工程力学扭转资料

②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
3
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力 ②横截面上各点处，只产 dy 生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
L R RL
´
a
b
´
c
d
dx
4
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩
实心轴
P
7.5
Mx
M Tx
9549
n
9549 100
716.2N m
max 1
Mx WP1
16Mx
d13
40MPa
d1
3
16 716.2 π 40106
0.045m=45mm
tg
G1G dx
d
dx
G
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d
dx
——
扭转角沿长度方向变化率。
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2. 物理关系：
虎克定律： G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
13
3. 静力学关系：
dA
Mx A dA
A
G
2
d
dx
dA
O
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。
G 、E和 是表明材料弹性性质的三个常数。对
各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推
导详见后面章节）： G
E
2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，
第三个量就可以推 · 强度条件
①变形几何方面
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重
量轻，结构轻便，应用广泛。
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⑤ 确定最大剪应力：
由
Mx
Ip
知：当
R
d 2
,
max
max
Mx d 2
Ip
Mx
Ip
d 2
Mx Wt
(令 W
Ip
d) 2
max
Mx Wt
Wt — 抗扭截面系数,单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
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d
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
对于实心圆截面：
I p A 2dA
D
02
2
2
d
D4
32
对于空心圆截面：
D
I p A 2dA d2 2 2 d
2
d
(D4 d 4 ) D4 (1 4 )
32
32
( d )
D
O
d
O
D
D
16
④ 应力分布
（实心截面）
（空心截面）
第七章 圆轴扭转时的应力
1
§7–1 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
2
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
d2＝0.5D2=23 mm
22
实心轴
空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1
d2 1
45
103
2
1
＝1.28
A2
D2 2
12
46 103 1 0.52
23
3
已知：P1＝14kW,P2=P3=P1/2，
n3＝n1
z1 z3
＝120
36 12
r/min
＝360r/min
24
3、计算各轴的横截面上的
6
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力 作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
a
´ b
dy
´
c
d
t
z
dx
7
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例 极限时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
8
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模
量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值
n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;
d1=70mm, d2=50mm,d3=35mm.
求:各轴横截面上的最大切应力。
解：1、计算各轴的功率与转速
2、计算各轴的扭矩
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min
M1=Mx1=1114 N.m M2=Mx2=557 N.m M3=Mx3=185.7 N.m
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
5
三、切应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
上式称为切应力互等定理。
a
dy ´
c
z
dx
´
b
d t
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上， 剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两 平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
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已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切 应力不得超过40MPa,空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
max 2
Mx WP 2
16Mx
D23 1 4
40MPa
16 716.2
D2 3 π 1- 4 40106 0.046m=46mm
Wt I p R D3 16 Wt I p R D3(1 4) 16
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实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
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[练习]判别下面截面上剪应力分布是否正确。
MT
MT
MT
MT
a
b
c
d
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已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切 应力不得超过40MPa,空心圆轴的内
外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察： 各圆周线的形状、大小
和间距均未改变，仅绕轴线 作相对转动；各纵向线均倾
斜了同一微小角度 。
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可假设： 1. 横截面变形后仍为平面；只是刚性地绕杆 轴线转动； 2. 轴向无伸缩；
圆周扭转时可视为:许多薄壁筒镶套而成。
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二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系：
d
Mx GI p dx
d Mx
dx GI p
代入物理关系式
G
d
dx
得：
Mx
Ip
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Mx
Ip
—横截面上距圆心处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆 截面直杆。
② 式中：Mx—横截面上的扭矩，由截面法求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。