2009年天津市中考数学试卷及答案
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2009 年上海市初中毕业统一学业考试
数学卷
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上．】
1．计算 (a3 )2 的结果是（B ）
A． a5
B． a6
C． a8
D． a9
x 1 0， 2．不等式组 x 2 1 的解集是（ C ）
A． x 1
B． x 3
C． 1 x 3
D． 3 x 1
3．用换元法解分式方程 x 1 3x 1 0 时，如果设 x 1 y ，将原方程化为关于 y 的
x x 1
x
整式方程，那么这个整式方程是（ A ）
A． y2 y 3 0
B． y2 3y 1 0
C． 3y2 y 1 0
D． 3y2 y 1 0
4．抛物线 y 2(x m)2 n （ m，n 是常数）的顶点坐标是（ B ）
A． (m，n)
B． (m，n) C． (m， n)
D． (m， n)
5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ C ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 C．正三边形
6．如图 1，已知 AB ∥CD ∥ EF ，那么下列结论正确的是（A ） A
B
A． AD BC DF CE
B． BC DF CE AD
C
D
C． CD BC EF BE
D． CD AD EF AF
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
E
F
图1
【请将结果直线填入答题纸的相应位置】
用心 爱心 专心
1 7．分母有理化：． 5
5 5
8．方程 x 1 1的根是 x=2
．
1
9．如果关于
x
的方程
x2
x
k
0
（
k
为常数）有两个相等的实数根，那么
k
． 4
10．已知函数 f (x) 1 ，那么 f (3) —1/2
．
1 x
11．反比例函数 y 2 图像的两支分别在第 I x
III 象限．
12．将抛物线 y x2 向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式
是 y x2 ．
13．如果从小明等 6 名学生中任选 1 名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是
1/6
．
14．某商品的原价为 100 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m ，那么该商
品现在的价格是 100*(1—m)^2
元（结果用含 m 的代数式表
示）．
A
15．如图 2，在 △ABC 中， AD 是边 BC 上的中线，设向量 ，AB a BC b
如果用向量 a ， b 表示向量 AD ，那么 AD = a +( b /2)．
B
D
C
16．在圆 O 中，弦 AB 的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半
图2
径OA 5 ．
A
17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相平分，交点为
O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形 ABCD 成为矩形，
还需添加一个条件，这个条件可以是 AC=BD 或者有个内角等 B
于 90 度 ．
M
18．在 Rt△ABC 中， BAC 90°，AB 3，M 为边 BC 上的
点，联结 AM （如图 3 所示）．如果将 △ABM 沿直线 AM 翻折
图3
C
后，点 B 恰好落在边 AC 的中点处，那么点 M 到 AC 的距离是
2．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算： 2a 2 (a 1) a2 1 ．
a 1
a2 2a 1
= —1
20．（本题满分 10 分）
y x 1，
①
解方程组：
2
x
2
xy
2
0.
②
(X=2 y=3 )
(x=-1 y=0)
用心 爱心 专心
21．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分）
如图 4，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC，AB DC 8，B 60°，BC 12 ，联结 AC ．
（1）求 tan ACB 的值；
（2）若 M、N 分别是 AB、DC 的中点，联结 MN ，求线段 MN 的长．
(1) 二分之根号 3 （2）8
A
D
B
C
图4
22．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 2 分，第（2）小题满分 3 分，第（3）小题满分 2 分，第（4）小题满分 3 分） 为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别 抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示； 各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图 5 所示（其中六年级相关数据未标出）．
次数 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
人数 1
1
2
2
3
4
2
2
2
0
1
表一
根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：
（ 1） 六 年 级 的 被 测 试 人 数 占 所 有 被 测 试 人 数 的 百 分 率 是
20%
；
（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 6 ；
（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于 6 的人数所
占的百分率是 35%
；
（ 4） 在 所 有 被 测 试 者 的 “ 引 体 向 上 ” 次 数 中 ， 众 数 是
5
．
八年级 九年级
25%
30%
七年级 25% 六年级
图5
23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）
已知线段 AC 与 BD 相交于点 O ，联结 AB、DC ， E 为 OB A
D
的中点， F 为 OC 的中点，联结 EF （如图 6 所示）．
O
（1）添加条件 A D ， OEF OFE ，
求证： AB DC ．
B
E
F C
证明：由已知条件得：2OE=2OC OB=OC 又 A D
图6
角 AOB=角 DOC 所以三角形 ABO 全等于三角形 DOC
所以 AB DC
（2）分别将“ A D ”记为①，“ OEF OFE ”记为②，“ AB DC ”记为③，
添加条件①、③，以②为结论构成命题 1，添加条件②、③，以①为结论构成命题 2．命题 1
用心 爱心 专心
是 真 命题，命题 2 是 假
命题（选择“真”或“假”填入空格）．
24．（本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）
在直角坐标平面内， O 为原点，点 A 的坐标为 (1，0) ，点 C 的坐标为 (0，4) ，直线 CM ∥ x
轴（如图 7 所示）．点 B 与点 A 关于原点对称，直线 y x b （ b 为常数）经过点 B ，且
与直线 CM 相交于点 D ，联结 OD ．
（1）求 b 的值和点 D 的坐标；
y
（2）设点 P 在 x 轴的正半轴上，若 △POD 是等腰
三角形，求点 P 的坐标；
4C
D
（3）在（2）的条件下，如果以 PD 为半径的圆 P 与 圆 O 外切，求圆 O 的半径．
解：（1）点 B（—1，0），代入得到 b=1 直线 BD： y=x+1 Y=4 代入 x=3 点 D（3，1）
3
2
1
B
A
1 O 1
（2）1、PO=OD=5 则 P（5，0）
2、PD=OD=5 则 PO=2*3=6 则点 P（6，0）
图7
3、PD=PO 设 P（x，0） D（3，4）
则由勾股定理 解得 x=25/6 则点 P（25/6，0）
（3）由 P，D 两点坐标可以算出：
1、PD=2 5 r=5—2 5
2、PD=5 r=1
3、PD=25/6 r=0
y xb
M
x
25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 5 分）
已知 ABC 90°，AB 2，BC 3，AD ∥ BC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线
AB 上，且满足 PQ AD （如图 8 所示）． PC AB
（1）当 AD 2 ，且点 Q 与点 B 重合时（如图 9 所示），求线段 PC 的长；
（2）在图 8 中，联结 AP ．当 AD 3 ，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 B、Q 之间的距离 2
为 x ， S△APQ S△PBC
y ，其中 S△APQ 表示 △APQ 的面积， S△PBC 表示 △PBC 的面积，求 y 关
于 x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当 AD AB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 10 所示），求 QPC 的大小．
A
D
P
A
D
P
A
D
P
Q
B
C B（Q）
图8
图9
）
CB
C
图 10 Q
用心 爱心 专心
解 ： （ 1） AD=2， 且 Q 点 与 B 点 重 合 ， 根 据 题 意 ， ∠ PBC=∠ PDA， 因 为 ∠ A=90。
PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,
（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成 S1，S2， 高分别
是 H，h，
则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2
S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y，消去 H,h,得：
2
Y=-(1/4)*x+(1/2),
定义域：当点 P 运动到与 D 点重合时，X 的取值就是最大值，当 PC 垂直 BD 时，这时 X=0，
连接 DC,作 QD 垂直 DC，由已知条件得：B、Q、D、C 四点共圆，则由圆周角定理可以推知：
三角形 QDC 相似于三角形 ABD
QD/DC=AD/AB=3/4，令 QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：
直角三角形 AQD 中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2
直角三角形 QBC 中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0
得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:
Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为[0，7/8]
(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC，与 AB 交于 Q
′点，
则：B，Q′，P，C 四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB,
又由于 PQ/PC=AD/AB 所以，点 Q′与点 Q 重合，所以角∠QPC=90。
A
D
P
A
D
P
A
D
P
Q
B
C B（Q）
图8
）
图9
CB
C
图 10 Q
用心 爱心 专心
数学卷
（满分 150 分，考试时间 100 分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上．】
1．计算 (a3 )2 的结果是（B ）
A． a5
B． a6
C． a8
D． a9
x 1 0， 2．不等式组 x 2 1 的解集是（ C ）
A． x 1
B． x 3
C． 1 x 3
D． 3 x 1
3．用换元法解分式方程 x 1 3x 1 0 时，如果设 x 1 y ，将原方程化为关于 y 的
x x 1
x
整式方程，那么这个整式方程是（ A ）
A． y2 y 3 0
B． y2 3y 1 0
C． 3y2 y 1 0
D． 3y2 y 1 0
4．抛物线 y 2(x m)2 n （ m，n 是常数）的顶点坐标是（ B ）
A． (m，n)
B． (m，n) C． (m， n)
D． (m， n)
5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ C ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 C．正三边形
6．如图 1，已知 AB ∥CD ∥ EF ，那么下列结论正确的是（A ） A
B
A． AD BC DF CE
B． BC DF CE AD
C
D
C． CD BC EF BE
D． CD AD EF AF
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
E
F
图1
【请将结果直线填入答题纸的相应位置】
用心 爱心 专心
1 7．分母有理化：． 5
5 5
8．方程 x 1 1的根是 x=2
．
1
9．如果关于
x
的方程
x2
x
k
0
（
k
为常数）有两个相等的实数根，那么
k
． 4
10．已知函数 f (x) 1 ，那么 f (3) —1/2
．
1 x
11．反比例函数 y 2 图像的两支分别在第 I x
III 象限．
12．将抛物线 y x2 向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式
是 y x2 ．
13．如果从小明等 6 名学生中任选 1 名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是
1/6
．
14．某商品的原价为 100 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m ，那么该商
品现在的价格是 100*(1—m)^2
元（结果用含 m 的代数式表
示）．
A
15．如图 2，在 △ABC 中， AD 是边 BC 上的中线，设向量 ，AB a BC b
如果用向量 a ， b 表示向量 AD ，那么 AD = a +( b /2)．
B
D
C
16．在圆 O 中，弦 AB 的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半
图2
径OA 5 ．
A
17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相平分，交点为
O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形 ABCD 成为矩形，
还需添加一个条件，这个条件可以是 AC=BD 或者有个内角等 B
于 90 度 ．
M
18．在 Rt△ABC 中， BAC 90°，AB 3，M 为边 BC 上的
点，联结 AM （如图 3 所示）．如果将 △ABM 沿直线 AM 翻折
图3
C
后，点 B 恰好落在边 AC 的中点处，那么点 M 到 AC 的距离是
2．
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算： 2a 2 (a 1) a2 1 ．
a 1
a2 2a 1
= —1
20．（本题满分 10 分）
y x 1，
①
解方程组：
2
x
2
xy
2
0.
②
(X=2 y=3 )
(x=-1 y=0)
用心 爱心 专心
21．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分）
如图 4，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC，AB DC 8，B 60°，BC 12 ，联结 AC ．
（1）求 tan ACB 的值；
（2）若 M、N 分别是 AB、DC 的中点，联结 MN ，求线段 MN 的长．
(1) 二分之根号 3 （2）8
A
D
B
C
图4
22．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 2 分，第（2）小题满分 3 分，第（3）小题满分 2 分，第（4）小题满分 3 分） 为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别 抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示； 各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图 5 所示（其中六年级相关数据未标出）．
次数 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
人数 1
1
2
2
3
4
2
2
2
0
1
表一
根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）：
（ 1） 六 年 级 的 被 测 试 人 数 占 所 有 被 测 试 人 数 的 百 分 率 是
20%
；
（2）在所有被测试者中，九年级的人数是 6 ；
（3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于 6 的人数所
占的百分率是 35%
；
（ 4） 在 所 有 被 测 试 者 的 “ 引 体 向 上 ” 次 数 中 ， 众 数 是
5
．
八年级 九年级
25%
30%
七年级 25% 六年级
图5
23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）
已知线段 AC 与 BD 相交于点 O ，联结 AB、DC ， E 为 OB A
D
的中点， F 为 OC 的中点，联结 EF （如图 6 所示）．
O
（1）添加条件 A D ， OEF OFE ，
求证： AB DC ．
B
E
F C
证明：由已知条件得：2OE=2OC OB=OC 又 A D
图6
角 AOB=角 DOC 所以三角形 ABO 全等于三角形 DOC
所以 AB DC
（2）分别将“ A D ”记为①，“ OEF OFE ”记为②，“ AB DC ”记为③，
添加条件①、③，以②为结论构成命题 1，添加条件②、③，以①为结论构成命题 2．命题 1
用心 爱心 专心
是 真 命题，命题 2 是 假
命题（选择“真”或“假”填入空格）．
24．（本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）
在直角坐标平面内， O 为原点，点 A 的坐标为 (1，0) ，点 C 的坐标为 (0，4) ，直线 CM ∥ x
轴（如图 7 所示）．点 B 与点 A 关于原点对称，直线 y x b （ b 为常数）经过点 B ，且
与直线 CM 相交于点 D ，联结 OD ．
（1）求 b 的值和点 D 的坐标；
y
（2）设点 P 在 x 轴的正半轴上，若 △POD 是等腰
三角形，求点 P 的坐标；
4C
D
（3）在（2）的条件下，如果以 PD 为半径的圆 P 与 圆 O 外切，求圆 O 的半径．
解：（1）点 B（—1，0），代入得到 b=1 直线 BD： y=x+1 Y=4 代入 x=3 点 D（3，1）
3
2
1
B
A
1 O 1
（2）1、PO=OD=5 则 P（5，0）
2、PD=OD=5 则 PO=2*3=6 则点 P（6，0）
图7
3、PD=PO 设 P（x，0） D（3，4）
则由勾股定理 解得 x=25/6 则点 P（25/6，0）
（3）由 P，D 两点坐标可以算出：
1、PD=2 5 r=5—2 5
2、PD=5 r=1
3、PD=25/6 r=0
y xb
M
x
25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 5 分）
已知 ABC 90°，AB 2，BC 3，AD ∥ BC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线
AB 上，且满足 PQ AD （如图 8 所示）． PC AB
（1）当 AD 2 ，且点 Q 与点 B 重合时（如图 9 所示），求线段 PC 的长；
（2）在图 8 中，联结 AP ．当 AD 3 ，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 B、Q 之间的距离 2
为 x ， S△APQ S△PBC
y ，其中 S△APQ 表示 △APQ 的面积， S△PBC 表示 △PBC 的面积，求 y 关
于 x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当 AD AB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 10 所示），求 QPC 的大小．
A
D
P
A
D
P
A
D
P
Q
B
C B（Q）
图8
图9
）
CB
C
图 10 Q
用心 爱心 专心
解 ： （ 1） AD=2， 且 Q 点 与 B 点 重 合 ， 根 据 题 意 ， ∠ PBC=∠ PDA， 因 为 ∠ A=90。
PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,
（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成 S1，S2， 高分别
是 H，h，
则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2
S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y，消去 H,h,得：
2
Y=-(1/4)*x+(1/2),
定义域：当点 P 运动到与 D 点重合时，X 的取值就是最大值，当 PC 垂直 BD 时，这时 X=0，
连接 DC,作 QD 垂直 DC，由已知条件得：B、Q、D、C 四点共圆，则由圆周角定理可以推知：
三角形 QDC 相似于三角形 ABD
QD/DC=AD/AB=3/4，令 QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：
直角三角形 AQD 中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2
直角三角形 QBC 中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0
得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:
Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为[0，7/8]
(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC，与 AB 交于 Q
′点，
则：B，Q′，P，C 四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB,
又由于 PQ/PC=AD/AB 所以，点 Q′与点 Q 重合，所以角∠QPC=90。
A
D
P
A
D
P
A
D
P
Q
B
C B（Q）
图8
）
图9
CB
C
图 10 Q
用心 爱心 专心