1时，在第一象限为抛物线型（凸）；指数等于0时，在第一象限为水平的射线；指数小于0时，在第一象限为双曲线型。
比较幂形式的两个数的大小，可以化为同指数或同底数，或寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小。
题型一：幂函数解析式特征。
对于已知函数是幂函数的情况，可以根据题目给出的条件求出函数的解析式。
题型二：幂函数性质。
幂函数在第一象限的性质可以用于求解一些问题，同时也需要注意幂函数的奇偶性和定义域来画出其图像。
图像不可能出现在第四象限内。
对于3D图像，如果幂函数y=x^α为奇函数，则在定义域内是增函数。
练3：如图所示，曲线c1和c2分别是函数y=x^m和y=x^n在第一象限的图像。
那么一定有n<m<0.练4：（1）函数y=x的单调递减区间为（-∞，1）；（2）函数y=x^2的单调递增区间是[0.+∞)，因为它的图像过点(2.4)；（3）幂函数的性质可知，x^a>x^b当且仅当a>b，因此(2)^3>(3)^2，(3)^2>(2)^(-3)，(4)^(-1)>(5)^(-1)，1.1>0.9.经典例题：例1：已知函数f(x)=x^(m-2)+(m+3)，其中m∈Z，为偶函数，且f(3)<f(5)，求m的值，并确定f(x)的解析式。
指数函数和幂函数的区别
指数函数和幂函数的区别
指数函数与幂函数的区别如下：
1、函数的自变量不同：指数函数的指数是自变量，底数是常数，而幂函数的底数是自变量，指数是常数，
2、自变量的取值范围不同：指数函数的自变量可以取大于0且不等于1的值，而幂函数的自变量可取不等于1的值
3、性质不同：指数函数和幂函数的性质随自变量的取值范围不同而改变，幂函数的性质有多种，而指数函数的性质有两种，若自变量大于0且小于1时，指数函数是递减函数，若自变量大于1时，指数函数是递增函数。
幂函数与指数函数的特点与应用
幂函数与指数函数的特点与应用幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将探讨幂函数和指数函数的特点以及其在不同领域中的应用。
一、幂函数的特点与应用幂函数是形如y = x^n的函数，其中n是常数。
幂函数的特点如下：1. 无论n的正负，幂函数都经过点(1, 1)。
当n为正时，随着x的增大，y的增幅逐渐变大；当n为负时，随着x的增大，y的增幅逐渐变小。
2. 当n>1时，幂函数增长速度快于线性函数。
当n<1时，幂函数增长速度慢于线性函数。
幂函数的应用广泛，以下是一些典型的应用领域：1. 经济学：幂函数可以描述人口增长、经济发展等方面的规律。
例如，GDP的增长往往呈现出指数增长的趋势。
2. 物理学：幂函数可以用来描述一些物理量之间的关系，如速度、功率、电阻等。
物理学中许多自然现象的规律均可用幂函数来表示。
3. 生物学：幂函数在生物学中也有着重要的应用。
例如，布特曼函数被用来描述食物摄入和能量消耗之间的关系。
二、指数函数的特点与应用指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数且a>0，a≠1。
指数函数的特点如下：1. 当0<a<1时，指数函数呈现出递减的特点；当a>1时，指数函数呈现出递增的特点。
2. 指数函数的图像在x轴的右侧逐渐上升，但增长速度逐渐减慢。
指数函数的应用广泛，以下是一些典型的应用领域：1. 财务领域：指数函数常被用来计算复利和利息。
在投资中，指数函数能够帮助我们了解资产增长率，并进行合理的投资决策。
2. 生态学：指数函数常被用来描述生物种群的增长。
通过对一定时期内种群数量的测量，可以利用指数函数来进行种群数量的预测和管理。
3. 电子技术：指数函数广泛应用于电子电路中的放大器设计，用于描述电压和电流之间的关系。
综上所述，幂函数和指数函数在数学和实际应用中都具有重要的地位。
通过了解它们的特点和应用，我们可以更好地理解和应用这两种函数，从而解决实际问题并取得更好的效果。
幂函数与指数函数的像
幂函数与指数函数的像幂函数和指数函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学运算和实际问题中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨幂函数和指数函数的像。
一、幂函数的像幂函数的一般形式可以表示为y = ax^n，其中a和n是常数，x是自变量。
幂函数的像指的是函数y的取值范围，也就是y的可能值。
对于幂函数y = ax^n，当n为正整数时，幂函数的像由常数a和x的取值范围决定。
如果a>0，则幂函数的像范围为(0, +∞)，即正实数集。
如果a<0且n为奇数，则幂函数的像范围为(-∞, 0)，即负实数集。
如果a<0且n为偶数，则幂函数的像范围为[0, +∞)，即非负实数集。
当n为负整数时，需要对幂函数的像进行特殊处理。
当a>0时，幂函数的像范围为(0, +∞)；当a<0时，幂函数的像范围为[0, +∞)。
二、指数函数的像指数函数的一般形式可以表示为y = a^x，其中a为常数，x为自变量。
指数函数的像指的是函数y的取值范围，也就是y的可能值。
对于指数函数y = a^x，当a>0且a≠1时，指数函数的像范围为(0,+∞)，即正实数集。
当0<a<1时，指数函数的像范围为(0, 1)，即开区间(0, 1)内的正实数集。
当a<0或a=1时，指数函数的像范围为[1, +∞)，即非负实数集。
需要注意的是，指数函数的自变量x可以取任意实数值，因此指数函数的像可以覆盖整个实数集。
但实际问题中，通常只关注自变量x的特定取值范围下的指数函数的像。
三、幂函数与指数函数的比较幂函数和指数函数都是数学中常见的函数类型，它们的像有一些共同的特点。
比如，幂函数和指数函数的像都不包括负数。
幂函数在自变量的取值范围内可以取到0，而指数函数的像总是大于0。
此外，幂函数和指数函数的像的大小也存在差异。
对于幂函数y =ax^n，当a>1且n为正整数时，幂函数的像随着自变量x的增大而增大；当0<a<1且n为正整数时，幂函数的像随着自变量x的增大而减小。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数幂函数与指数函数是高中数学中的重要内容，通过学习这两类函数，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将对幂函数与指数函数的概念、性质和应用进行详细讨论，以帮助读者全面掌握这两类函数的特点和用法。
一、幂函数的概念与性质幂函数是以变量的指数为独立变量的函数，通常表示为f(x) = x^a，其中a为实数常数。
幂函数的图像形状与a的正负及大小有关。
当a>0时，随着x增大，函数值也增大，呈现上升趋势；当a<0时，随着x增大，函数值反而减小，呈现下降趋势；当a=0时，函数值始终为常数1。
幂函数的性质主要包括：1. 定义域：幂函数的定义域为所有实数。
2. 值域：当a>0时，值域为正实数集合；当a<0时，值域为正实数集合的倒数集合；当a=0时，值域为{1}。
3. 奇偶性：当a为偶数时，幂函数是关于y轴对称的偶函数；当a为奇数时，幂函数是关于原点对称的奇函数。
4. 单调性：当a>0时，幂函数是递增函数；当a<0时，幂函数是递减函数。
5. 渐近线：当a>0时，幂函数的图像在y轴上有一个水平渐近线y=0；当a<0时，幂函数的图像在y轴上有一个水平渐近线y=0，且在x轴右侧有一条斜渐近线y=0。
二、指数函数的概念与性质指数函数是以变量的指数为独立变量的函数，通常表示为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像形状与底数a的大小有关。
当0<a<1时，随着x增大，函数值逐渐减小；当a>1时，随着x增大，函数值逐渐增大。
指数函数的性质主要包括：1. 定义域：指数函数的定义域为所有实数。
2. 值域：当0<a<1时，值域为正实数集合的倒数集合；当a>1时，值域为正实数集合。
3. 奇偶性：指数函数都是奇函数，即关于原点对称。
4. 单调性：当0<a<1时，指数函数是递减函数；当a>1时，指数函数是递增函数。
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在数学和科学研究中有着重要的应用。
本文将探讨幂函数和指数函数的性质，包括定义、图像、增减性、奇偶性以及反函数等方面。
1. 幂函数的性质幂函数的一般形式为f(x) = x^n，其中n为正整数，是幂函数的指数。
幂函数的定义域为实数集，由于x^n中的n是正整数，所以幂函数的值域可以是正数、负数或零。
1.1. 幂函数的图像根据幂函数的指数n的奇偶性，幂函数的图像有不同的特点。
当n为偶数时，幂函数的图像相对于y轴对称，关于原点对称；而当n为奇数时，幂函数的图像关于原点对称。
1.2. 幂函数的增减性幂函数的增减性与指数n的值相关。
当指数n为正数时，幂函数在定义域上递增；当指数n为负数时，幂函数在定义域上递减。
值得注意的是，当指数n为偶数时，幂函数的绝对值增长速度比n为奇数时慢。
1.3. 幂函数的奇偶性当幂函数的指数n为偶数时，幂函数是偶函数；当指数n为奇数时，幂函数是奇函数。
这意味着幂函数的图像关于y轴对称或者关于原点对称。
1.4. 幂函数的反函数由于幂函数的定义域为实数集，而幂函数的指数并不一定能覆盖所有实数，所以幂函数的反函数并不一定存在。
当幂函数的指数n为倒数时，幂函数的反函数存在。
2. 指数函数的性质指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数，称为底数。
指数函数的定义域为实数集，底数a大于0且不等于1。
2.1. 指数函数的图像指数函数的图像与底数a有关。
当底数a大于1时，指数函数在整个定义域上递增；当底数a介于0和1之间时，指数函数在整个定义域上递减。
指数函数的图像经过点(0, 1)，即当x等于0时，指数函数的值为1。
2.2. 指数函数的增减性指数函数的增减性取决于底数a的值。
当底数a大于1时，指数函数在整个定义域上递增；当底数a介于0和1之间时，指数函数在整个定义域上递减。
2.3. 指数函数的奇偶性指数函数一般情况下不具有奇偶性，即指数函数的图像不关于y轴对称也不关于原点对称。
指数函数,对数函数与幂函数
指数函数,对数函数与幂函数
1.指数函数：指数函数的形式为f(x)=a^x，其中a为一个正实数，x为自变量，f(x)为因变量。
指数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
指数函数的特点是在x轴上的一个点处，曲线的斜率等于函数值。
指数函数在数学、科学、经济等领域中有着广泛的应用。
2. 对数函数：对数函数的形式为f(x)=loga(x)，其中a为一个正实数且不等于1，x为自变量，f(x)为因变量。
对数函数是指数函数的反函数，也就是说f(x)表示a的x次方等于某个数时，x的值。
对数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
对数函数在数学、物理、计算机等领域中有着广泛的应用。
3. 幂函数：幂函数的形式为f(x)=x^a，其中a为一个实数，x 为自变量，f(x)为因变量。
幂函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。
幂函数在数学、物理、经济等领域中有着广泛的应用，如面积、体积、电阻、功率等的计算。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的重要函数类型，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
熟练掌握这些函数的性质和应用，对于学习数学、物理、计算机等学科都有着重要的意义。
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幂函数与指数函数的性质
描述电容随电压变化的公式：C=εrε0S/d，其中εr是相对介电常数，ε0是真空介电常数，S是电极面积，d是电极间距，该公式是幂函数形式。
风险评估：指数函数用于评估投资组合的风险
复利计算：指数函数用于计算投资收益的累积效应
资产评估：指数函数用于评估投资组合的价值
保险精算：指数函数用于计算保险费和赔偿金
03
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幂函数的图像：在第一象限内，随着n的增大，图像越来越靠近y轴；随着^x (a > 0, a ≠ 1)
指数函数具有连续性、可导性和可积性等性质
当 a > 1 时，函数是增函数；当 0 < a < 1 时，函数是减函数
其中，a 是底数，x 是自变量，y 是因变量
函数图像：幂函数的图像在第一象限内单调递增，而指数函数的图像在第一象限内单调递减
导数：幂函数的导数可以表示为幂函数的形式，而指数函数的导数可以表示为指数函数的形式
幂函数在物理学中的应用，例如弹簧的振动和波动
指数函数在金融领域的应用，例如复利计算和股票价格预测
幂函数在生物学中的应用，例如人口增长模型和生物种群数量的预测
03
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当a<0时，幂函数y=x^a不具有周期性。
指数函数的性质
定义域：全体实数
值域：正实数集
图像特征：在第一象限内单调递增，在第四象限内单调递减
与坐标轴的交点：当x=0时，y=1
当底数大于1时，指数函数在实数范围内是增函数
当底数在(0,1)之间时，指数函数在实数范围内是减函数
奇函数：当指数为奇数时，指数函数是奇函数
指数函数在计算机科学中的应用，例如加密算法和数据压缩技术
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幂函数的性质
幂函数与指数函数的基本性质
幂函数与指数函数的基本性质幂函数和指数函数是数学中常见的两种函数形式，它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将讨论幂函数和指数函数的基本性质，包括定义、图像、变化趋势等方面。
一、幂函数的基本性质幂函数的定义是f(x) = ax^b，其中a和b是常数，a ≠ 0。
在幂函数中，底数x为自变量，指数b为常数。
幂函数可以分为三种情况讨论。
1. 当a > 0，b > 0时，幂函数是递增函数。
这意味着随着自变量x增大，函数值f(x)也随之增大。
2. 当a < 0，b > 0且b为正数时，幂函数是递减函数。
与递增函数相反，随着自变量x增大，函数值f(x)会随之减小。
3. 当b < 0时，幂函数是奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，即在(x, y)处的函数值与(-x, -y)处的函数值相等。
根据这些性质，我们可以画出幂函数的图像来直观地理解幂函数的变化趋势。
当b > 1时，幂函数的图像会趋于变陡，增长速度加快；当0 < b < 1时，幂函数的图像会趋于平缓，增长速度减慢。
二、指数函数的基本性质指数函数的定义是f(x) = a^x，其中a是常数，a > 0且a ≠ 1。
指数函数中底数a为常数，自变量x为指数。
指数函数也可以分为三种情况讨论。
1. 当a > 1时，指数函数是递增函数。
与幂函数类似，随着自变量x 的增加，函数值f(x)也会增加。
2. 当0 < a < 1时，指数函数是递减函数。
这意味着随着自变量x的增加，函数值f(x)会减小。
3. 当a < 0时，指数函数不符合常规定义，因此我们不讨论a < 0的情况。
指数函数也具有类似于幂函数的图像特点。
当a > 1时，指数函数的图像会逐渐变陡，增长速度加快；当0 < a < 1时，指数函数的图像会逐渐变平缓，增长速度减慢。
三、幂函数与指数函数的比较幂函数和指数函数在变化趋势上有一些共同点，但也存在一些不同之处。
幂函数与指数函数的性质
幂函数与指数函数的性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和科学领域中具有重要的应用和性质。
本文将介绍幂函数和指数函数的定义、图像特征和性质，并探讨它们之间的关系。
一、幂函数的定义和图像特征幂函数是以底数为自变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是常数，x是实数。
幂函数的特征在于底数是自变量，指数是常数。
当a>0且a≠1时，幂函数f(x) = a^x的图像可以分为以下情况：1. 当a>1时，函数图像是上升的，且随着x的增大，函数值也增大；反之，当0<a<1时，函数图像是下降的，且随着x的增大，函数值减小。
2. 当x为整数时，幂函数的函数值等于底数的指数次幂，即f(x) =a^x。
3. 当x是负数时，幂函数的函数值可以表示为倒数的指数次幂，即f(x) = 1/(a^|x|)。
4. 当x为0时，幂函数的函数值始终为1，即f(0) = 1。
二、指数函数的定义和图像特征指数函数是以底数为自变量的函数，形式为f(x) = a^x，其中a是常数，x是实数。
指数函数的特征在于指数是自变量，底数是常数。
当a>0且a≠1时，指数函数f(x) = a^x的图像可以分为以下情况：1. 当a>1时，函数图像是上升的，且随着x的增大，函数值也增大；反之，当0<a<1时，函数图像是下降的，且随着x的增大，函数值减小。
2. 当x为整数时，指数函数的函数值等于底数的指数次幂，即f(x)= a^x。
3. 当x是负数时，指数函数的函数值可以表示为倒数的指数次幂，即f(x) = 1/(a^|x|)。
4. 当x为0时，指数函数的函数值始终为1，即f(0) = 1。
三、幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数之间存在一定的关系。
可以将指数函数f(x) = a^x 看作是幂函数f(x) = x^a的一种特殊情况。
当底数a为常数时，指数函数是幂函数的特殊形式。
幂函数和指数函数在实际应用中都有广泛的运用。
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幂函数与指数函数的区别1、指数函数:自变量x在指数的位置上,y=a^x(a>0,a不等于1)性质比较单一,当a>1时,函数就是递增函数,且y>0;当0<a<1时,函数就是递减函数,且y>0、2、幂函数:自变量x在底数的位置上,y=x^a(a不等于1)、a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质就是不一样的。
高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。
其中当a=2时,函数就是过原点的二次函数。
其她a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。
3、y=8^(-0、7)就是一个具体数值,并不就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就是可以的。
首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=8),当x=-0、7时,y的值;或者将其瞧成:幂函数y=x^(-0、7)(a=-0、7),当x=8时,y的值。
幂函数的性质:根据图象,幂函数性质归纳如下:(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点 (1,1);(2)当a>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+ ∞)上就是增函数.特别地,当a>1时,幂函数的图象下凸;当0<a<1时,幂函数的图象上凸;(3)当a<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上就是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。
指出:此时y＝x0＝1;定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),特别强调,当x为任何非零实数时,函数的值均为1,图像就是从点(0,1)出发,平行于x轴的两条射线,但点(0,1)要除外。
思考讨论:(1)在幂函数y＝xa中,当a就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质？(2)在幂函数y＝xa中,当a就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质？讲评:(1)在幂函数y＝xa中,当a就是正偶数时,函数都就是偶函数,在第一象限内就是增函数。
对数函数的性质(1)当a＞1时,①x ＞0,即0与负数无对数;②当x=1时,y=0;③当x ＞1时,y＞0;当0＜ x ＜1时,y ＜0;④在(0,+∞)上就是增函数.(2)当0＜a＜1时,①x ＞0,即0与负数没有对数;②当x=1时,y=0;③当x ＞1时,y ＜ 0;当0＜ x ＜1时,y ＞0;④在(0,+∞)上就是减函数.函数叫做幂函数,其中x就是自变量,a就是常数(这里我们只讨论a就是有理数n的情况).对数与对数函数学习目标1、理解对数概念;2、能进行对数式与指数式的互化;3、掌握对数的运算性质;4、培养应用意识、化归意识。
5、掌握对数函数的概念;6、掌握对数函数的图像的性质;7、掌握比较对数大小的方法,培养应用意识;8、培养图形结合、化归等思想。
知识要点:我们在学习过程遇到2x=4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算。
1.对数的定义:如果ab=N(a>0,且a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b。
其中a叫做对数的底数,N叫做真数。
注意:由于a>0,故N>0,即N为正数,可见零与负数没有对数。
上面的问题:通常将以10为底的对数叫做常用对数,。
以e为底的对数叫做自然对数,。
2.对数式与指数式的关系由定义可知:对数就就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化。
它们的关系可由下图表示。
由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。
3.三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化,因此指数的恒等转化为对数恒等式。
在(a>0,a≠1)前提下有:4、三个运算法则:指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。
在a>0,a≠1的前提下有:(1)令am=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN,∵,∴m+n=loga(MN),即(2) ,令am=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN,∵,∴,即。
(3) ,令am=M,则有m=logaM,∴mn=n∵Mn=amn,∴mn=(n∈R),∴n = 。
5.两个换底公式同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0,a≠1,M>0的前提下有:(1)令logaM=b,则有ab=M,(ab)n=Mn,即,即,即:。
(2) ,令logaM=b,则有ab=M,则有即,即,即当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。
而且由(2)还可以得到一个重要的结论:例题选讲:第一阶梯[例1]将下列对数式化为指数式,指数式化为对数式:(1)log216=4; (3)54=625;解:(1)24=16(3)∵54=625,∴log5625=4、[例2]解下列各式中的x:(3)2x=3;(4)log3(x-1)=log9(x+5)、解:(3)x=log23、(4)将方程变形为[例3]求下列函数的定义域:思路分析:求定义域即求使解析式有意义的x的范围,真数大于0、底大于0且不等于1就是对数运算有意义的前提条件。
解:(1)令x2-4x-5>0,得(x-5)(x+1)>0,故定义域为{x|x<-1,或x>5}∴0<4x-3≤1。
所以所求定义域为{x|-1<0,或0<X<2}、< SPAN>第二阶梯[例4]比较下列各组数中两个值的大小(1)log23、4, log28、5;(2)log0、31、8, log0、32、7;(3)loga5、1, loga5、9(a>0,a≠1)。
思路分析:题中各组数可分别瞧作对数函数y=log2x、y=log0、3x、y=logax的两函数值,可由对数函数的单调性确定。
解:(1)因为底数2>1,所以对数函数y=log2x在(0,+∞)上就是增函数,于就是log23、4<LOG28、5;(2)因为底数为0、3,又0<0、3<1,所以对数函数y=log0、3x在(0,+∞)上就是减函数,于就是log0、31、8>log0、32、7;(3)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上就是增函数,所以loga5、1<LOGa5、9;当0<Aax在(0,+∞)上就是减函数,所以loga5、1>loga5、9。
说明:本题就是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题,对底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小,利用函数单调性比较对数的大小,就是重要的基本方法。
[例5]若a>0,a≠1,x＞0,y＞0,x＞y,下列式子中正确的个数就是( )(1)logax·logay=loga(x+y);(2)logax-logay=loga(x-y);(4)logaxy=logax·logay;A、0B、1C、2D、3思路分析:对数的运算实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。
在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。
如logax≠loga·x,logax就是不可分开的一个整体。
4个选项都把对数符号当作字母参与运算,因此都就是错误的。
答案:A[例6]已知lg2=0、3010,lg3=0、4771,求。
思路分析:解本题的关键就是设法将的常用对数分解为2,3的常用对数代入计算。
解:第三阶梯[例7]若方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1,求a的取值范围。
思路分析:由对数的性质,方程可变形为关于lgx的一元二次方程,化归为一元二次方程解的讨论问题。
解:原方程化为(lgx+lga)(lga+2lgx)=4。
2lg2x+3lga·lgx+lg2a-4=0,令t=lgx,则原方程等价于2t2+3tlga+lg2a-4=0,(*)若原方程的所有解都大于1,则方程(*)的所有解均大于0,则说明:换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。
[例8]将y=2x的图像( )A、先向左平行移动1个单位B、先向右平行移动1个单位C、先向上平行移动1个单位D、先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图像,可得函数y=log2(x+1)的图像。
思路分析:由于第二步的变换结果就是已知的,故本题可逆向分析。
解法1:在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像,直接观察,即可得D。
解法2:与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线就是它的反函数y=2x-1的图像,为了得到它,只需将y=2x的图像向下平移1个单位。
解法3:本身。
函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0,0)点,因此排除A、B、C,即得D。
说明:本题从多角度分析问题、解决问题,注意培养思维的灵活性。
[例9]已知log189=a,18b=5,求log3645的值;(用含有a、b的式子表示)思路分析:当指数的取值范围扩展到有理数后,对数运算就就是指数运算的逆运算(扩展之前开方运算就是乘方运算的逆运算)。
因此,当一个题目中同时出现指数式与对数式时,一般要把问题转化,即统一到一种表达形式上。
解:由18b=5,得b=log185,又log189=a,∴log189+log185=log3645=a+b,则说明:在解题过程中,根据问题的需要指数式转化为对数式,或者对数式转化为指数式运算,这正就是数学转化思想的具体体现,转化思想就是中学重要的教学思想,要注意学习、体会,逐步达到灵活应用。
详细题解1.求值:(1) (2) (3)解:(1) 。
(2)(3)注意:lg2=log102,此为常用对数,lg22=(lg2)2,区别于。
2.求值:(1) (2) (3)解:(1)(2) 。
(3) 法一:法二:注意:运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可。
(3) 的第二种方法直接运用的第一个换底公式,很方便。
3.已知:log23=a,log37=b,求:log4256=?解:∵,∴,4.已知:a2+b2=7ab,a>0,b>0。
求证:。
证明:∵a2+b2=7ab,∴ a2+2ab+b2=9ab,即(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)2=lg(9ab),∵a>0,b>0,∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb,∴ 2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即5、已知:求证:3ab-bc-2ac=0。
证明:设,则:,,∵,∴ 3ab=bc+2ac,即 3ab-bc-2ac=0。