幂函数与指数函数的区别

幂函数与指数函数的区别

1、指数函数:自变量x在指数的位置上,y=a^x(a>0,a不等于1)

性质比较单一,当a>1时,函数就是递增函数,且y>0;

当00、

2、幂函数:自变量x在底数的位置上,y=x^a(a不等于1)、

a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质就是不一样的。

高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时,函数就是过原点的二次函数。其她a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。

3、y=8^(-0、7)就是一个具体数值,并不就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就是可以的。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=8),当x=-0、7时,y的值;或者将其瞧成:幂函数y=x^(-0、7)(a=-0、7),当x=8时,y的值。

幂函数的性质:

根据图象,幂函数性质归纳如下:

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点 (1,1);

(2)当a>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+ ∞)上就是增函数.

特别地,当a>1时,幂函数的图象下凸;当0

(3)当a<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上就是减函数.在第一象限内,

当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋

于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。

指出:此时y＝x0＝1;定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),特别强调,

当x为任何非零实数时,函数的值均为1,图像就是从点(0,1)出发,平行于x轴的两条射线,但点(0,1)要除外。

思考讨论:

(1)在幂函数y＝xa中,当a就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质？

(2)在幂函数y＝xa中,当a就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质？

讲评:(1)在幂函数y＝xa中,当a就是正偶数时,函数都就是偶函数,在第一象限内就是增函数。

对数函数的性质

(1)当a＞1时,

①x ＞0,即0与负数无对数;

②当x=1时,y=0;

③当x ＞1时,y＞0;当0＜ x ＜1时,y ＜0;

④在(0,+∞)上就是增函数.

(2)当0＜a＜1时,

①x ＞0,即0与负数没有对数;

②当x=1时,y=0;

③当x ＞1时,y ＜ 0;当0＜ x ＜1时,y ＞0;

④在(0,+∞)上就是减函数.

函数叫做幂函数,其中x就是自变量,a就是常数(这里我们只讨论a就是有理数n的情况).

对数与对数函数

学习目标

1、理解对数概念;

2、能进行对数式与指数式的互化;

3、掌握对数的运算性质;

4、培养应用意识、化归意识。

5、掌握对数函数的概念;

6、掌握对数函数的图像的性质;

7、掌握比较对数大小的方法,培养应用意识;

8、培养图形结合、化归等思想。

知识要点:

我们在学习过程遇到2x=4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现

2x=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算。

1.对数的定义:

如果ab=N(a>0,且a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

注意:由于a>0,故N>0,即N为正数,可见零与负数没有对数。

上面的问题:

通常将以10为底的对数叫做常用对数,。以e为底的对数叫做自然对数,。

2.对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。

由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。

3.三个对数恒等式

由于对数式与指数式可以互化,因此指数的恒等转化为对数恒等式。在(a>0,a≠1)前提下有:

4、三个运算法则:

指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a>0,a≠1的前提下有:

(1)

令am=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN,

∵,∴m+n=loga(MN),即

(2) ,

令am=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN,

∵,∴,即。

(3) ,令am=M,则有m=logaM,∴

mn=n

∵Mn=amn,∴mn=(n∈R),∴n = 。

5.两个换底公式

同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0,a≠1,M>0的前提下有:

(1)

令logaM=b,则有ab=M,(ab)n=Mn,即,即,

即:。

(2) ,令logaM=b,则有ab=M,则有

即,即,即

当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结

论:

例题选讲:

第一阶梯

[例1]将下列对数式化为指数式,指数式化为对数式:

(1)log216=4; (3)54=625;

解:

(1)24=16

(3)∵54=625,∴log5625=4、

[例2]解下列各式中的x:

(3)2x=3;

(4)log3(x-1)=log9(x+5)、解:

(3)x=log23、

(4)将方程变形为

[例3]求下列函数的定义域: