高中的数学基本初等函数

§1.3基本初等函数

1.3.1指数函数

指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当

n 是奇数时，a 的n

次方根用符号

表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根

用符号

表示，负的n

次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n

次方根．

②式子

叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为

任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．

③根式的性质：n

a =；当n

为奇数时，

a =；当n 为偶数时，

(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩

．

（2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m

n

a a m n N +=>∈且1)n >．0

的正分数指数幂等于0．

②

正

数

的

负

分

数

指数幂的意义是

：

1()0,,,m m n

n a

a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

（3）分数指数幂的运算性质

①

(0,,)

r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②

()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈

③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈

指数函数及其性质

（4）指数函数

1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）

;

)

(

65

3

1

2

1

2

1

1

3

2

b

a

b

a

b

a

⋅

⋅

⋅

⋅-

-

解：（1）原式=

.

1006

531216

121316

5613

1212131

=⋅=⋅=⋅-+-+--

b a b

a

b

a b

a b a

2：已知实数a 、b 满足等式b a )

31()21(=，下列五个关系式：

①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜

a ＜b;④

b ＜a ＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ） A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

解：B

3：求下列函数的单调递增区间：(2)y=26

2--x x .

解：

（2）令u=x 2-x-6,则y=2

u , ∵二次函数u=x 2-x-6的对称轴是x=2

1

, 在区间［2

1，+∞）上u=x 2-x-6是增函数. 又函数y=2u 为增函数， ∴函数y=2

6

2--x x 在区间［2

1，+∞）上是增函数.

故函数y=26

2--x x 的单调递增区间是［2

1，+∞）

1.3.2对数函数

对数与对数运算

（1）对数的定义

①若(0,1)x

a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其

中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x

a x N a N a a N =⇔=>≠>．

（2）几个重要的对数恒等式

log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．

（4）对数的运算性质

如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a

M

M N N

-= ③数乘：log log ()n

a a n M M n R =∈

④log a N

a

N =

⑤log log (0,)b n

a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N

N b b a

=

>≠且

对数函数及其性质（5）对数函数

过定

点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．

奇偶

性 非奇非偶

单调

性 在(0,)+∞上是增函数

在(0,)+∞上是减函数

函数值的 变化情况

log 0(1)log 0(1)log 0(01)

a a a x x x x x x >>==<<<

log 0(1)log 0(1)log 0(01)

a a a x x x x x x <>==><<

a 变

化

对

图象的 影响

在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．

例1 计算：（1）)32(log 32-+

（3）21lg 4932-3

4

lg 8+lg 245

. 解：（1） 利用对数定义求值

设)32(log 32-+=x,则(2+3)x =2-3=321+=（2+3）

-1,∴x=-1.

（3）原式=2

1

（lg32-lg49）-3

4lg82

1+2

1

lg245