数学九年级上册 圆 几何综合专题练习(解析版)

数学九年级上册圆几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D ，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x，ACO

OBD

S

S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

【答案】（1）2；（2）

2825

x x x

-+

（0＜x＜8）;（3）AD=

14

5

或6．

【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.

(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.

(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.

【详解】

解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=

1

2

AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴22

AO AC

-，

∴OD=5，

∴CD=OD﹣OC=2；

（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，

则由（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x，

∴CH=|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴22

HO HC

+22

3|x4|

+-2825

x x

-+

∴CD=OD ﹣OC=5

过点DG ⊥AB 于G ，

∵OH ⊥AB ，

∴DG ∥OH ，

∴△OCH ∽△DCG ， ∴OH OC DG CD

=， ∴DG=OH CD OC ⋅

35， ∴S △ACO =12AC ×OH=12x ×3=32

x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣

x ）×（3

35）=32（8﹣

x ） ∴y=ACO OBD S S

=()323582x x -

（0＜x ＜8） （3）①当OB ∥AD 时，如图3，

过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ，

则OF=AE ，

∴S=

12AB•OH=12OB•AE ， AE=AB OH OB ⋅=245

=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，

AO=5，

∴75

∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，

∴AD=2AF=145． ②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，

则由①的方法可得DG=BM=245

， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO=22DO DG -=

75，AG=AO ﹣GO=185

， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°， ∴AD=22AG DG +=6

综上得AD=

145或6．

故答案为（1）2；（2）y=()

2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=145或6． 【点睛】

本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.

2．在直角坐标系中，A （0，4），B （4，0）．点C 从点B 出发沿BA 方向以每秒2个单位的速度向点A 匀速运动，同时点D 从点A 出发沿AO 方向以每秒1个单位的速度向点O 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C 、D 运动的时间是t 秒(t>0)．过点C 作CE ⊥BO 于点E ，连结CD 、DE ．

⑴ 当t 为何值时，线段CD 的长为4；

⑵ 当线段DE 与以点O 为圆心，半径为的⊙O 有两个公共交点时，求t 的取值范围； ⑶ 当t 为何值时，以C 为圆心、CB 为半径的⊙C 与⑵中的⊙O 相切？

【答案】(1)

; (2) 4-＜t≤; (3)或．

【解析】 试题分析：（1）过点C 作CF ⊥AD 于点F ，则CF ，DF 即可利用t 表示出来，在Rt △CFD 中利用勾股定理即可得到一个关于t 的方程，从而求得t 的值；

（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切

时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当

OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；

（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．

（1）过点C作CF⊥AD于点F，

在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，

∴∠ABO=30°，

由题意得：BC=2t，AD=t，

∵CE⊥BO，

∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，

∵CF⊥AD，AO⊥BO，

∴四边形CFOE是矩形，

∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，

在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，

∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，

解得：t=，t=4，

∵0＜t＜4，

∴当t=时，线段CD的长是4；

（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），

∵AD∥CE，AD=CE=t