圆轴的扭转工程力学

率，单位是千瓦(kW)；n为轴的转速,单位是转/分(rpm)。
应当注意，在确定外力偶矩M的转向时，凡输入功率的主动外力偶
矩的转向与轴的转向一致；凡输出功率的从动力偶矩的转向与轴 的转向相反。
上一页 返回
3.2 扭矩和扭矩图
3.2.1 扭矩
圆轴在外力偶矩作用下发生扭转变形时，其横截面上将产生 内力。
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
转速和力偶矩之间存在如下关系：
M 9549 P n
(3.1)
式(3.1)中，M为外力偶矩，单位是牛顿米(N·m)；P为轴传递的功
3.3.1 圆轴扭转时横截面上的应力
为了求得圆轴扭转时横截面上的应力，必须了解应力在截面 上的分布规律。
横截面上任一点处的切应力的大小，与该点到圆心的距离成 正比。也就是说，在截面的圆心处切应力为零，在周边上切 应力最大。显然，在所有与圆心等距离的点处，切应力均相 等。实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布规律如图3-4 所示，切应力的方向与半径垂直。
16
≈0.2D3
上一页 下一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
2. 空心圆截面
对空心圆截面(图3-7)，其极惯性矩IP可以采用和实心圆截面
相同的方法求出：
IP
32
(D4
d4)
上一页 下一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
如令d/D=α，则上式可写成
IP
D 4
32
(1
a4)
对于确定的轴，T、IP都是定值。因而最大切应力必在截面周
边各点上，即 R 时 max ，故
若令
max = TR
IP
WP
IP R
则式(3.6)可写成如下形式：
max
T WP
(3.7) (3.8)
WP称为抗扭截面系数，其单位为mm3或m3。
上一页 下一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
d T dx
GI P
所以，对于相距l的两横截面间的扭转角则为
下一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
在横截面上离圆心为ρ的点处，取微面积dA(图3-5)。微面积 上的内力系的合力是，它对圆心的力矩等于·ρ，整个截面 上这些力矩的总和等于横截面上的扭矩T，即
T A dA
式中：A为整个横截面的面积。将式(3.3)代入上式，得
T
A
(G
d
dx
)dA
上一页 下一页 返回
3.2 扭矩和扭矩图
3.2.2 扭矩图
通常，扭转圆轴各截面上的扭矩是不同的，扭矩T是截面的位 置x 函数。即 T = T(x)
以与轴线平行的x 轴表示横截面的位置，以垂直于x 轴的T轴 表示扭矩，则由函数T = T(x)绘制的曲线称为扭矩图。
上一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
=
A G 2
d
dx
dA
上一页 下一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
因G、 d 均为常量，故上式可写成
dx
T
G
d
dx
A
2dA
(3.4)
式中：积分 A 2dA 与横截面的几何形状、尺寸有关，它
表示截面的一种几何性质，称为横截面的极惯性矩，用IP表
示，即
IP= A 2dA
上一页 下一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
其量纲是长度的四次方，单位为mm4或m4。于是，(3.4)式可
写成
d
T GI P dx
或
d T
dx GI P
(3.5)
将(3.5)式代入(3.2)式，即得横截面上距圆心为 处的切应
力计算公式为
T IP
(3.6)
上一页 下一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
杆件扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
下一页 返回
3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
内，作用着一对大小相等、方向相反的力偶(图3-1)。杆件的 变形特点是：各横截面绕轴线发生相对转动(图3-2)。杆件的 这种变形称为扭转变形。 工程中把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴，工程中大多 数轴在传动中除有扭转变形外，还伴随有其他形式的变形。
下Hale Waihona Puke Baidu页 返回
7.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
≈0.1 D4 (1-α4)
圆环形截面的抗扭截面系数WP为
WP
I P D3 (1 a 4 ) ≈0.2
D / 2 16
D3
(1-α4)
上一页 下一页 返回
3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
3.3.3 圆轴扭转时的强度条件
为保证圆轴正常工作，应使危险截面上最大工作切应力τmax
不超过材料的的许用切应力。由此得出圆轴扭转的强度条件
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
返回
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
τmax=
Tm a x WP ≤[τ]
(3.9)
扭转强度条件也可用来解决强度校核、选择截面尺寸及确定 许可载荷等三类计算问题。
上一页 返回
3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件
3.4.1 圆轴扭转时的变形
如前所述，轴的扭转变形用横截面间绕轴线的相对转角即扭 转角来表示。
由式(7.5)可知，相距dx的两截面间的扭转角为