圆轴扭转时的应力(材料力学)
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满足强度要求
d G dx
T Ip
R
TR max Ip
在圆截面边缘上有最大切应力：
TR T max Ip Ip R
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
max
T Wt
(单位：m3)
公式适用条件：
1）圆杆
2）
max p
I p与 Wt 的计算
在实心轴的情况下：
I p 2dA
A
其中D为圆截面直径
2
0
R
0
3dd
R 4
2
D 4
32
Wt
Ip R
R3
2
D3
16
在空心轴的情况下：
I p dA
2 A
2
0
D
2
d
dd
3
4 4
2
D 32
D
3
4
d
4
D
1 32
( sin tan )
2、物理关系
根据剪切胡克定律
G
d G G dx
距圆心为 处的切应力：
d dx
尚未求出
3、静力关系
Me
dA
微分面积：
dA dd
dA上的微内力对圆心的力矩： 对上式进行积分：
p d c p
q a
p d
q a e
d
O
d
a' b
b′
c
R
q
O a ' e′ b
p
b′
R
q
dx
边缘上a点的错动距离：
dx
距圆心为处的切应变：
aa Rd
则a点的切应变：
d dx
d dx
—扭转角
aa Rd d R ad dx dx
沿x轴的变化率。
d D
Wt
扭转强度条件： max
来自百度文库
1 16
4
Tmax Wt
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动 轴，外径 D=89mm、壁厚 =2.5 mm， 材料为20号钢，使用时的最大扭矩 T=1930N·m,[ ]=70 MPa. 校核此轴 的强度。
解：（1）计算抗扭截面模量
圆轴扭转时的应力
材料力学（第五版） 刘鸿文 主编
1、变形几何关系
Me
p q
Me
圆周线长度形状不变，各圆周线 间距离不变，只是绕轴线转了一个 微小角度；纵向平行线仍然保持为 直线且相互平行，只是倾斜了一个 微小角度。
x
p
q
Me
圆轴扭转的平面假设：
p q
Me
p
x
q
圆轴扭转变形前原为平 面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大 小不变，半径仍保持为 直线；且相邻两截面间 的距离不变。
A
dA T
dA
(扭矩定义)
横截面上的扭矩应与截面一侧的外力偶矩相平衡
d d 2 T dA G dA G dA A A A dx dx
Ip
A
2 dA
Ip
横截面对形心的极惯性矩
(截面二次极矩，单位为m4)
d T GI p dx
d 0.945 D Wt 0.2 D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T 1930 6 66.7 10 Pa 6 Wt 29 10 66.7MPa [ ] 70MPa
d G dx
T Ip
R
TR max Ip
在圆截面边缘上有最大切应力：
TR T max Ip Ip R
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
max
T Wt
(单位：m3)
公式适用条件：
1）圆杆
2）
max p
I p与 Wt 的计算
在实心轴的情况下：
I p 2dA
A
其中D为圆截面直径
2
0
R
0
3dd
R 4
2
D 4
32
Wt
Ip R
R3
2
D3
16
在空心轴的情况下：
I p dA
2 A
2
0
D
2
d
dd
3
4 4
2
D 32
D
3
4
d
4
D
1 32
( sin tan )
2、物理关系
根据剪切胡克定律
G
d G G dx
距圆心为 处的切应力：
d dx
尚未求出
3、静力关系
Me
dA
微分面积：
dA dd
dA上的微内力对圆心的力矩： 对上式进行积分：
p d c p
q a
p d
q a e
d
O
d
a' b
b′
c
R
q
O a ' e′ b
p
b′
R
q
dx
边缘上a点的错动距离：
dx
距圆心为处的切应变：
aa Rd
则a点的切应变：
d dx
d dx
—扭转角
aa Rd d R ad dx dx
沿x轴的变化率。
d D
Wt
扭转强度条件： max
来自百度文库
1 16
4
Tmax Wt
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动 轴，外径 D=89mm、壁厚 =2.5 mm， 材料为20号钢，使用时的最大扭矩 T=1930N·m,[ ]=70 MPa. 校核此轴 的强度。
解：（1）计算抗扭截面模量
圆轴扭转时的应力
材料力学（第五版） 刘鸿文 主编
1、变形几何关系
Me
p q
Me
圆周线长度形状不变，各圆周线 间距离不变，只是绕轴线转了一个 微小角度；纵向平行线仍然保持为 直线且相互平行，只是倾斜了一个 微小角度。
x
p
q
Me
圆轴扭转的平面假设：
p q
Me
p
x
q
圆轴扭转变形前原为平 面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大 小不变，半径仍保持为 直线；且相邻两截面间 的距离不变。
A
dA T
dA
(扭矩定义)
横截面上的扭矩应与截面一侧的外力偶矩相平衡
d d 2 T dA G dA G dA A A A dx dx
Ip
A
2 dA
Ip
横截面对形心的极惯性矩
(截面二次极矩，单位为m4)
d T GI p dx
d 0.945 D Wt 0.2 D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T 1930 6 66.7 10 Pa 6 Wt 29 10 66.7MPa [ ] 70MPa