代数学引论(聂灵沼,丁石孙版)第一章习题解答

5.
在 S3 中找出两个元素 x,y,适合 (xy) x y .
2 2 2 2 2 2
[思路] 在一个群 G 中，x,yG, xy=yx (xy) x y (这一点很容易证明).因此只要找到 S3 中两个不可交换的元 素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素. 解: 取 x=, y= 那么 (xy) = x y .
证明: [方法 1] 对任意 a,bG, ba=bae=ba(ab) =ba(ab)(ab) =ba b(ab)=beb(ab)=b (ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2] 对任意 a,bG, a b =e=(ab) , 由上一题的结论可知 G 为交换群.
2 2 2 2 2 2
-(n+1) n+1 -1 -n n -1 -1 k kr -1 r -n n
ba = a
(a ba )a=a a==,
8.
证明:群 G 为一交换群当且仅当映射是一同构映射.
证明: (Ⅰ)首先证明当群 G 为一个交换群时映射是一同构映射. 由逆元的唯一性及可知映射为一一对应，又因为 , 并且群 G 为一个交换群,可得 . 因此有 . 综上可知群 G 为一个交换群时映射是一同构映射. (Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群 G 为一个交换群. 若映射是一同构映射,则对任意有 , 另一方面，由逆元的性质可知 . 因此对任意有 , 即映射是一同构映射,则群 G 为一个交换群.
-1
-1
-1 -1
-1
bc =ac S，因此 a～c(传递性).
-1
-1
10. 设 n 为一个正整数, nZ 为正整数加群 Z 的一个子群，证明 nZ 与 Z 同构. 证明: 我们容易证明为 Z 到 nZ 的同构映射,故此 nZ 与 Z 同构.
11. 证明:在 S4 中，子集合 B={e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)} 是子群，证明 B 与 U4 不同构. 证明: 可记 a=(1 2)(3 4), b=(1 3)(2 4), c=(1 4)(2 3)，那么置换的乘积表格如下： e e a b c e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
2 2
a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1) ,
4.
设 G 是非空集合并在 G 内定义一个乘法 ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一对 元素 a,bG,下列方程 ax=b 和 ya=b
分别在 G 内恒有解，则 G 在该乘法下成一群. 证明： 取一元 aG,因 xa=a 在 G 内有解, 记一个解为 ea ,下面证明 ea 为 G 内的左幺元. 对任意 bG, ax=b 在 G 内有解, 记一个解为 c,那么有 ac=b ,所以 eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b, 因此 ea 为 G 内的左幺元.
2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
13. 设群 G 的阶为一偶数,证明 G 中必有一元素 ae 适合 a =e. 证明: 设 bG， 且阶数大于 2， 那么 b≠b ,而 b 的阶数与 b 的阶数相等.换句话说 G 中阶数大于 2 的元素成对出现， 幺元 e 的阶数为 1，注意到 G 的阶数为宜偶数，故此必存在一个 2 阶元，(切确的说阶数为 2 的元素有奇数 个).
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
对任意 aG, 有 aa =eS，故此 a～a(自反性);若 a～b，则 ab S,因为 S 为 G 的子群，故(ab ) =ba S, 因此 b～a(对称性);若 a～b，b～c,那么 ab S,bc S,故 ab 综上可知～是一个等价关系.
-1 -1 -1
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法 2] 为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内存在幺元(单位元)，并且证明 G 内每一个元素 都可逆即可. 为了叙述方便可设 G={a1,a2,…,an}. 1
Байду номын сангаас
(Ⅰ) 证明 G 内存在幺元. <1> 存在 atG，使得 a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明 a1at= ata1; 因为 a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1) 故此 a1(ata1)at= a1(a1at)at. 由条件(1),(2)可得到 a1at= ata1. <3> 证明 at 就是 G 的幺元; 对任意 akG, a1(atak) =(a1at)ak=a1ak 由条件(2)可知 atak=ak. 类似可证 akat=ak. 因此 at 就是 G 的幺元. (Ⅱ) 证明 G 内任意元素都可逆； 上面我们已经证明 G 内存在幺元，可以记幺元为 e，为了方便可用 a,b,c,…等符号记 G 内元素.下面 证明任意 aG，存在 bG，使得 ab=ba=e. <1> 对任意 aG，存在 bG，使得 ab=e; (这一点很容易证明这里略过.) <2> 证明 ba=ab=e; 因为 a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e 再由条件(2),(3)知 ba=ab. 因此 G 内任意元素都可逆. 由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知 G 在该乘法下成一群.
2
再者对任意 dG, xd=ea 在 G 内有解,即 G 内任意元素对 ea 存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此 G 在该乘 法下成一群.
[总结] 群有几种等价的定义: (1) 幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群. (2) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且 G 内包含幺元, G 内任意元素 都有逆元,则称 G 为该运算下的群. (3) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且 G 内包含左幺元, G 内任意元 素对左幺元都有左逆元,则称 G 为该运算下的群. (4) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对元素 a,bG,下列方 程 ax=b 和 ya=b 分别在 G 内恒有解，则称 G 为该运算下的群. 值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.
[说明]：表示置换, 剩下的类似.为了让更清楚，我们分别用 e,a,b,c,d,f 表示,,,,那么群表如下:
e e a b c e a b c
a a e c b
b b d e f 3
c c f a d
d d b f e
f f c d a
d f
d f
f d
a c
e b
c a
b e
6.
对于 n>2,作一阶为 2n 的非交换群.
2 2 2 2 2
12. 证明:如果在一阶为 2n 的群中有一 n 阶子群，它一定是正规子群. 证明:[方法 1] 设 H 是 2n 阶群 G 的 n 阶子群, 那么对任意 aH, 有 HaH=, 并且 aHG,HG,又注意到 aH 和 H 中都有 n 个元素, 故此 HaH=G. 同理可证对任意 aH, 有 HHa=, HHa=G， 因此对任意 aH，有 aH=Ha. 对任意 aH, 显然 aHH, HaH 又因 aH,Ha 及 H 中都有 n 个元素，故 aH=Ha=H. 综上可知对任意 aG,有 aH=Ha， 因此 H 是 G 的正规子群.
[方法 2] 设 H 是 2n 阶群 G 的 n 阶子群,那么任取 aH, hH, 显然有 aha H. 5
-1
对给定的 xH, 有 HxH=, HxH=G. 这是因为若假设 yHxH, 则存在 hH，使得 y=xh,即 x=yh H 产生矛盾,因此 HxH=;另一方面, xHG,HG, 又 注意到 xH 和 H 中都有 n 个元素, 故此 HxH=G. 那么任取 aH,由上面的分析可知 axH, 从而可令 a=xh1 这里 h1H. 假设存在 hH, 使得 aha H,则必有 aha xH,从而可令 aha =xh2 这里 h2H. 那么 xh1ha =xh2, 即 a= h2h1hH, 产生矛盾. 因此，任取 aH, hH, 有 aha H. 综上可知对任取 aG, hH, 有 aha H,因此 H 为 G 的一个正规子群.
第一章
2 2 2
代数基本概念
1.
如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab) =a b ,则 G 为交换群.
证明: 对任意 a,bG,由结合律我们可得到 (ab) =a(ba)b, a b =a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群 G 为交换群.
2 2 2 2
2.
如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a =e, 则 G 为交换群.
3.
设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 a=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;
证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1] 设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若 ij(I,j=1,2,…,n),有 akaiak aj------------<1> aiakaj ak------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意 atG, 存在 amG,使得 akam=at. 由<2>和<4>知对任意 atG, 存在 asG,使得 asak=at. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.
-1
9.
设 S 为群 G 的一个非空子集合，在 G 中定义一个关系 a～b 当且仅当 ab S.证明这是一
个等价关系的充分必要条件为 S 是一个子群. 证明: 首先证明若～是等价关系，则 S 是 G 的一个子群. 对任意 aG,有 a～a,故此 aa =eS； 对任意 a,bS,由(ab)b =aS,可知 ab～b，又 be =bS,故 b～e,由传递性可知 ab～e，即(ab)e =abS.再者 因 ae =aS, 故 a～e,由对称性可知 e～a，即 ea =a S.可见 S 是 G 的一个子群. 接着证明当 S 是 G 的一个子群,下面证明～是一个等价关系. 4
2 2 2
[注意] 我们可以通过 mathematica 软件编写 Sn 的群表,输出程序如下: Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*) (Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]); Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*) (Permutations[Table[i,{I,1,n}]]); Stable[n_]:=(*生成 Sn 群表*) (a=Se[n]; Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}]) 当 n=3 时群表如下：
-1 r -i i
7.
设 G 是一群, a,bG,如果 a ba=b ,其中 r 为一正整数,证明 a ba =.
证明： 我们采用数学归纳法证明. 当 k=1 时, a ba=b =, 结论成立；假设当 k=n 时结论成立, 即 a ba =成立, 下面证明当 k=n+1 时结论 也成立. 我们注意到 a b a== b , 因此 a 可见 k=n+1 时结论也成立. 由归纳原理可知结论得证.
由该表格可以知道 B 中的元素对置换的乘法封闭， 并且 B 的每一元都可逆(任意元的逆为其本身),因此 B 为 S4 的子群. 这个群(以及与其同构的群)称为 Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群. 假设 B 与 U4 同构,并设 f 为 B 到 U4 的同构映射, 则存在 B 中一元 x 使得 f(x)=i(i 为虚数单位),那么 f(x )= f (x)=i =-1 另一方面, f(x )=f(e)=1(注意 x =e),产生矛盾.所以假设不成立, 即 B 与 U4 不同构. [讨论] B 与 U4 都是 4 元交换群，但是后者是循环群, 前者不是, 这是这两个群的本质区别.