工程力学扭转
工程力学C-第9章 扭转
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
工程力学第9章(扭转)
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
工程力学——圆轴的扭转
Wn=
Ip d
d 3 0.2d 3 16
(9-5)
2
图9.9(a)
第9章 圆轴的扭转
(2) 空心圆截面(见图 9.9(b))
Ip = D4 d 4 D4 1 4 0.1D4 1 4 (9-6)
32
32
Wn
=
Ip D
D3
16
14
0.2D3
1 4
2
(9-7)
式中，α = d ，为空心圆轴 D
图9.11
第9章 圆轴的扭转
解：由图 9.11 可知，各段扭矩大小相等，各段的极惯性
矩为 AC 段：Ip= D4 = 3.14 304 =7.952×104mm4
32
32
CB 段：Ip= D4 32
14
3.14 304 32
1
20 30
4
6.381104
mm4
所以根据式(9-12)得
(1) 先确定扭转 Mn 向。 (2) τ 矢量线与半径垂直。
(3) τ 指向与扭矩转向相同。
由 应 力 分布 图可 看 出， 在 圆截 面 的边 缘 上， 即 当
ρ=ρmax=R 时 ， τ=τmax ， 由 此 可 得 最大 切 应力 公 式 为
τma x=
Mn • Ip
R
式中，R
与
I
都是与截面尺寸有关的几何量，
(2) 按强度条件设计轴的直径 d1。由式(9-8)得
τmax=
Mn Wn
Mn 0.2d13
≤[τ]
得
d1≥
3
Mn
0.2
3
1080 103 0.2 40
=51.3mm
第9章 圆轴的扭转
工程力学教学实验圆轴扭转实验
圆轴扭转实验一、试验目的⒈观察低碳钢和铸铁的扭转破坏现象, 比较其试件断口形状并分析破坏原因。
⒉测定低碳钢的剪切屈服极限, 剪切强度极限和铸铁的剪切强度极限。
⒊分析比较塑性材料（低碳钢）和脆性材料（铸铁）受扭转时的破坏特征。
二、实验设备和仪器⒈扭转实验机⒉游标卡尺三、实验原理圆轴扭转时, 横截面上各点均处于纯剪切状态, 因此常用扭转实验来测定不同材料在纯剪切作用下的机械性能。
利用实验机的自动绘图装置, 可记录T—曲线, 低碳钢的T—曲线如图3－9所示。
图 3-9扭矩在以内, 与T呈线形关系, 材料处于弹性状态, 直到试件横截面边缘处的剪应力达到剪切屈服极限, 这时对应的扭矩用表示横截面上的剪应力分布如图3-10（a）所示。
图3-10 低碳钢圆轴在不同扭矩下剪应力分布图在扭矩超过以后, 材料发生屈服形成环形塑性区, 横截面上的剪应力分布如图3-10（b）所示。
此后, 塑性区不断向圆心扩展, T—曲线稍微上升, 然后趋于平坦, 扭矩度盘上指针几乎不动或摆动所示的最小值即是扭矩, 这时塑性区占据了几乎全部截面, 横截面上剪应力分布如图3-10（c）所示。
剪切屈服极限近似等于（a）式中, , 是试件的抗扭截面系数试件继续变形, 进入强化阶段, 到达T- 趋线上的C点, 试件发生断裂。
扭矩度盘上的从动指针指出最大扭矩, 扭转剪切强度极限的计算式为(b)试件扭转时横截面上各点处于纯剪切状态如图3-11所示, 在于杆轴成±45°角的螺旋面上, 分别受到主应力为和的作用, 低碳钢的抗拉能力大于抗剪能力, 故以横截面剪断。
铸铁扭转时, 其T—曲线如图3-12所示。
从扭转开始到断裂, 近似为一直线, 故其剪切强度极限可近似地按弹性应力公式计算(c)图3-11 纯剪应力状态图3-12 铸铁T—曲线试件的断口面为与试件轴线成45°角的螺旋面。
这说明脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力, 它的断裂是由于最大拉应力过大引起的。
工程力学第6章 扭转
T 2 A0
6.2.2 切应力互等定理
从薄壁圆筒中包括横截 面取出一个单元体
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
根据力偶平衡理论
y
(dydz )dx ( dxdz)dy
dy
dz
在相互垂直的两个平面 上，切应力必成对出现， 两切应力的数值相等， 方向均垂直于该平面的 x 交线，且同时指向或背 离其交线。
对于各向同性材料，在弹性变形范围内，切变 模量G 、弹性模量E 和泊松比之间有下列关系：
G
E （1 ） 2
6-3 实心圆轴扭转时的应力和强度条件
6.3.1 、 扭转剪应力在横截面上的分布规律
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
例题 3
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确。
10 kN
30 kN 50 kN
10 kN
20 kN
50 kN 30 kN
20 kN
30 kN
6.2.3 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Me Me
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
6-1 概述
1. 扭转的概念 4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一 特点： 圆截面轴（实心、空心）
工程力学扭转详解
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
工程力学 扭转
第7章 扭转7．1 扭转的概念和工程实际中的扭转问题扭转变形是杆件的基本变形之一。
它的外力特点是杆件受力偶作用，力偶作用在与轴线垂直的平面内，如图7-1所示。
杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角（angle of twist ）ϕ。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
工程上有很多圆截面等直杆，受到一对大小相等、方向相反的外力偶矩作用。
如图7-2所示的驾驶盘轴，在轮盘边缘作用一对方向相反的切向力构成一力偶。
根据平衡条件，在轴的另一端，必存在一反作用力偶，在此力偶矩作用下，各横截面绕轴线作相对旋转。
此轴产生的变形即为扭转变形。
在工程中，受扭杆件是很常见的，比如机械中的传动轴（图7-3）、攻螺纹所用丝锥的锥杆（图7-4）以及钻杆等，它们的主要变形都是扭转，但同时还可能伴随有拉压、弯曲等变形。
如果后者不大，往往可以忽略，或者在初步设计中，暂不考虑这些因素，将其视为扭转构件。
圆轴是最常见的扭转变形构件，本章主要讨论圆轴的扭转。
BAMAB ϕ图7-1图7-2图7-3图7-47. 2 杆件扭转时的内力要研究受扭杆件的应力和变形，首先需要计算杆件横截面上的内力。
一、外力偶矩的计算作用于圆轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，通常是给出轴的转速n 和轴所传递的功率P 。
此时需要根据功率、转速、力矩三者之间的关系来计算外力偶矩的大小。
以工程中常用的传动轴为例，已知它所传递的功率P 和转速n ，作用在轴上的外力偶矩可以通过功率P 和转速n 换算得到。
因为功率是每秒钟内所做的功，有602101033πωn M M P e e ⨯⨯=⨯⨯=−− 于是，作用在轴上的外力偶矩为nPM e 9550= (7-1) 式中:M e —作用在轴上的外力偶矩，单位为N·mP —轴传递的功率， 单位为kW ω—转轴的角速度，单位为rad/s n —轴的转速，单位为是r/min 。
工程力学中的扭转力学分析
工程力学中的扭转力学分析扭转力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在受到扭转力作用时产生的变形和应力分布。
在工程实践中，扭转力学的应用非常广泛，特别是在建筑、机械、航空航天等领域。
一、引言扭转力学研究的对象是物体在受到外界扭转力矩作用下的行为。
扭转力学涉及到以下几个关键概念：扭转角、扭转应变、扭转应力等。
二、基本原理与公式推导在扭转力学分析中，我们需要借助一些基本原理和公式来描述扭转的行为。
其中，最基本的原理是胡克定律，它表明物体在弹性阶段的扭转行为与受到的扭转力矩成正比。
公式推导过程如下：（1）胡克定律：θ = T / (G * J)其中，θ表示物体的扭转角，T表示扭转力矩，G表示切变模量，J 表示抗扭转性能指标。
（2）扭转应变：γ = θ * r / L其中，γ表示扭转应变，r表示被扭转物体的半径，L表示物体的长度。
（3）扭转应力：τ = G * γ其中，τ表示扭转应力。
三、典型扭转问题的分析在工程实践中，我们常常遇到一些典型的扭转问题，如轴材料的扭转分析、螺旋桨的扭转分析等。
下面以轴材料的扭转分析为例，介绍典型问题的求解过程：（1）问题描述：一根长度为L，半径为r的均质轴材料，在受到扭转力矩T作用下，求解轴的扭转角和轴的最大扭转应力。
（2）解答过程：首先，根据胡克定律可以得到轴的扭转角：θ = T / (G * J)，其中G 为轴材料的切变模量，J为轴的惯性矩。
然后，根据扭转应变公式可以得到轴的扭转应变：γ = θ * r / L。
最后，根据扭转应力公式可以得到轴的扭转应力：τ = G * γ。
四、工程应用示例扭转力学在工程中的应用非常广泛，例如在机械工程中，通过对扭转力学的分析，我们可以设计出更加合理的轴、齿轮等零件；在建筑工程中，我们可以通过扭转力学的分析，预测结构在风荷载下的变形和损伤等。
五、总结扭转力学是工程力学中的重要分支，研究物体在受到扭转力作用下的变形和应力分布。
本文通过引言、基本原理与公式推导、典型扭转问题的分析以及工程应用示例的介绍，对扭转力学的相关内容进行了阐述。
考研复习—工程力学——第6章 扭转
Wt
IP d2
d3
16
0.2d 3
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
2.圆环形截面
与圆形截面方法相同，如图所示，有
IP 2dA
A
D 2 2 3d
d2
32
D4 d 4
0.1 D4 d 4
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
6.2.3 扭矩图
例6-1 传动轴受力如图6-7(a)所示。转速n=300 r/min，主动轮A输
入功率PA=50 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=15 kW，
PD=20 kW。试作出轴的扭矩图，并确定轴的最大扭矩值。
图6-7
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
图6-8
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.1 横截面上的剪应力计算公式
由平面假设可推出如下推论： （1）横截面上无正应力。因为扭转变形时，横截面大小、形状、纵向间距均未 发生变化，说明没有发生线应变。由胡克定律可知，没有线应变，也就没有正应 力。
（2）横截面上有剪应力。因为扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动。但 对截面上的点而言，只要不是轴心点，那两截面上的相邻两点，实际发生的是相
第6章
6.4 圆轴扭转强度条件及应用
6.4.3 应用实例
（2）校核轴的强度。由扭矩图可知，最大扭矩在AB段，由于是等截面轴，故
AB段最危险。
max
T
Wt
267 103 0.2 303
工程力学08扭转
28
等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
⑤ 确定最大剪应力： 由
T Ip
知：当
R d , m ax
2
max
d T 2 Ip
T Ip
T d (令 W I p ) 2 d Wt 2
抗扭截面系数（抗扭截面模量） 几何量，单位：mm3或m3。
17
薄壁圆筒的扭转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
18
薄壁圆筒的扭转
T=m
T ( 2 A 0t)
( L ) R
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
19
等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
G1G d tg dx dx
d dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx
22
等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
34
等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
[例2]功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 []=30M Pa, 试校核其强度。 m m 解：①求扭矩及扭矩图 A T B D3 =135 C D2=75 D1=70
N 103 TBC m 2n
150 103 (N m) 2 3.14 15 .4 1.55(kN m)
6
传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
工程力学—扭转变形
第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。
此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。
同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。
2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。
若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。
3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。
扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。
如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。
扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。
(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=， 163D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(3244a D I p -=π， )1(1643απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
工程力学-04扭转
扭 转
1
§9-1、概述
一、概 述
汽车传动轴
2
§9-1、概述
汽车方向盘
3
§9-1、概述
丝锥攻丝
4
§9-1、概述
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
A
M
e1
d2
B
M
e3
C
受力合理
M
e2
4580 N m
3060 N m
35
小结
1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算
T IP
max (
T WP )max
4、圆轴扭转时的变形及刚度计算
整个轴中
max ( T GI
P
许用单位扭转角
)max
max ( T GI
P
)max
180 π
29
§9-6、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 扭转强度条件
•校核强度 整个轴中 •设计截面 •确定许可载荷
扭转刚度条件
•校核刚度 整个轴中
5
§9-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
6
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§9-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输入功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
Pk
工程力学(扭转)课件
扭转力的作用
01
02
03
传递扭矩
在机械系统中，扭转力用 于传递扭矩，实现动力的 传递和转换。
平衡系统
在建筑结构中，扭转力用 于平衡不同方向的力和扭 矩，保持结构的稳定。
调整结构
在桥梁、高层建筑等大型 结构中，扭转力用于调整 结构的形状和稳定性。
扭转力的分类
按作用方式
可分为静态扭转力和动态扭转力。 静态扭转力作用缓慢，变形量较 小；动态扭转力作用迅速，变形
抗扭强度的计算
抗扭强度的计算公式通常基于剪切应 力的极限值或剪切模量，具体公式取 决于材料的性质和受力条件。
除了理论计算，还可以通过实验测试 来测定材料的抗扭强度。实验方法包 括扭转试验、弯曲试验和压缩试验等。
对于金属材料，可以根据弹性力学理 论计算抗扭强度。对于复合材料和复 合结构，需要考虑各组分材料的性能 以及它们之间的相互作用。
未来发展
随着科技的不断进步，工程力学 （扭转）的研究将更加深入和广
泛。
未来研究将更加注重实验和数值 模拟的结合，探索扭转变形的微
观机制和宏观表现。
随着新材料和新工艺的出现，扭 转变形的研究将更加关注材料性
能和结构优化设计。
THANKS
力矩的计算公式
M=FL，其中M为力矩，F 为力，L为力臂。
力臂
从转动轴到力的垂直距离。
力矩的平衡
平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的 状态。
力矩平衡条件
合力矩为零，即所有外力矩的代 数和为零。
平衡方程
∑M=0，其中∑表示求和符号， M表示外力矩。
力矩的传递
传递方式
通过轴承、齿轮等机械零件将力矩传递给其他部件。
扭矩与弹性模量的关系
工程力学中的弯曲与扭转
工程力学中的弯曲与扭转弯曲与扭转是工程力学中的两个重要概念，它们在实际工程中具有广泛的应用。
本文将从弯曲和扭转的基本原理、力的作用形式以及应用案例等方面进行详细的论述。
一、弯曲的基本原理弯曲是指在外力作用下，构件产生曲率变形的现象。
在弯曲过程中，构件的上部受拉，下部受压。
弯曲力会使构件的曲率发生变化，从而引起构件的弯曲变形。
弯曲力可以分为集中力和分布力两种形式。
集中力是指作用在构件的一个或多个离散点上的力，而分布力是指作用在构件的一段或整个长度上的力。
在计算弯曲力和弯曲变形时，需要根据具体情况选择适合的计算方法。
二、扭转的基本原理扭转是指在外力作用下，构件沿其纵轴线方向发生旋转的现象。
扭转力作用在构件的横截面上，使构件发生扭转变形。
扭转力的作用形式包括集中力和分布力两种。
集中力是指作用在构件的一个或多个离散点上的力，而分布力是指作用在构件的一段或整个长度上的力。
在计算扭转力和扭转变形时，需要考虑力的大小和作用位置等因素。
三、弯曲与扭转的应用案例在实际的工程应用中，弯曲与扭转经常同时出现，且相互影响。
下面将介绍一些常见的应用案例。
1. 梁的弯曲与扭转在建筑和桥梁工程中，梁是经常用到的结构构件。
在悬臂梁和连续梁等结构中，梁的自重和集中荷载都会对构件产生弯曲和扭转变形。
因此，在设计梁的时候，需要考虑弯曲和扭转对构件的影响，确保结构的安全性和稳定性。
2. 轴的弯曲与扭转轴是一种常见的旋转运动传动元件，其内部承受扭矩和弯矩的作用。
当轴承受到扭矩时，会发生扭转变形；当轴受到弯矩时，会发生弯曲变形。
因此，在轴的设计和选材时，需要充分考虑扭转和弯曲对轴的影响，以保证轴的工作性能和寿命。
3. 圆柱壳的弯曲与扭转圆柱壳是一种常见的结构形式，例如压力容器和管道等。
在受到内外压力和温度变化等作用下，圆柱壳会发生弯曲和扭转变形。
因此，在圆柱壳的设计和制造过程中，需要综合考虑弯曲和扭转对结构的影响，确保其安全可靠。
四、总结弯曲和扭转是工程力学中重要的概念，对于工程结构的设计和分析具有重要意义。
第15章 扭 转
3.3 圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
表15-1 圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面系数
3.3 圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
3.2 圆轴扭转时横截面上的应力
从式（15-2）可以看出，对于确定的横截面，切应力的大小与所求点到圆心的距离成正比， 切应力的方向与横截面上扭矩的方向一致，并沿半径方向呈线性分布。如图 15-7 所示为切应力沿 半径方向的分布情况。
从图 15-7 中可以看出，圆轴横截面的边缘处
切应力最大，切应力的最大值 τmax 为
当圆轴上作用有多个外力偶时，需要根据外力偶所在的截面将轴分成数段，然后逐段求出其 扭矩。为了形象地表示扭矩沿轴线的变化情况，可仿照轴力图的方法绘制扭矩图。作图时，横坐 标表示各横截面的位置，纵坐标表示扭矩。
图15-4
2.2 扭矩和扭矩图
例 15-1 如图 15-5（a）所示的传动轴，转速为 n 300 r/min ，主动轮的功率为 P1 500 kW ，三个 从动轮的功率分别为 P2 150 kW ， P3 150 kW ， P4 200 kW ，不计摩擦。试绘出该轴的扭矩图。
M4
9 550
P4 n
6.37 103
(N m) 6.37 (kN m)
图15-5（b）
2.2 扭矩和扭矩图
（2）利用截面法，求出各段轴内的扭矩。在 CA 段内，沿横截面 2-2 将轴截开，并以左段为研究
对象，假设 T2 为正，根据平衡方程可得
M x M 2 M3 T2 0
于是，得出 T2 M2 M3 9.56 (kN m)
由此可以认为：圆轴发生扭转变形后，轴的横截面仍保持平面，其形状、大小及间距不变。 该结论称为圆轴扭转时的平面假设。
图15-6
工程力学 第四版 第10章 扭转与剪切变形
结论：
1.扭转变形时，横截面的大小、形状及轴向间距不 变，说明圆筒纵向与横向均无变形，线应变为零，由胡 克定律可得横截面上正应力为零。
2.扭转变形时，相邻横截面间相对转动，截面上各 点相对错动，发生剪切变形，故横截面上有切应力，其 方向沿各点相对错动的方向，即与半径垂直。
圆筒表面上每个格子的直角也都改变了相同的角度
1 10
r0
（r0：为平均半径）
加力偶前： 在圆筒表面刻上一系列的纵向线和圆周线，从而形成
一系列的矩形格子。
扭转后：
1.各圆周线绕轴线发生了相对转动，但形状、大小 及相互之间的距离均无变化，且仍在原来的平面内。
2.所有的纵向线倾斜了同一微小角度 ，变为平行 的螺旋线。在小变形时，纵向线仍看作为直线。
D 2 16
空心圆轴
(D4 d 4 ) D4 (1 4 )
32D
32
IP (D4 d 4 ) D3 (1 4 )
D 2 16D
16
10.3.3 斜截面上的应力
y x
两相互垂直平面上的切应力数 值相等，且均指向(或背离)这两 平面的交线，称为切应力互等定 理。
BC段 CA段 AD段
T1 M2 7.16kN m
T2 M2 M3 14.32kN m T3 M4 9.55kN m
(3) 做扭矩图 由扭矩图可知，Tmax 发生在CA段内，其值为14.32kN.m。
10.3 圆轴扭矩时的应力与强度条件
10.3.1 薄壁圆筒的扭转应力
薄壁圆筒：壁厚
作用在传动轴上的外力偶往往有多个，因此，不同轴段上 的扭矩也各不相同。为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变 化情况，从而确定最大扭矩及其所在截面的位置，常需画出扭 矩随截面位置变化的函数图像，这种图像称为扭矩图。
工程力学第9章圆轴的扭转
τ ′d x d z
d
τ
c
τ d yd z
x
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
y x z
自动满足 存在τ'
(τ d y d z ) d x = (τ ′ d x d z ) d y
得
τ′ =τ
y
τ'
a dy b z
切应力互等定理 d
在相互垂直的两个面上， 在相互垂直的两个面上，切 应力总是成对出现，并且大小相 应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。 个面的交线。
一、圆轴扭转时横截面上的应力 1、几何关系：由实验找出变形规律 应变的变化规律 几何关系 由实验找出变形规律→应变的变化规律 1）实验： 实验：
2）观察变形规律： 观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 形状、大小、间距不变， 圆周线 形状 了一个不同的角度。 了一个不同的角度。 纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 纵向线 倾斜了同一个角度 扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面， 扭转平面假设 变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大 小 以及间距不变，半径仍为直线。 以及间距不变，半径仍为直线。
3
) 16T 3 16(1.5×103N⋅m = = 0.0535 m d ≥ 6 π(50×10 Pa) π[τ ]
m 取： d = 54 m
2. 确定空心圆轴内、外径 确定空心圆轴内、
Wp =
3
πD3 16
(1−α )
4
16T π 3 D (1−α 4) 16
结论： 结论：
横截面上
工程力学中的弯曲和扭转问题的解析
工程力学中的弯曲和扭转问题的解析工程力学作为一门研究物体受力和力的效应的学科，涵盖了广泛的领域。
其中，弯曲和扭转问题是工程力学中的重要内容。
本文将就工程力学中的弯曲和扭转问题展开解析。
一、弯曲问题的解析当一个横截面直径较小，受到一个外力作用时，就会出现弯曲现象。
在工程中，我们常常需要计算和分析杆件的弯曲情况，以便设计出稳定且符合实际需求的结构。
弯曲问题的解析可以采用梁理论。
梁理论是一种基于假设的方法，即假设杆件是一维的、线弹性的，并且横截面上的应力是均匀的。
在解析弯曲问题时，首先需要确定外力作用下的弯矩分布。
然后，可以利用梁理论中的方程，例如欧拉－伯努利方程或蒙薩漢方程，来计算杆件受力、应变和位移的分布。
最后，根据梁的受力平衡条件，可以得到横截面上的剪力分布和弯曲变形的方程。
通过这些计算和分析，我们可以得出关于杆件在弯曲条件下的各种特性，例如最大弯矩、最大剪力和挠度等。
二、扭转问题的解析扭转是指杆件受到一个扭矩作用时的变形情况。
扭转问题的解析是工程中另一个重要的内容，尤其是在设计机械结构和柔性轴承时。
扭转问题的解析可以采用圆柱弹性理论。
圆柱弹性理论是一种假设杆件是圆柱形的、同轴的，并且材料满足胡克定律的理论方法。
在解析扭转问题时，首先需要确定杆件受到的扭矩分布。
然后，可以利用圆柱弹性理论中的方程，例如圆柱弹性方程和剪应力方程，来计算杆件受力和位移的分布。
最后，根据杆件的受力平衡条件和位移约束条件，可以得到关于杆件扭转情况的各种特性，例如最大剪应力、转角和扭转刚度等。
三、综合应用弯曲和扭转问题在实际工程中常常同时存在。
例如，柱子在受到向下的压力时会发生弯曲和扭转。
在这种情况下，我们需要将弯曲和扭转问题综合起来进行分析。
综合应用时，可以通过梁理论和圆柱弹性理论相结合的方法来解析问题。
首先，需要确定杆件的受力情况，包括弯矩和扭矩的分布。
然后，可以利用梁理论和圆柱弹性理论中的方程来计算杆件受力、应变和位移的分布。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M e2
按输入功率和转速计算
已知
轴转速－n 转/分钟 输出功率－Pk 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W Pk 1000(N.m)
W
Me
2
n 60
Pk
Pk
8
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图
T = Me
9
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
T = Me
10
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭转强度条件 扭转刚度条件
•已知T 、D 和[τ]，校核强度 •已知T 和[τ]， 设计截面 •已知D 和[τ]，确定许可载荷
•已知T 、D 和[φ/]，校核刚度 •已知T 和[φ/]，设计截面 •已知D 和[φ/]，确定许可载荷
28
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
29
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
21
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最
大切应力不得超过40MPa,空心圆轴
的内外直径之比 = 0.5。二轴长
度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
扭转变形是指杆件受到大小相等,方向 相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 使杆件的横截面绕轴线产生转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
6
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩 直接计算
7
二、外力偶矩 扭矩和扭矩图
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
实心轴
Mx
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
max1
MT x
WP1
16MT x
πd13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40106
0.045m=45mm
22
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大
切应力不得超过40MPa,空心圆轴的
23
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
24
§7-4、圆轴扭转时的变形计算
第七章 扭转
1
第七章 扭 转
§7-1、概述 §7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图 §7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 §7-4、圆轴扭转时的变形计算 §7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
2
标题
§7-1、概述
汽车传动轴
一、概
3
述
§7-1、概述
汽车方向盘 4
§7-1、概述
丝锥攻丝
5
§7-1、概述
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
解：1.外力
M e1
9549 P1 n
9549 400 500
7640N m
160 M e2 400 M e1 3060N m
240 M e3 400 M e1 4580N m
30
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
16
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
17
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
1、切应力计算
令
抗扭截面系数
18
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
2. Ip 与 Wp 的计算
实心轴
19
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
空心轴
令
则
20
§7-3、圆轴扭转时截面上的应力计算
四、圆轴扭转时的变形计算
相对扭转角
抗扭刚度
n
Tili
i1 GI Pi
25
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
26
五、圆轴扭转时的强 刚度设计
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
单位长度扭转角 扭转刚度条件
许用单位扭转角
27
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率 P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。 已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。
(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
11
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
12
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
13
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
扭矩图
14
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
15
§7-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
32 7640180 80109 π 2 1
86.4 103 m 86.4mm
d1 86.4mm
31
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
4.直径d2的选取
d1
C d2
按强度条件
A
B
M e1
M e2
M e3
3 16T 3 16 4580
d2
π[ ]
π 70106
4580N m
69.3103 m 69.3mm
内外直径之比 = 0.5。二轴长度
相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
T T max2
Mx WP 2
16M x
πD23 1 4
40MPa
16 716.2
D2 3 π 1- 4 40106 0.046m=46mm
d2＝0.5D2=23 mm
7640N m
按刚度条件
d2
4
32T 180
Gπ 2 [ ]
4
32 4580180 80109 π 2 1
76103 m
76mm
d2 76mm
5.选同一直径时 d d1 86.4mm
32
§7-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
受力合理
d1
C d2
A
B
M e1
2.扭矩图
3.直径d1的选取
按强度条件
d1
C d2
A
B
M e1
M e2
M e3
max
16T
d13
4580N m
7640N m
3
d1
16T
π[ ]
3
16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
按刚度条件
m ax
32T
Gd14
180
d1
4
32T 180
Gπ 2 [ ]
4