工程力学第九章 扭转

第五节 圆轴扭转破坏与强度条件

()＝
Mx
Ip
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
当 ＝ max 时， ＝ max
max=
Mx
Wp
Wp=
Ip
max
Wp 扭转截面系数
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
强度条件：
max


T WP
max


对于等截面圆轴 ：
D2 d 2
G空 A空 G实 A实
4
d实2
892 842 865 532 2809 0.308
4
空心轴比实心轴省材料
例2 下图所示阶梯形圆截面轴，在横截面A、B与C处承受扭 力偶作用，试校核轴的强度。已知MA=150N.m，MB=50N.m， MC=100N.m，许用切应力［τ］＝90MPa。
N
m

4.78
kN m
M4

(9.55103

ຫໍສະໝຸດ Baidu
200) 300
Nm

6.37 103
Nm

6.37
kN m
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M2 4.78 kN m 注意这个扭矩是假定为负的
CA段内：T2 M 2 M3 9.56 kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
由式


T
Ip
可知，在ρ ＝R 即圆截面
边缘各点处，切应力最大，其值为
max

TR Ip

T Ip
T Wp
R
式中Wp为抗扭截面 系数，Wp=Ip/R单位 为m3或mm3。
可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗
扭截面系数成反比。
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
扭转失效与扭转极限应力 扭转试验表明： 塑性材料试样受扭时，先发生屈服，在试样表面
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图 扭转变形的内
力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n
截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面外侧 为正
指向截 面内侧 为负
第二节 动力传递与扭矩
扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线 。
例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。
解（1）扭力偶矩计算
MA
9549 PA n
9549 4 500
76.4N m
MB
9549 PB n
9549 10 500
191N m
MC
9549 PC n
9549 6 114.6N m 500
（2）扭矩计算 设AB与BC段的扭矩为正，并分别用T1和T2表示，则
T2 M 3 4238N m
T1 M2 2819N m T2 M 3 4238N m
(3)按强度条件求直径 ：
M2 B
d1 M1
A
d2 M3
C
2
1
3
max


T WP
max


又
Wp

d 3
16
d13 16

T1

所以
d1 3
由 此 得
M Nm

9549
Pk nr
W
min
若转速n的单位为r/s,
则
M Nm

159.2
PkW nr
s
式中：
P=Mω—功率，即力偶在单位时间内 所作之功 ，单位为kW（千瓦）；
M—力偶矩，单位为N·m（牛顿·米）；
ω—相应角速度；
{n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
3
16T

3
16 1.5103
50106
0.0535m
Wp

d 3
16
取 d=54mm （注意取法）
(2)确定空心轴的内、外径
do

3

16T
14


3

16 1.5 103 1 0.94 50 106
0.0763m
则其内径为: di=0.9do=0.90.0763=0.0687m 取 do=76mm，di=68mm（注意）
扭力偶矩：使杆产 生扭转变形的外力 偶之矩。
第一节 引 言
轴：凡以扭转为主要变形的直杆称为轴。
第一节 引 言
扭转角：轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移称扭转角。
第二节 动力传递与扭矩
功率、转速与扭力偶矩之间的关系
功率P=Mω，又 1W=1N·m/s
于是上式变为
P*103=M*2πn/60
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
第二节 动力传递与扭矩
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
4.78
6.37
15.9
4.78
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均相同。
M2 B
d1 M1
A
d2 M3
C
M1

9550 P1 n
9550 368 8.3 60

7057N
m
M2

9550 P2 n
9550 147 8.3 60

2819N
m
2
1
3
M3
9550 P3 n

9550 221 8.3 60

4238N
m
(2)求扭矩
T1 M 2 2819N m
功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M1

(9.55103

500)N 300

m

15.9 103
N

m
15.9
kN
m
M2

M3

(9.55103

150 ) 300
Nm

4.78103
校核此轴的强度。若在同样强度条件下，将
空心轴改成实心轴，试确定其直径，并比较
二者的重量。
解：（1）计算抗扭截面系数
d D 2 89 2 2.5 0.944
DD
89
WP 0.2D3 1 4 0.2893 1 0.9444
2.9104 mm3 2.9105 m（3 注意单位）

8.088 107
Pa

80.88MPa
max,2

16T2
D23
1


d2 D2
4



16( 100N m )

0.0223
1


0.018
4

0.022

8.67 107
Pa

86.7 MPa
Τmax,1与τmax,2均小于许用切应力，说明轴满足强度条件。
解：（1）问题分析
绘制扭矩图，由图知AB与BC 段的扭矩分别为
T1=150N.m T2=100N.m
（2）强度校核
max,1

16T1
D13
1


d1 D1
4






16( 150N m )

0.0243
1


0.018
4


0.024
max

Tmax WP


第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
Ip＝
d
32
4
对于实心圆截面
d 3
Wp= 16
对于圆环截面
Ip＝
D
32
4
(
1-
4
)
Wp=
D
16
3
(
1-
4
)
=d / D
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 PP[θ12==]=31164087/kkmWW，，，G从 P=3动=802轮G221P、akW。3分，试别按[τ输强]=出度7功条0M率件P为求a，AB段的直 径定dd1的；大B小C段。的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 解 (1)求外力偶矩
第九章 扭 转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节 引 言
扭转：以横截面绕轴线作相对转动为主要 特征的变形形式，称为扭转。
第一节 引 言
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶。
横截面的扭矩T即为：
T
2 0
Ro2
d

2Ro2
薄壁圆管扭转的切应力为：
＝ T 2Ro2
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直
的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
在微体的左、右两个侧面上，力偶之矩为
τδdydx。
顶面与底面的两个力所构成
的力偶之矩为τ’δdxdy。 微体平衡，则 τ = τ’。
纯剪切：如上述微体的四个侧面上，仅 存在切应力而无正应力的应力状态。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
剪切虎克定律 ： τ ＝G γ
在切应力作用下，微体发生切应变。 薄壁圆管的扭转试验表明：当切应力不超过材
例3 某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5kN.m，若许用切应力［τ］ ＝50MPa，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其 重量。
（1）实心圆截面轴； （2）空心圆截面轴，其内、外径的比值di/d0=0.9。 解： （1）确定实心轴的直径
根据强度条件 T 而
Wp
故
d
（3）重量比较
由于空心及实心圆轴的长度及材料均相同，所以，二者的 重量比等于其横截面面积之比，即
＝
d02

d
2 i
4
4
d 2
0.0762 0.0682

0.0542
0.395
上述数据充分说明，空心轴比实心轴轻。即空心轴省材料。
例题
例 题 4
已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝ 40MPa,
（2）强度校核
max
T Wp

1930 2.9 105
66.7 106 Pa 66.7MPa
70MPa
满足强度条件
（3）确定实心轴直径，并比较其重量

max

T WP

T 0.2d实3
d实
3
T
0.2 max

1930 0.2 66.7106
0.053m 53mm
16T1

3
16 2819 3.14 70 106
0.059m 59mm
同理
d2 3
16T2

3
16 4238 3.14 70 106
0.068m 68mm
若两段采用同一直径，则取 d 68mm
例题 已知解放牌汽车主传动轴传递的最 大扭矩T=1930Nm，传动轴用外径 D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。 材料为20钢，其许用切应力[]=70MPa。
T1 M A 76.4N m T2 -M C -114.6N m
（3）画扭矩图 根据上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为
T max
T2
114.6N m
T
76.4N·m
x
114.6N·m
例题
一传动轴如图，转速
n

300
r min
；
主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
的横向与纵向出现滑移线，如果再继续增大扭力 偶矩，试样最后沿横截面被剪断； 脆性材料试样受扭时，变形始终很小，最后在与 轴线成450倾角的螺旋面发生断裂。 上述实验结果说明，圆轴受扭时，其破坏的标志 仍然是塑性屈服与脆性断裂。
－塑性材料
－脆性材料
扭转屈服应力：试样扭转屈服时横截面上的最大 切应力，称为扭转屈服应力。 扭转极限应力：扭转屈服应力与扭转强度极限统 称为扭转极限应力，并用τ u表示。
料的剪切比例极限τ p时，切应力与切应变成正比， 即 τ γ 。引入比例系数 G， 则τ ＝G γ 。
G－切变模量（剪切弹性模量）， 单位为Gpa，其值随材料而异， 由实验测定。
第四节 圆轴扭转横截面上的应力
平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，其形状、 大小与间距均不变，而且，半径仍为直线。
最大扭转切应力
空心圆轴的内外径之比 = 0.5。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
由此可见，在圆管横截面的各点处，仅存 在垂直于半径方向的切应力，如图示，它 们沿圆周大小不变，而且由于管壁很薄， 沿壁厚也可近似认为均匀分布 。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力 设圆管的平均半径为Ro，壁厚为δ ，微剪力对轴
线O的力矩为Ro․τδRodθ 。