概率论第七章

L
2
n
z
/2
最短。
例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼
儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假设标准差
0 7，置信度为95%; 试求总体均值μ的置信区间 解 已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得：
第三节 区间估计
第七章
一 、置信区间
二 、正态总体均值与方差的区间估计
三 、两个正态总体均值与方差 的区间估计
引言
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算 得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似 值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷 .
x 1 (115 120 110) 115 9
查正态分布表得z0.025 1.96 ，由此得置信区间
[X
0
n
z0.025 ]
110.43
, 119.57
例2 设总体X ~ N (, 1.252 )，问需要抽取容量为多
大的样本,才能使 的置信水平为0.95 的置信区间
的长度不大于 0.49 ?
⑵ 方差 2未知，估计均值μ
因为 S 2是 2 的无偏估计。
可用样本方差：S 2
1 n
1
n i 1
(Xi
X
)2
而选取样本函数 t X ~ t(n 1)
S/ n
对于给定的1, 查 t 分布表，得临界值 1 , 2
使 P{ 1 t 2 } 1 我们取对称区间
即P{t / 2
n
z /2 ] 简记为 [ X
n
z / 2 ]
例 若取 0.05 ,1 0.95 , 1, n 16
查表得 z /2 z0.025 1.96 ，若由一个样本
值算得样本均值的观察值 x 5.20 则得到一个置信度为0.95的μ的置信区间 (5.20 0.49) (4.71, 5.69)
湖中鱼数的真值
[• ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 ， 称为置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作 1 ，这里 是一个
很小的正数.
一、 置信区间定义
设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本
X1,X2,…Xn确定的两个统计量
满足
θ θ(X1, X2, , Xn) θ θ(X1, X2, , Xn)
可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度.
例如 若 5%，即置信度为1 95%.这时重复 抽样 100次, 则在得到的100个区间中包含 真值 的有95个左右, 不包含 真值的有5个左右。 通常, 采用95%的置信度, 有时也取99% 或 90%. 具体的计算方法
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们 根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估 计为1000条.
实际上，N的真值可能大于1000条，也可 能小于1000条.
若我们能给出一个区间，在此区间内我们 合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的 估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
⑴ 由样本 X1, X 2, , X n 寻找一个样本函数
g( X1, X 2, , X n; )，其中只含有一个未知参数θ
⑵ 对于给定的置信水平 1 ，找 a , b 使得
⑵ 对于给定的置信水平 1 ，找 a , b 使得 P{a g( X1, X 2, , X n; ) b} 1
⑶ 由 a g( X1, X 2, , X n; ) b 解出等价的 不等式 ( X1, , X n ) ( X1, , X n ) [ ( X1, , X n ), ( X1, , X n )] 是θ的置信度为 1 的置信区间。
(θ θ)
一旦有了样本，就把 估计在区间 ( θ,θ ) 内 .
这里有两个要求:
1. 要求 以很大的可能被包含在区间( θ,θ )
内，就是说，概率 P{θ θ θ} 要尽可能大 . 即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 θ θ 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
二 、正态总体均值与方差的区间估计
设 X1, , X n为总体X ~ N (, 2 ) 的一个样本
置信度1 下，来确定 的置信区间[ , ]
⑴ 已知方差 2，估计均值μ
设已知方差
2
02，且 X
1 n
n i 1
Xi 是
的
一个无偏点估计，
又 X ~ N (0 , 1) 0 / n
对于给定的置信度 1 , 查正态分布表，找出 临界值 1 , 2 使得：P{ 1 2 } 1
注： μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。
上例中同样给定 0.05 ,可以取标准正态分
布上α分位点-Z0.04和Z0.01，则也有
0.04
P{X
n
z0.01
X
n
z0.04} 0.95
z0.04
则μ的置信度为0.95的置信区间为
[X
n
z0.01
,
X
n
z0.04 ]
0.01
z0.01
但对称时的区间长度
P{θ θ θ} 1 α
(θ θ)
则称区间 ( θ,θ ) 是 的置信水平（置信度 )为1
的置信区间. θ 和θ 分别称为置信下限和置信上限.
可见，
对参数 作区间估计，就是要设法找出两个
只依赖于样本的界限(构造统计量).
θ θ(X1, X2, , Xn) θ θ(X1, X2, , Xn)
解 设需要抽取容量为n 的样本, 其样本均值为 X ,
1 0.95 0.05, 查表得 z 2 1.96, 于是μ的置
1.25
信水平为0.95的置信区间为 X
n
z0.025
该区间长度 L 2 1.25 1.96 4.9 0.49
nபைடு நூலகம்
n
解得 n 100 取 n 100
由此可找出无穷多组 1, 2 通常我们取对称 区间[ , ] 使：
P{ X } 1 0 / n
由上 分位点的定义
对于给定的 (0 1) 有
P{z / 2
X / n
z /2} 1
可得
P{X
n
z / 2
X
n
z
/2}
1
所以μ的置信水平为1-α的置信区间为
[X
n
z / 2 , X