工 程 力 学 教 案-圆轴扭转

工程力学教案

【理、工科】

§4-1 扭转的概念和实例

工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点：

1. 受力特点：

在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶--扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。

2. 变形特点

横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩这一个内力分量则这种受力形式称为纯扭转。

§4-2 扭矩扭矩图

1.外力偶矩

如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。

如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义

角速度(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n(单位：转/分，r/min)的关系为。

因此功率N的单位用千瓦（KW）时有关系，即

(4-1a)

式中：-传递功率（千瓦，KW），-转速（r/min）

如果功率单位是马力(PS)，由于1KW =1000 N·m/s =1.36 PS，式（4-1a）成为

(4-1b)

式中：-传递功率（马力，PS）

-转速（r/min）

2. 扭矩

求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转内力--扭矩。如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A截面上扭矩T

，

称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。

【例4-4】传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为

。试画出轴的扭矩图。

【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩

从受力情况看出，轴在BC，CA，AD三段内的扭矩各不相等。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。

在BC段内，以表示截面I-I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。由平衡方程，有

得

负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图4-5e）。

同理，在CA段内，由图4-5c，得

在AD段内（图4-5d），

与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图4-5e其中最大扭矩发生于CA段内，且。

对上述传动轴，若把主动轮A安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩。显然单从受力角度，图4-5所示轮子布局比图4-6合理。

§4-3 薄壁圆筒的扭转

1. 剪应力与剪切互等定理

若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图4-7a所示。这时使筒在外力偶作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角，纵线均倾斜一微小倾角从而使方格变成菱形(见图4-7b)，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的剪应力，因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力沿圆环处处相等。根据如图4-7c所示部分的平衡方程，有

（4-2）

如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于4-7a上小方块的单元体，它的厚度为壁厚t，宽度和高度分别为，。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于p-p,q-q 圆周面的左、右侧面上有剪应力，因此在这两个侧面上有剪力，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力作用（据，也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足，即

所以

（4-3）

上式表明，在一对相互垂直的微面上，与棱线正交的剪应力应大小相等，方向共同指向或背离棱线。这就是剪应力互等定理。图表-7d所示单元体称纯剪切单元体。

2.剪应变与剪切胡克定律

与图4-7b中小方格（平行四边形）相对应，图4-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，此直角的改变量称为剪应变或角应变。

如图4-7b所示若为圆筒两端的相对扭转角，为圆筒的长度，则剪应变为

（4-4）

薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变与剪应力成正比，即

（4-5）

式（4-5）为剪切胡克定律；称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。可以证明，对各向同性材料，弹性常数三者有关系

（4-6）

3.