第10章 数据处理

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§ 10-2 单随机变量的数据处理
随机误差正态分布特 征：
1 y e 2 ( x i x )2 2 2
式中 y为测量误差 ( xi x ) 的概率密度。
3 2

x
2 3
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
在某一区间内将y积分可得计 算误差落在此区间内的测量值 出现的概率： 误差区间 -σ~ +σ -2σ~ +2σ -3σ~ +3σ 概率(%) 68％； 95％； 99.7％。
x1 x2 xn e1 e2 en x x0 n n
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
2．标准误差
2 x x i i 1 n

σ标准误差(样本均方差、
标准离差、标准差)
n1
标准误差σ反映了测量值在算术平均值附近的分散和 偏离程度。
(2) 剔除可疑值：第8个数据18.3疑为可疑数据，
d10 18.30 15.60 2.29 1.99 1.16 d
故18.3应当剔除。
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
(3) 再计算其余9个值的算术平均值和标准误差：
c 15.3MPa
σ 0.786MPa
解方程得
( x x )( y y ) b ( x x)
i i 2 i
a y bx
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§ 10-3 多变量数据的处理
——经验公式的建立
求出a和b之后．还必须检验两个变量间相关的密切程 度，只有二者相关密切时，直线方程才有意义。
现在进一步分析残差平方和Q：
Q yi a bxi yi y bx bxi
在余下的9个数据中再检查可疑数据，取与平均值偏差最 大的第7个数据16.8,
d d 16.8 15.3 1.908 10 1.92 0.786

这个数据是合理的。
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
(4) 处理结果用算术平均值和极限误差表示为
c c 3 15.3 3 0.786
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
[例2] 岩石抗压强度均值15.3MPa, 标准差为0.786MPa
k 1
k 2
c c 14.5 (MPa)
c c 2 13.7 (MPa)
大于该值保证率50% 大于该值保证率95%
大于该值保证率99.7%
k 3
3. 粗大误差
又称过失误差，它是由于设计错误或接线错误、或操 作者粗心大意看错、读错、记错等原因造成的误差。
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§ 10-1 测量误差
二、精密度、准确度和精度
精密度表征在相同条件下多次重复测量中测量结果的互相 接近，互相密集的程度，它反映随机误差的大小。准确度表 征测量结果与 被测量真值的 接近程度，它 反映系统误差 的大小。而精 度则反映测量 的总误差。
c c 3 12.9 (MPa)
[例3] 含水量平均值为40%, 标准差为5%
k 1 k 2 k 3 w w 45% w w 2 50% w w 3 55%
大于该值保证率50%
大于该值保证率95%
大于该值保证率99.7%
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§ 10-3 多变量数据的处理
F＞ F0.01(1,n-2) ，回归高度显著(在0.01水平上显著)；
F0.05(1,n-2)~ F0.01(1,n-2) ，回归显著(在0.05水平上显著)； F0.10(1,n-2)~ F0.05(1,n-2) ，回归在0.1水平上显著； F＜ F0.1(1,n-2)，回归不显著—y对x的线性关系不密切。
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§ 10-2 单随机变量的数据ห้องสมุดไป่ตู้理
如果测量了300次以上，就有可能遇到超出±3σ的误 差，因此，有的大的误差仍属于随机误差，不应该舍去。 由此可见，对数据保留的合理误差范围是同测量次数n有 关的。下表为一种试验值舍弃标准，超过的可以舍去，其 中n为测量次数，di是合理的误差限，σ是根据测量数据算 得的标准误差。
有较大的差异。
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§ 10-3 多变量数据的处理
——经验公式的建立
(3) 解析法。也称方程表示法和计算法，是通过对试验数 据的计算，求出表示各变量间关系的经验公式。其优点 是结果的统一性克服了图解法存在的主观因素的影响。
最简单的情况是对于两个或多个存在着统计相关的
随机变量，根据大量有关的测量数据来确定它们之间的 回归方程(经验公式)。这种数学处理过程也称为拟合过
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
一、误差估计
' x Q
测量误差 测量值
真值
' x Q
绝对误差

'
Q
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相对误差
§ 10-2 单随机变量的数据处理
在实际测量中，测量误差是随机变量，因而测量值也 是随机变量。因真值无法测到，故用大量观测次数的平 均值近似地表示，并对误差的特性和范围作出估计。 1. 算术平均值 当未知量x0被测量n次，并被记录为x1,x2,…，xn个数， 那么，xr=x0+er,其中er是观测中的不确定度，或正或负。 n次测量的算术平均值为
2.00
2.58 3.00
95.0
99.0 99.7
22
3
2

x

2
3
§ 10-2 单随机变量的数据处理
在实用上，保证值是以偏于安全为原则来选 取最大值或最小值。如承载力等指标采用最小 值 x k ；含水量等指标采用最大值 x k 。 采用最小值时，保证值表示大于该值的数据出现 的概率等于所选取的保证率，采用最大值时，保 证值表示小于该值的数据出现的概率等于所选取 的保证率。
第十章
试验数据处理
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本章主要内容
• § 10-1 测量误差
• § 10-2 单随机变量的数据处理
• § 10-3 多变量数据的处理 • § 10-4 其它方法
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§ 10-1 测量误差
一、误差分类
测量值与真值之间的差叫做测量误差，它是由使用仪 器、测量方法、周围环境、人的技术熟练程度和人的感
官条件等的技术水平和客观条件的限制所引的。
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
四、处理结果的表示
1.实例 [例1] 同一岩体的10个岩石试件的抗压强度分别为:15.2, 14.6,16.1,15.4,15.5,14.9,16.8,18.3,14.6,15.0。 (1) 计算平均值和标准误差：
c 15.6MPa
σ 1.16MPa
15.3 2.36 (MPa)
根据误差的分布特征，该种岩石的抗压强度在12.94~ 17.66MPa的概率是99.7%，正常情况下的测试结果不 会超出该范围。
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
2. 保证极限法 K 0.00 保证率 0.0
0.67
1.00 1.645
50.0
68.0 90.0
在一般情况下，99.7％已 可认为代表多次测量的全体， 所以把±3σ叫作极限误差。
3 2
x
2 3
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
三、可疑数据的舍弃
在多次测量中，有时会遇到个别测值和其它多数测值 相差较大的情况，这些个别数据就是所谓的可疑数据。
对于可疑数据，可以利用正态分布来决定取舍。因为 在多次测量中，误差在-3σ~ +3σ之间时，其出现概率为 99.7％，也就是说，在此范围之外的误差出现的概率只有 0.3％，即测量300多次才可能遇上1次。若只进行10~20 次的有限测量，可以认为超出±3σ的误差已不属于随机误 差，应将其舍弃。
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
[使用方法] （1）计算测量数据的均值 x 和标准误差 。 （2）找出可疑值
x ，计算 di / xk x /
（3）将计算出的di/σ值与表中值相比，若大于表中值则应 当舍弃，舍弃后再对下一个可疑值进行检验，若小于表中 值，则可疑值是合理的。 注意：这种方法只适合误差只是由测试技术原因样本 代表性不足的数据的处理，对现场测试和探索性试验中出 现的可疑数据的舍弃，必须要有严格的科学依据，而不能 简单地用数学方法来舍弃。
3．变异系数Cv
Cv

x
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§ 10-2 单随机变量的数据处理
二、误差的分布规律
随机误差一般具有以下特征(正态分布)： （1）单峰值。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现 的次数多。 （2）对称性。绝对值相等的正误差与负误差出现的次 数相等。 （3）抵偿性。随着测量次数的增加，随机误差的平均 值趋于0。 （4）有界性。在怀定的测量条件下，随机误差的绝对 值不会超过一定界限。
——经验公式的建立
在试验研究中，不但要测量随机变量的平均值和分布 特性，更重要的是要研究一些变量之间的相互关系，以探 求物理量之间相互变化的内在规律。对于两个以上变化着 的物理量的试验数据处理，通常有如下三种方法： (1) 列表法。根据试验的预期目的和内容，合理地设计 数表的规格和形式，使其具有明确的名称和标题，能够对 重要的数据和计算结果突出表示，有清楚的分项栏目、必 要的说明和备注，试验数据易于填写等。该法简单易作， 数据易于参考比较，形式紧凑，同一表中可表示多个变量 的变化，但数据变化趋势不如图解法明了直观。
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式中 r——线性相关系数。
r＝±1，表示完全线性相关；r＝0表示线性不相关。 因而 r 表示两量的相关密切程度。注意: 只有当r的绝对值 大到一定程度时，才可用回归直线来近似地表示 x 与 y 的关系。此时称相关系数显著，即 x 与 y 关系密切。通 常也只有在此情况下，才能判定 x 与 y 存在线性关系。
程。回归方程的求解包括两个内容：
① 回归方程的数学形式的确定； ② 回归方程中所含参数的估计。
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§ 10-3 多变量数据的处理
——经验公式的建立
一、一元线性回归
设有一组试验数据：(x1,y1)．(x2,y2)，…，(xn,yn)，一 元线性回归分析的目的就是要找出一条直线方程，使它既 能反映各散点的总的规律，又能使其与各散点之间的差值 的平方和最小。 设欲求的直线方程为
1．随机误差 随机误差的发生是随机的，其数值变化规律符合一定 统计规律，通常为正态分布规律。因此，随机误差的度 量是用标准偏差。随机误差通常是由于环境条件的波动 以及观察者的精神状态等测量条件引起的。
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§ 10-1 测量误差
2. 系统误差 系统误差是在一组测量中，常保持同一数值和同一符 号的误差，因而系统误差有一定的大小和方向，它是由 于测量原理的方法本身的缺陷、测试系统的性能、外界 环境(如温度、湿度、压力等)的改变、个人习惯偏向等 因素所引起的误差。
2 2
或 Q yi y b 2 xi x
2 2
若Q＝0，则全部散点均落在直线上，则
2 2 2 y y b x x 0 i i
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§ 10-3 多变量数据的处理
——经验公式的建立
令
r2 b2 xi x
2 y y i
ˆ a bx y
则要求
ˆ yi a bxi Q yi y
2
2
min
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§ 10-3 多变量数据的处理
——经验公式的建立
根据极值定理，有
Q 0: a
Q 0: b
na b xi yi
a x i b x 2 x i yi i
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§ 10-3 多变量数据的处理
——经验公式的建立
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§ 10-3 多变量数据的处理
——经验公式的建立
通常，回归方程的显著性检验采用F检验法。
U F Q /( n 2) ˆ i y )2 U ( y
i 1 n
查F分布表(一元回归,ν1=1,ν2=n-2) 中三种不同显著 性水平α的数值，设记为Fα(1,n-2)，将这三个数与由上 式计算的F值进行比较:
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§ 10-3 多变量数据的处理
——经验公式的建立
(2) 图形表示法。在选定的坐标系中，根据试验数据画 出几何图形来表示试验结果，通常采用散点图。其优点 是：数据变化的趋向能够得到直观、形象的反映。缺点 是：超过三个变量就难于用图形来表示，绘图含有人为
的因素，同一原始数据因选择的坐标和比例尺的不同也