工程力学a参考习题之扭转解题指导
工程力学第9章(扭转)
壁厚 由于管壁很薄，近似认为切应力沿壁厚均匀分布 由于管壁很薄，
2 2 T = ∫ τδ R0 dθ = 2π R0τδ 0 2π
T ∴ τ= 2 2π R0 δ
二、纯剪切与切应力互等定理
1. 切应力互等定理
∑ M (F ) = 0 :
z
(τδ dy )dx = (τ ′δ dx )dy
∴ τ =τ′
∑M ∑M
x
(F ) = 0 : (F ) = 0 :
T1 − M A = 0
解得： 解得： T1 = 76.4N ⋅ m 2-2： ：
x
−T2 − M C = 0
解得： 解得： T2 = −114.6N ⋅ m ⑶ 绘制扭矩图
§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆管的扭转应力
试验现象： 试验现象： 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、 1.各圆周绕轴线相对转动，但其形状、大小及相 各圆周绕轴线相对转动 邻两圆周线之间的距离不变， 邻两圆周线之间的距离不变，说明横截面上无正应 力。 2.在小变形下 各纵向线倾斜相同的小角度， 在小变形下， 2.在小变形下，各纵向线倾斜相同的小角度，但 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形， 仍为直线，表面的矩形变为平行四边形，说明横截 面上有切应力
[τ ] =
τU
n
二、圆轴的扭转强度条件
τ max
《工程力学》第 8 章 扭 转解析
受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角改变 了一数量。物体受力变形时，直角的这种改变量 （以弧度计）称之为切应变。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
18
T
g (rad)
T
φ
l
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变 均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下， 圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外 圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相 应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，系
11:02
工程力学电子教案
扭
转
25
理论分析和实验都表明，对于各向同性材料， 剪切弹性模量与其它两弹性参数E和n 之间存在下列 关系：
E G 2(1 n )
泊松比
以上即为薄壁圆筒受扭时的变形与应力理论。 它是实心圆杆扭转时变形与应力理论的基础。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
26
§8-2 圆杆扭转时的应力与变形
11:02
工程力学电子教案
扭
转
4
T a
A m O o
m
b b T o′ b′ O B
m
l
T
m
MT x
由图示任意横截面m- m左边一段杆的平衡条 件可知，受扭杆件横截面上的内力是一个作用于 横截面平面内的力偶。这一力偶之矩称为扭矩， 常用符号MT表示。
11:02
工程力学电子教案
扭
转
5
T
a A O o
工程力学电子教案
扭
转
1
第8章 扭
转
§8-0 扭矩和扭矩图 §8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 §8-3 强度条件及刚度条件 §8-4 等直圆杆在扭转时的应变能
工程力学9-扭转
实心圆：
Ip
d 4
32
空心圆：
I
p
(D4
32
d4)
D4
32
(1 4 )
抗扭截面系数
实心圆：
d 3
Wp 16
空心圆：
Wp
D3
16
(1 4 )
工程64力学
例题
传动轴如图所示，动力经齿轮2输送给传动轴，然 后由1、3两轮输出。若齿轮1和3输出的功率分别为 0.76kW和2.9kW，轴的转速为180rpm, 材料为45号钢， 轴的直径为28mm, 则该轴的最大切应力是多少，位于 哪段？
变形特征：横截面绕轴线转动。
工程14力学
扭转变形：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征 的变形形式。
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶 扭力偶矩：扭力偶的矩 轴：凡是以扭转为主要变形的直杆
轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移即扭转角表示。
工程15力学
§9-2 动力传递与扭转 一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系
工程25力学
取3-3截面右侧分析
列方程
Mx 0
T3 M D 0 T3 MD 2859 N m
工程26力学
由上述计算得到扭矩值
T1 4300N m T2 6690N m T3 2859N m
画扭矩图
TB
1 TC 2 TA 3 TD
B1C MTx（kN·m）
dA
r
O
M Mx
对圆心O 的微力矩 dM t (r)dAr
内力矩，扭矩 Mx
Mx
dM t (r)rdA A
代入物理关系和几何关系： M x
第八章工程力学之扭转全解
设 d DO2 D为半径转过的角度，亦即楔形体左、右两截面 间的相对扭转角。 设 dad ，由图形可以看出 dd dx d d 即： dx d 式中 代表扭转角沿轴线方向的变化率。对于同一截面，它 dx 是一个定值。由此可见，剪应变 与半径 成正比。
例如作图8-4（a）所示轴的扭矩图。
AB轴可以分为等扭矩的AC段和CB 段，AC段各截面的扭矩都等于T1， CB段各截面的扭矩都等于T2。建立 如图8-7所示坐标，水平轴代表各截 面的位置，垂直轴代表扭矩的大小， 正扭矩画在水平轴的上方，负扭矩画 在水平轴的下方，得到图8-7所示扭 矩图。
例8-3 图8-8（a）、图8-8（b）所示传动轴，转速n=300r/m。 A为主动轮，输入功率NA=10kW； B、C、D为从动轮，输出功 率分别为NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2.0kW。试绘轴的扭矩 图。
径线性分布。楔形体上的剪应力分布如图8-14所示。 结论： 圆轴扭转时横截面上的扭转剪应力 垂直于半径， 并与半径 成正比。横截面中心处的剪应力为零，外表面上 剪应力最大，在半径为 的各点处剪应力大小相等。 实心圆截面轴和空心圆截面轴横截面上的扭转剪应力的分 布情况分别如图8-15（a）、图8-15（b）所示。
2. 物理方面 以 代表横截面上半径为 处的剪应力，即d点处的剪应 力，根据剪切虎克定律，在弹性范围内，剪应力 和剪应变 成线性关系，即有 G
d 将（8-3）式代入上式，得： G dx 上式表明： 扭转剪应力 与半径 成正比，即剪应力沿半
'
上式表明： 在相互垂直的两个截面上，剪应力 必然成对存在，大小相等，都垂直于两个截面的 交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这 一规律称为剪应力互等定理。
工程力学扭转详解
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
工程力学 扭转
第7章 扭转7．1 扭转的概念和工程实际中的扭转问题扭转变形是杆件的基本变形之一。
它的外力特点是杆件受力偶作用，力偶作用在与轴线垂直的平面内，如图7-1所示。
杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角（angle of twist ）ϕ。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
工程上有很多圆截面等直杆，受到一对大小相等、方向相反的外力偶矩作用。
如图7-2所示的驾驶盘轴，在轮盘边缘作用一对方向相反的切向力构成一力偶。
根据平衡条件，在轴的另一端，必存在一反作用力偶，在此力偶矩作用下，各横截面绕轴线作相对旋转。
此轴产生的变形即为扭转变形。
在工程中，受扭杆件是很常见的，比如机械中的传动轴（图7-3）、攻螺纹所用丝锥的锥杆（图7-4）以及钻杆等，它们的主要变形都是扭转，但同时还可能伴随有拉压、弯曲等变形。
如果后者不大，往往可以忽略，或者在初步设计中，暂不考虑这些因素，将其视为扭转构件。
圆轴是最常见的扭转变形构件，本章主要讨论圆轴的扭转。
BAMAB ϕ图7-1图7-2图7-3图7-47. 2 杆件扭转时的内力要研究受扭杆件的应力和变形，首先需要计算杆件横截面上的内力。
一、外力偶矩的计算作用于圆轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，通常是给出轴的转速n 和轴所传递的功率P 。
此时需要根据功率、转速、力矩三者之间的关系来计算外力偶矩的大小。
以工程中常用的传动轴为例，已知它所传递的功率P 和转速n ，作用在轴上的外力偶矩可以通过功率P 和转速n 换算得到。
因为功率是每秒钟内所做的功，有602101033πωn M M P e e ⨯⨯=⨯⨯=−− 于是，作用在轴上的外力偶矩为nPM e 9550= (7-1) 式中:M e —作用在轴上的外力偶矩，单位为N·mP —轴传递的功率， 单位为kW ω—转轴的角速度，单位为rad/s n —轴的转速，单位为是r/min 。
扭转习题课工程力学重点整理及考试题型
扭转习题课工程力学重点整理及考试题型扭 转1. 一直径为1D 的实心轴，另一内径为d , 外径为D , 内外径之比为22D d =α的空心轴，若两轴横截面上的扭矩和最大切应力均分别相等，则两轴的横截面面积之比21A A 有四种答案： (A) 21α-； (B)324)1(α-；(C) 3242)]1)(1[(αα--；(D) 23241)1(αα--。
2. 圆轴扭转时满足平衡条件，但切应力超过比例极限，有下述四种结论： (A) (B) (C) (D) 切应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切胡克定律： 成立 不成立 成立 不成立3. 一内外径之比为D d =α的空心圆轴，当两端承受扭转力偶时，若横截面上的最大切应力为τ，则内圆周处的切应力有四种答案：(A) τ ； (B) ατ； (C) τα)1(3-； (D) τα)1(4-。
4. 长为l 、半径为r 、扭转刚度为p GI 的实心圆轴如图所示。
扭转时，表面的纵向线倾斜了γ角，在小变形情况下，此轴横截面上的扭矩T 及两端截面的相对扭径d ，材料的切变模量Ge M ，有四种答案：(A)a G d 128π34ϕ； (B) (C) a G d 32π34ϕ；8. 一直径为1D9. 圆轴的极限扭矩是指 扭矩。
对于理想弹塑性材料， 等直圆轴的极限扭矩是刚开始出现塑性变形时扭矩的 倍。
10. 矩形截面杆扭转变形的主要特征是 。
1-10题答案：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. B 8. 0.479. 横截面上的切应力都达到屈服极限时圆轴所能承担的扭矩；34 10. 横截面翘曲11. 已知一理想弹塑性材料的圆轴半径为R ，扭转加载到整个截面全部屈服，将扭矩卸掉所产生的残余应力如图所示，试证明图示残余应力所构成的扭矩为零。
证：截面切应力 R Rs ≤≤-=ρτρτρ0 )341( 截面扭矩 ⎰⎰=⋅-==Rs As d RdA T 00π2)341(ρρτρρρτ证毕。
工程力学中的扭转力学分析
工程力学中的扭转力学分析扭转力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在受到扭转力作用时产生的变形和应力分布。
在工程实践中，扭转力学的应用非常广泛，特别是在建筑、机械、航空航天等领域。
一、引言扭转力学研究的对象是物体在受到外界扭转力矩作用下的行为。
扭转力学涉及到以下几个关键概念：扭转角、扭转应变、扭转应力等。
二、基本原理与公式推导在扭转力学分析中，我们需要借助一些基本原理和公式来描述扭转的行为。
其中，最基本的原理是胡克定律，它表明物体在弹性阶段的扭转行为与受到的扭转力矩成正比。
公式推导过程如下：（1）胡克定律：θ = T / (G * J)其中，θ表示物体的扭转角，T表示扭转力矩，G表示切变模量，J 表示抗扭转性能指标。
（2）扭转应变：γ = θ * r / L其中，γ表示扭转应变，r表示被扭转物体的半径，L表示物体的长度。
（3）扭转应力：τ = G * γ其中，τ表示扭转应力。
三、典型扭转问题的分析在工程实践中，我们常常遇到一些典型的扭转问题，如轴材料的扭转分析、螺旋桨的扭转分析等。
下面以轴材料的扭转分析为例，介绍典型问题的求解过程：（1）问题描述：一根长度为L，半径为r的均质轴材料，在受到扭转力矩T作用下，求解轴的扭转角和轴的最大扭转应力。
（2）解答过程：首先，根据胡克定律可以得到轴的扭转角：θ = T / (G * J)，其中G 为轴材料的切变模量，J为轴的惯性矩。
然后，根据扭转应变公式可以得到轴的扭转应变：γ = θ * r / L。
最后，根据扭转应力公式可以得到轴的扭转应力：τ = G * γ。
四、工程应用示例扭转力学在工程中的应用非常广泛，例如在机械工程中，通过对扭转力学的分析，我们可以设计出更加合理的轴、齿轮等零件；在建筑工程中，我们可以通过扭转力学的分析，预测结构在风荷载下的变形和损伤等。
五、总结扭转力学是工程力学中的重要分支，研究物体在受到扭转力作用下的变形和应力分布。
本文通过引言、基本原理与公式推导、典型扭转问题的分析以及工程应用示例的介绍，对扭转力学的相关内容进行了阐述。
考研复习—工程力学——第6章 扭转
Wt
IP d2
d3
16
0.2d 3
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
2.圆环形截面
与圆形截面方法相同，如图所示，有
IP 2dA
A
D 2 2 3d
d2
32
D4 d 4
0.1 D4 d 4
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.3 极惯性矩Ip与抗扭截面模量Wt
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
6.2.3 扭矩图
例6-1 传动轴受力如图6-7(a)所示。转速n=300 r/min，主动轮A输
入功率PA=50 kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=15 kW，
PD=20 kW。试作出轴的扭矩图，并确定轴的最大扭矩值。
图6-7
第6章
6.2 扭转时横截面上的内力——扭矩
图6-8
第6章
6.3 扭转时横截面上的应力
6.3.1 横截面上的剪应力计算公式
由平面假设可推出如下推论： （1）横截面上无正应力。因为扭转变形时，横截面大小、形状、纵向间距均未 发生变化，说明没有发生线应变。由胡克定律可知，没有线应变，也就没有正应 力。
（2）横截面上有剪应力。因为扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动。但 对截面上的点而言，只要不是轴心点，那两截面上的相邻两点，实际发生的是相
第6章
6.4 圆轴扭转强度条件及应用
6.4.3 应用实例
（2）校核轴的强度。由扭矩图可知，最大扭矩在AB段，由于是等截面轴，故
AB段最危险。
max
T
Wt
267 103 0.2 303
工程力学 扭转
m
max Mn W p 51.7 MPa ＜
由 Wp D3 16 Mn
16
强度满足。
讨论： （1）改用实心轴，在最大应力不变时确定轴的直径；
max
得 D 53mm
（2）比较实心轴和空心轴的重量。 空心优于实心
Q Q A A D2 D 2 d 2 3.2
Mn1 n
Mn
mA
Mn2 mB
1210
x
Mn
-1590
x
讨论：交换AB轮的位置扭矩 将如何变化？
-2800
-1590
§3-3 薄壁圆筒的扭转
横截面上的应力: 直观判断：每点的τ垂直半径，方向顺着T 的转向。Τ沿截面均布。合力矩为:
2
T
R ds 2
0 0
R
2 0
R0 10
例3-2 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm,
[ ] 60MPa, m = 1.5 kNm。 校核轴的强度。 m Mn = m = 1.5 kNm , d D 0.944 解： D 3 1 4 29 106 m3 Wp
max
Mn Wp
3 . 扭转内力
扭转内力 : 扭矩 Mn
m m Mn （ +） n
m
扭转内力正负号规则 : 将右手的四指沿扭 矩的旋转方向弯曲,若 大拇指指向与横截面外 法线方向一致时为正。 反之,则为负。
（ +） Mn n
m （ -） Mn n Mn （ -） n
m
m
例３.1 已知:NA=19kW,NB=44kW, NC=25kW, n=150rpm 求:作图示传动轴的扭矩图
《工程力学》扭转
1
M n1L1 GI P
955103 300 80103 3.14 704
1.52103 rad
32
2
M n2 L2 GI P
673103 500 80103 3.14 704
1.69103 rad
32
所以 AC 1 2 1.52 1.69103 0.17103rad
(3)校核刚度。 AB段扭矩大于BC段．危险截面在AB段，因此对AB段进行刚度校核
(2)若许用扭转角 0.30 / m，校核该轴刚度。
解：（1）计算扭矩，画出扭矩图。用截面法求段轴的扭矩得 AB段：Mn1=955 N·m BC段：Mn3=－637 N·m
扭矩图如图7-14b所示。 （2）求相对扭转角 AC 。由于各段扭矩不同，那么其转动方向不同。所以应分段 计算扭转角，最后求和。即
正负号规定如下：按右手定则，四指顺着扭矩的转向握住轴线，大拇指指向与横 截面的外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负，如图7-5所示。
扭矩图 例7-1 绘制如图7-6(a)所示的阶梯轴的扭矩图。 解：(1)计算轴上各段横截面上的扭矩。将轴分为AB，BC两段，逐段计算扭矩： BC段：如图7-6(b)所示 M 0 ，T1 500N m AB段：如图7-6(c)所示 M 0 ，T2 2000 500 0
轴有足够强度而不会被破坏，要求圆轴工作时，不允许轴内最大扭转剪应力超过
材料的许可剪应力 。因此圆轴扭转时的强度条件为
≤ max
Mn Wn
（7-9）
式(7-9)称为圆轴扭转变形的强度条件。式中， 为材料的许用剪应力，Mn为危
险截面的扭矩，Wn为抗扭截面模量。
7.4 圆轴扭转强度条件及应用
例7-2 图7-13(a)所示阶梯形圆轴，AB段为实心部分，直径d1=40mm,BC段为空心
[课件]扭转练习题答案.docPPT
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P 1 4 1 M 9 5 4 9 ( 9 5 4 9 ) N m 6 6 8 N m e 1 n 2 0 0
P 3 0 1 4 1 M 9 5 4 9 ( 9 5 4 9 ) N m 7 6 4 N m e 2 n 2 0 0
M 6 6 8 N m e 1
T 9 5 4 9 ( 9 5 4 9 ) N m A B n 1 2 0 3 5 1 2 k N m
T 5 1 2 1 6 A B3 3 P a 1 7 . 9 M P a [ ] 2 0 M P a A B m a x W 0 . 1 t
各轴均满足强度要求
3.5 阶梯形圆轴的直径分别为d1=40mm， d2=70mm，轴上装有三个带轮，如图所示。已知 由轮3输入的功率为P3=30kW，轮1输出的功率为 P1=14kW。轴作匀速转动，转速n=200r/min。材 料的剪切许用应力[τ]=60MPa，G=80GPa，许用 扭转角[φ’]=2(0)/m 。试校核轴的强度和刚度。 解：
水轮机主轴的强度 1 5 0 0 0 T 9 5 4 9 N m 5 7 3 k N m 2 5 0 横截面上最大切应力为 T T m ax W p D3 (1 4 ) 16 5 7 3 0 0 0 P a 1 9 . 2 M P a 3 0 . 5 5 d4 [ 1 ( )] 1 6 D 主轴满足强度要求。
T 2 . 1 5 1 00 . 0 2 3 2 7 0 ( M P a ) I 0 . 0 5
4 P
3 T 2 . 1 51 0 1 6 8 7 . 6 ( M P a ) 3 W 0 . 0 5 t
工程力学—扭转变形
第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。
此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。
同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。
2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。
若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。
3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。
扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。
如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。
扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。
(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=， 163D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(3244a D I p -=π， )1(1643απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
工程力学-第七章-扭转
取 ef 截面左边部分，研究该隔离体的 平衡方程。
∑ Fη = 0
σ α dA + (τ dA cos α )sin α + (τ ′dA sin α )cos α = 0
∑ Fξ = 0
τ α dA − (τ dA cos α )cos α + (τ ′dA sin α )sin α = 0
利用切应力互等定理
τ α , max = τ
不同材料的等直圆杆扭转时的破坏形式也不相同： （a）低碳钢拉压强度高，剪切强度低，因此扭转破坏是剪断； （b）铸铁拉伸强度低于剪切强度，因此扭转破坏是沿与杆轴线 成 45o 倾角的拉断。
算例： 例题3-2
实心圆截面轴I和空心圆截面轴II（图a，b）的材料、
扭转力偶矩Me 和尺度 l 均相同，最大切应力也相等。若空心圆 截面内、外直径之比 α = 0.8 ，试求空心圆截面的外径与实心圆 截面直径之比及两轴的重量比。 思路： 已知条件：两杆的最 大切应力相等
§7-1概论
1．扭转构件
汽车的转向操纵杆
机器的传动轴
2. 扭转构件的计算简图
受力特征：
外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直 变形特征： 受力后杆件表面的纵向线变形成螺旋线，即杆件任意两 个横截面绕杆件轴线发生相对转动 本章主要介绍等直圆杆的扭转，简单介绍非圆截面杆的 扭转。 在介绍等直圆杆的扭转之前，先研究较简单的薄壁圆筒 的扭转问题，由此来介绍有关切应力、切应变及其关系式。
短边中点的切应力是该边上切应力的最大值
τ = vτ max
（3）矩形截面杆单位长度扭转角的计算公式：
T ϕ= G It I t 称为截面的相当极惯性矩，其计算公式为：
It = α b
最新材料力学 扭转答案说课讲解
3-1 一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为60kW，从动轮，Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。
试作轴的扭矩图。
解：kNkNkNkN返回3-2(3-3)圆轴的直径，转速为。
若该轴横截面上的最大切应力等于，试问所传递的功率为多大？解：故即又故返回3-3(3-5)实心圆轴的直径mm，长m，其两端所受外力偶矩，材料的切变模量。
试求：（1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角；（2）图示截面上A，B，C三点处切应力的数值及方向；（3）C点处的切应变。
解：=返回3-4(3-6)图示一等直圆杆，已知，，，。
试求：（1）最大切应力；（2）截面A相对于截面C的扭转角。
解：（1）由已知得扭矩图（a）（2）返回3-5(3-12)长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者材料相同，受力情况也一样。
实心轴直径为d；空心轴外径为D，内径为，且。
试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力），扭矩T相等时的重量比和刚度比。
解：重量比=因为即故故刚度比==返回3-6(3-15) 图示等直圆杆，已知外力偶矩，，许用切应力，许可单位长度扭转角，切变模量。
试确定该轴的直径d。
解：扭矩图如图（a）（1）考虑强度，最大扭矩在BC段，且（1）(2）考虑变形（2）比较式（1）、（2），取返回3-7(3-16) 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D=140mm，内径d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。
外力偶矩，，。
已知：，，。
试校核该轴的强度和刚度。
解：扭矩图如图（a）（1）强度=，BC段强度基本满足=故强度满足。
（2）刚度BC段：BC段刚度基本满足。
AE段：AE段刚度满足，显然EB段刚度也满足。
返回3-8(3-17) 习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力，切变模量，许可单位长度扭转角。
试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。
解：由3-1题得：故选用。
返回3-9(3-18) 一直径为d的实心圆杆如图，在承受扭转力偶矩后，测得圆杆表面与纵向线成方向上的线应变为。
工程力学a参考习题之扭转解题指导
剪切和扭转1一直径mm 40=d 的螺栓受拉力kN 100P =F 。
已知许用剪切应力MPa 60][=τ，求螺栓头所需的高度h 。
解题思路：（1）剪切面是直径为d ，高为h 的圆柱面；（2）应用剪切实用计算的强度条件（8-4）求螺栓头所需的高度h 。
答案：mm 3.13≥h2在测定材料剪切强度的剪切器内装一圆试件。
试件的直径mm 15=d ，当压力kN5.31=F 时，试件被剪断。
试求材料的名义剪切强度极限。
若取许用剪切应力MPa 80][=τ，试问安全系数等于多大解题思路：（1）材料的名义剪切强度极限是指试件被剪断时剪切面上的平均切应力； （2）圆试件有2个剪切面；（3）安全系数等于名义剪切强度极限除以许用切应力。
答案：MPa 2.89b =τ，1.1=n3用两块盖板和铆钉把两块主板对接起来，已知kN 300P =F ，主板厚mm 10=t ，每块盖板厚度m m 61=t ，材料的许用剪切应力MPa 100][=τ，许用挤压应力MPa 280][bs =σ。
若铆钉的直径mm 17=d ，求每边所需的铆钉数。
解题思路：（1）每个铆钉受力相等；（2）每个铆钉都有2个剪切面，由剪切实用计算的强度条件（8-4）求每边所需的铆钉数； （3）分别写出主板和盖板的挤压力和计算挤压面面积，由挤压强度条件（8-6）对主板和盖板进行挤压强度计算，求每边所需的铆钉数；（4）综合剪切实用计算和挤压强度的结果，确定每边所需的铆钉数。
答案：7=n4图示的铆接件中，已知铆钉直径mm 19=d ，钢板宽度mm 127=b ，厚度mm 7.12=δ，铆钉的许用剪切应力MPa 137][=τ，许用挤压应力MPa 314][bs =σ；钢板的拉伸许用应力MPa 98][=σ，许用挤压应力MPa 196][bs =σ。
假设四个铆钉所受的剪力相等，试求此联接件的许可载荷。
解题思路：（1）四个铆钉所受的剪力相等；（2）由剪切实用计算的强度条件（8-4）求许可荷载； （3）由挤压强度条件（8-6）求许可荷载；（4）分析上板或下板的轴力变化及各横截面面积的情况，确定拉伸可能危险截面，由拉伸强度条件（7-14）求许可荷载； （5）综合以上的结果，确定许可荷载。
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工程力学A参考习题之扭
转解题指导
标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
剪切和扭转
1一直径mm 40=d 的螺栓受拉力kN 100P =F 。
已知许用剪切应力MPa 60][=τ，求螺栓
头所需的高度h 。
解题思路：
（1）剪切面是直径为d ，高为h 的圆柱面；
（2）应用剪切实用计算的强度条件（8-4）求螺栓头所需的高度h 。
答案：mm 3.13≥h
2在测定材料剪切强度的剪切器内装一圆试件。
试件的直径mm 15=d ，当压力
kN 5.31=F 时，试件被剪断。
试求材料的名义剪切强度极限。
若取许用剪切应力MPa 80][=τ，试问安全系数等于多大
解题思路：
（1）材料的名义剪切强度极限是指试件被剪断时剪切面上的平均切应力； （2）圆试件有2个剪切面；
（3）安全系数等于名义剪切强度极限除以许用切应力。
答案：MPa 2.89b =τ，1.1=n
3用两块盖板和铆钉把两块主板对接起来，已知kN 300P =F ，主板厚mm 10=t ，每块盖
板厚度m m 61=t ，材料的许用剪切应力MPa 100][=τ，许用挤压应力
MPa 280][bs =σ。
若铆钉的直径mm 17=d ，求每边所需的铆钉数。
解题思路：
（1）每个铆钉受力相等；
（2）每个铆钉都有2个剪切面，由剪切实用计算的强度条件（8-4）求每边所需的铆钉数；
（3）分别写出主板和盖板的挤压力和计算挤压面面积，由挤压强度条件（8-6）对主板和盖板进行挤压强度计算，求每边所需的铆钉数；
（4）综合剪切实用计算和挤压强度的结果，确定每边所需的铆钉数。
答案：7=n
4图示的铆接件中，已知铆钉直径mm 19=d ，钢板宽度mm 127=b ，厚度mm 7.12=δ，
铆钉的许用剪切应力MPa 137][=τ，许用挤压应力MPa 314][bs =σ；钢板的拉伸许用应力MPa 98][=σ，许用挤压应力MPa 196][bs =σ。
假设四个铆钉所受的剪力相等，试求此联接件的许可载荷。
解题思路：
（1）四个铆钉所受的剪力相等；
（2）由剪切实用计算的强度条件（8-4）求许可荷载； （3）由挤压强度条件（8-6）求许可荷载；
（4）分析上板或下板的轴力变化及各横截面面积的情况，确定拉伸可能危险截面，由拉伸
强度条件（7-14）求许可荷载； （5）综合以上的结果，确定许可荷载。
答案：kN 134][P =F
5实心圆轴的直径mm 100=d ，长m 1=l ，两端受扭转外力偶矩m kN 14e ⋅=M 作用，设
材料的切变模量GPa 80=G ，试求：
（1）最大切应力max τ 及两端截面间的扭转角； （2）图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值及方向；
（3）C 点处的切应变。
解题思路：
（1）确定各横截面的扭矩；由式（8-10）和（8-11）求实心圆轴的I P 和W P ；由式（8-8）
求最大切应力max τ；由式（8-17）求两端截面间的扭转角；
（2）由式（8-7）求图示截面上A ，B ，C 三点处切应力的数值；其各点切应力的方向与截
面上扭矩的转向一致；
（3）由式（8-2）求C 点处的切应变。
答案：（1）MPa 3.71max =τ，
02.1=ϕ（2）MPa 3.71==B A ττ，MPa 65.35=C τ
（3）310446.0-⨯=C γ
6图示一直径为mm 80的等截面圆轴作匀速转动，转速r/min 200=n ，轴上装有五个轮
子，主动轮II 输入的功率为kW 60，从动轮I ，III ，IV ，V 依次输出功率kW 18，
kW 12，kW 22和kW 8，切变模量GPa 80=G 。
试：
（1）作轴的扭矩图； （2）求各段内的最大切应力； （3）求轴两端截面间的相对扭转角。
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在各轮上的转矩；分别写出各段的扭矩，作扭矩图； （2）由式（8-11）求实心圆轴的W P ；由式（8-8）求各段内的最大切应力；
（3）由式（8-10）求实心圆轴的I P ；由式（8-18b ）求轴两端截面间的相对扭转
角。
答案：MPa 05.20)(III II m ax =-τ， 008.1-=ϕ
7图示水轮发电机的功率为15000kW ，水轮机主轴的正常转速n =250r/min ，外径D =55cm ，内径d =30cm ，材料的许用切应力[]=50MPa ，切变模量G =80GPa ，许用单位长度扭转角[ ]=1º/ m ，试校核水轮机主轴的强度和刚度。
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在水轮机主轴上的转矩，确定轴横截面上的扭矩大小； （2）由式（8-12）和（8-13）分别计算空心轴的I P 和W P ； （3）由强度条件（8-20）校核水轮机主轴的强度；
（4）由刚度条件（8-25）校核水轮机主轴的刚度。
答案：MPa 2.19m ax =τ，m /05.0m ax =θ
8某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min ，输入功率P 1=370kW ，输出功率为P 2=150kW 及
P 3=220kW 。
已知材料的许用切应力[]=70MPa ，切变模量G =80GPa ，许用单位长度扭转角[ ]=1º/ m 。
试确定： (1) AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2 ； (2) 若全轴选同一直径，该值应为多少
(3) 主动轮与从动轮如何安排才使传动轴的受力更为合理
解题思路：
（1）由式（6-1）求作用在轴上的转矩，确定轴横截面上的扭矩大小； （2）写出实心轴圆截面极惯性矩和扭转截面系数表达式；
（3）由强度条件（8-20）和刚度条件（8-25）确定AB 段直径 d 1和 BC 段直径 d 2； （4）主动轮与从动轮的安排使传动轴上最大扭矩的数值较小的方案更为合理。
答案：（1）m m 851=d ，m m 752=d （2）略
（3）略
9变截面圆轴受力如图所示。
已知扭转外力偶矩M e1=1765N m ，M e2=1171N m ，材料的
切变模量G =，试：
（1）确定轴内最大切应力，并指出其作用位置； （2）确定轴内最大相对扭转角 max 。
解题思路：
（1）确定轴横截面上的扭矩大小；
（2）由式（8-10）和（8-11）分段计算I P 和W P ； （3）由式（8-8）分段计算最大切应力并作比较； （4）由式（8-18b ）确定轴内最大相对扭转角 max 。
答案：（1）MPa 7.47max =τ（BC 段）
（2）rad 1027.22m ax -⨯=ϕ。