工程力学 第九章_圆轴的扭转

R dA R dA 2πR
A 0 0 A
2
0
Mx
Mx Mx 2 2π R0 2 A0
目录
第二节
圆轴扭转强度设计
三类强度计算问题：
m ax
Mx [ ] WP
强度校核;
截面设计; 确定许用载荷;
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
m ax
y
( dydz )dx ( dxdz )dy


dy dz

在相互垂直的两个平面上，切应力 必成对出现，两切应力的数值相
x
dx
等，方向均垂直于该平面的交线，
且同时指向或背离其交线。
z
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不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是 成立的。 因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料
三类强度计算问题： 强度校核; 截面设计; 确定许用载荷; 三、扭转刚度条件
M xl [ ] GI P
或者
三类刚度计算问题： 刚度校核; 截面设计; 确定许用载荷; 在后两类问题中，通常用强度条件进行设计，用 刚度条件进行校核。也可用强度、刚度条件同时设计， 在算得的几何量中取大值，在载荷中取小值。
解得:
MA MB Me 3


0
MM e /3 A
MeB M /3
+
M Mee-2M /3 A
+ -
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小
一、横截面上的切应力 M
x
结
Mx Ip
实心轴 空心轴
max
Mx Wp
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二、扭转强度条件
m ax
Mx [ ] WP
Mx [ ] GI P
AC AB BC (1.12 103 7.47 104 )rad 3.73 104 rad
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第四节
扭转时圆轴的刚度设计
刚度条件 最大变形小于或等于许用值
扭转角

M xl [ ] GI P
单位长度扭转角
Mx [ ] GI P
目录
三、三类刚度计算问题 1.刚度校核， 2.截面设计， 3.确定许用载荷： 在后两类问题中，通常用强度条件进行设计，用 刚度条件进行校核。也可用强度、刚度条件同时设计， 在算得的几何量中取大值，在载荷中取小值。
Mx [ ] WP
m ax
Mx ( )max [ ] WP
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例9-1 一传动轴如图所示。设材料的许用切应力[ ] 50MPa，轴的 直径 d= 100 mm，转速 n = 300 r/min。试求该传动轴所能传 递的功率。 解：(1)作扭矩图。 (2)建立强度条件 m ax
Mx [ ] WP
传动轴所能承受的最大扭矩
M xmax [ ]Wp 50 1003 /16N mm
9.8 106 N mm 9.8kN m
(3)求传动轴所能传递的功率
P M e n / 9549 9800 300 / 9549kW 307.9kW
d 6.57 102 m 65.7mm
取 d 66mm
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例9-5 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。
解：1.列静力平衡方程
Me
A
MA MB 0
2.变形协调方程
Me
B
BA 0
L
L
L
3.代入物理方程，建立补充方程
MB
MA
Me
Me
M BL M A Me L M AL GI p GI p GI p
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例9-4 一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切削功率 P=8kW, 刀杆转速 n 60r/min ，材料的许用应力[ ] 60MPa ,
G 80MPa ，刀杆的 ,
确定刀杆的直径。
[ ] 0.5 / m，试根据强度条件和刚度条件
解: (1)确定刀杆的扭矩
P 8 M e 9 549 9 549 N m 1 273.2N m n 60
第九章 圆轴的扭转应力、变形分析 与强度、刚度设计
第一节 第二节 第三节 圆轴扭转时的切应力分析 圆轴扭转强度设计 圆轴扭转变形与相对扭转角
第四节
扭转时圆轴的刚度设计
本章重点
1.圆轴扭转强度计算
2.圆轴扭转刚度计算
第一节 圆轴扭转时的切应力分析
一、实验现象和平面假设 平面假设：变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为 形状、大小、互相之间的距离不变的平面。
M x M e 1 273.2N m
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(2)根据强度条件确定刀杆的直径
max
M x 1 273.2 103 MPa 60MPa 3 WP d 16
d 47.6mm
(3)根据刚度条件确定刀杆的直径
max
M x 180 1 273.2 180 m 0.5 m π 4 GI p π π 9 80 10 d 32
AB
M x1 l AB 120 0.3 rad 1.12 103 rad GI p 9 80 10 0.0454 32
BC
M x 2 lBC 80 0.3 rad 7.47 104 rad GI p 9 80 10 0.0454 32
d M x dx GI P
Mx Ip
目录
Mx
Mx Ip
max
令
Mx Mx R Ip Ip R
抗扭截面系数
max
Mx Mx I p R Wp
目录
三、 Ip 与 Wp 的计算
实心轴
目录
空心轴
令
则
目录
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
目录
四、薄壁圆筒切应力的计算 当 d D 0.9 时，空心圆轴可视为薄壁圆筒
目录
例9-2 已知离合器传递的功率P＝7.5kW, 转速n
=100r/min,轴的最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外 直径之比 = 0.5。二轴长度相同。求: 实心轴的直径d1和 空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。
P 解： M x M e 9550 716.2N m n
n
：相对扭转角
：抗扭刚度
当轴上有几个外力偶作用时，先画出扭矩图，分段计算各轴段 的变形，各段变形的代数和即为轴的总扭转角。 目录
讨论题
2 数值的大小。 试比较1、2两轴扭转角 1 、
620 N· m
1400 N· m
780 N· m
d2
780 N· m
620 N· m
2 1
目录
例题9-3 某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变模量
M e1 120N mm， G=80GPa，轴直径 d 45mm ， M e2 200N m ，
求AB、BC及AC间相对扭转角。 M e3 80N m 。 解： （1）内力分析 AB段 M x1 120N m BC段 M x 2 80N m
目录
（2）变形分析
由平面假设可推断，横截面上只有沿圆周切线方向的 切应力。
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二、横截面上的切应力 1.几何方面 取微段dx
d dx
2.物理方面
G
3.静力等效
d G dx
dA M
A
x
d d 2 G dA G IP M x dx A dx
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ 1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2 1 3
2
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第三节 圆轴扭转变形与相对扭转角

平衡吗？
一、 切应力互等定理 根据力偶平衡理论
的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等
定理总是成立的。 若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪 切状态。
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二、 圆轴的扭转变形
Mx
Mx d dx GI P
1 GI P
M dl ,百度文库
l x
M xl GI P
M xili i 1 GI Pi
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空心轴
max2
Mx 16M x 40MPa 3 4 WP 2 πD2 1


16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10


d2＝0.5D2=23 mm
实心轴
M x 16M x max1 40MPa 3 WP1 πd1
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