材料力学 圆轴扭转内力、应力

T2 ( M B M C ) 700 N m
446
T3 M D 446
T
截面一侧

M
T (kN m)
350 700
从最外母线看，外力偶切线方向与 扭矩图从左到右突变方向相同。
§ 3.3 纯剪切
一、 薄壁圆筒的扭转
（一）、实验： 1.实验前： ①绘纵向线、圆周线； ②施加一对外力偶 m。 2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线倾斜 3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
315
2．截面法求各段扭矩
T1
315
315
T2 T3
486
M 0 T 315 0 T 315 M 0 T 315 315 0 T 630
x 1 1 x 2 2
M
x
0 T3 486 0 T3 486
3．建立T－x坐标系，画出扭矩图
486
（+）
（kN.m）
建立T－x坐标系，其中x轴平行于圆 轴的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所 求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系 x 中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行 线，即得到所需要的扭矩图。
630
§3.2 Mechanic of Materials Mechanic of Materials
a
dy z

b ´
dx
z
´

d t
c
点右截面 τ
点左截面
0 ( t dy )dx ( t dx)dy 故
m
上式称为切应力互等定理。 τ T 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对 出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同
23
Mechanic of Materials
§ 3.4
圆轴扭转时横截面上的应力
MT O
（二）物理方面（线弹性范围内）
Mechanic of Materials
(a)
m
l
G
m
φ
O1
ρ
τ ρ
dA
(e)
γ
GIP
d dx
d dx
O2
2、按输入功率和转速计算 电机输入功率为P(KW),每秒作功：
Mechanic of Materials
60
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为 转/分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W= 0.7355 kW ），则
P[马力] m 7024 [N m] n[r / min]
d G dx
dA
Mechanic of Materials

O
d A G dA dx d G A 2dA dx
2
d dx G
令
I P A dA
2
d T GI P dx
d T dx GI P
T IP
27
§ 3.4
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
例3-2 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率 分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画 出传动轴的扭矩图
M A 9549 36 1146 N .m 300 11 M B M C 9549 350 N .m 300 14 M D 9549 446 N .m 300 T1 M B 350 N .m
28
§ 3.4
I p A dA
2
圆轴扭转时横截面上的应力
单位：mm4，m4。
d
Mechanic of Materials
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。
对于实心圆截面：
I p A 2dA
2 d
2 D 2 0
扭转的概念和实例
§ 3.1
Mechanic of Materials

扭转的概念和实例

受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用 着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。 变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对 的转动。 扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
壁厚 t 1 r0（r0：为平均半径） 10
Mechanic of Materials
§ 3.3 纯剪切
①圆周线间 距离不变 圆周线的形状、 大小均未改变
②表面纵线倾斜, 所有小矩形都歪 斜成平行四边形 每个小矩形 的变形相同 ③变形沿圆周 切线方向 4. φ 与 的关系： 横截面上 无正应力 沿半径方向 也无切应力 左右两个截面间产生 了相对的转动 ，截 面上有切应力τ存在. l
§3.2
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆 横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为kN· m或N· m
m T
Mechanic of Materials
m T=m
m m TT
m T=-m
m
扭矩正负规定:
右手四指与扭矩转向一致， 拇指指向外法线方向为 正 (+),反之为 负(-)
重点：扭转内力、应力。 难点：切应力互等定理的证明。 学时安排：2
第八讲内容目录 第三章 扭 转
§ 3.1
§ 3.2 § 3.3 § 3.4
目录
Mechanic of Materials
扭转的概念和实例和实例
外力偶的计算 扭矩与扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时横截面上的应力
扭转的概念和实例
§ 3.1
Mechanic of Materials
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
30
§ 3.4
圆轴扭转时横截面上的应力
知：当
⑤ 确定最大切应力：
§3.2 Mechanic of Materials
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
一.外力偶矩
1、直接计算
§3.2
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
W P 1000(N m)
外力偶m使轴以n （r/min） m 转动， m每秒作功： n W m 2
60 P 1000 P m 9549 [N m] 2 n n
汽车传动轴
§ 3.1
Mechanic of Materials
扭转的概念和实例
汽车方向盘操纵杆
§ 3.1
Mechanic of Materials
扭转的概念和实例
请判断哪一杆件 将发生扭转？ 拧紧螺母的工具 杆不仅产生扭转， 而且产生剪切。
5
§ 3.1
扭转的概念和实例
Mechanic of Materials
6
§ 3.1
Mechanic of Materials
扭转的概念和实例
请判断哪一杆件 将发生扭转？ 连接汽轮 机和发电机的 传动轴将产生 扭转。
7
§ 3.1
Mechanic of Materials
扭转的概念和实例
请判断哪一部件 将发生扭转？
唱机的心轴将产生扭转。
8
§ 3.1
Mechanic of Materials
D

4
O
D
32
d
对于空心圆截面：
I p A dA
2

d O
2 2 d
D


D 2 d 2
32 D 4 d (1 4 ) 32 D
(D4 d 4 )
29
§ 3.4
④ 应力分布
圆轴扭转时横截面上的应力
T Ip
Mechanic of Materials
1、变形协调方程推导应变、应力分布规律 设到轴线任意远处的剪应变为 （），则有如下几何关系：
Mechanic of Materials
dx d

d dx
d dx — 扭转角沿长度方向变化率。
2、物性关系——剪切胡克定律

d dx
距圆心为 任一点处 的
T



G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故 G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值 约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
G E 2(1 )
22
(b )
γ
切应力互等定理
O1 dx
ρ
O2

A B O1 D D' C
dφ O2 dφ
R
l
R
ρ a
γ A
B
b D D' C
G1 G' c γ ρ c'
dφ
τ ρ
A B
D C
C'
(c )
dx
γ dx
C'
(d )
(f )
（三）静力学方面
24
§ 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
二、圆轴扭转应力公式推导
、 τ
G
d G dx
与到圆心
的距离成正比。 25
§ 3.4 Mechanic of Materials
圆轴扭转时横截面上的应力
d G dx
26
§ 3.4
3. 静力学方程：
圆轴扭转时横截面上的应力
物理关系式 τρ
T A dFS
A dA
§ 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路 （一）几何方面： 扭转时，圆轴的表面 变形和薄壁圆筒表面变形 相似。实验现象：
1、变形后，横截面大小、 形状均不改变，半径仍为直 线。（应力垂直半径） 2、变形后相邻横截面间的距离不变。（无正应力） 3、平面假定：圆轴受扭发生变形后，横截面仍保持平面， 两相邻横截面刚性地相互转过一角度。
第八讲的内容、要求、重难点
教学内容：
扭转的概念，扭转内力，薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律, 圆 轴扭转时横截面上的应力。
Mechanic of Materials
教学要求：
1、 理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力； 2、 掌握扭转内力——扭矩与扭矩图； 3、 掌握切应力互等定理、剪切胡克定律； 4、 掌握圆轴扭转时横截面上的应力

T Ip
圆轴扭转时横截面上的应力
Mechanic of Materials
—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。
τ
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线 弹性材料，在小变形时的 等圆截面直杆。 ② 式中： —该点到圆心的距离。

O
T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 IP—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 GIP—扭转刚度；
T
指向或共同背离该交线 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状 态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律： T=m
§ 3.3 纯剪切


T 2A 0 t

R
L
Mechanic of Materials
φ

剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时 .2 A0t . L )，切应力与切应变成正比关系: （τ ≤τp G R
φ r
Mechanic of Materials
T

横截面上同一圆周上各点的切 应力都是相等的 切应力沿圆周的切线方向,即垂直 于半径方向，与扭矩转向一致
l r
.r l
19
§ 3.3 纯剪切
二、薄wk.baidu.com圆筒切应力 大小：
Mechanic of Materials
dA r
右手螺旋法则
§3.2 Mechanic of Materials
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
三、扭矩图diagram of torsion moment) ：表征扭矩沿杆长的 变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）

§3.2 Mechanic of Materials
外力偶的计算 扭矩与扭矩图 例题3-1
圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各 力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力 偶矩的单位为N· m，尺寸单位为mm。 试 ：画出圆轴的扭矩图。
§3.2 Mechanic of Materials
T
（—） 315
外力偶的计算 扭矩与扭矩图
解：1．确定控制面
外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面
A
0
T
r0 A dA r0 2 r0 t T
T T 2 2 r0 t 2 A 0 t
dA
T

A0：平均半径所作圆的面积。
§ 3.3 纯剪切 Mechanic of Materials
单元体：围绕所研究的截取的边长为无限小的直六面体
三、切应力互等定理：