高考数学复习《椭圆A》

椭圆A

【考点导读】 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;

2.

了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.

【基础练习】

1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2

213

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC

的周长是

2.椭圆

1422=+y x 的离心率为

2

3

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－2

3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是

22

1164

x y += 4. 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为5

44

k k ==-或 【范例导析】 例1.（1）求经过点35

(,)22

-

，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 （2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P （3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。

【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、

b 、

c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程.

解：（1）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22

221y x a b

+=（0a b >>）， 由椭圆的定义知，

2a ===

∴10a =，又∵2c =，∴222

1046b a c =-=-=，

所以，椭圆的标准方程为

22

1106

y x +=。 （2）方法一：①若焦点在x 轴上，设方程为

()22

22

10x y a b a b +=>>， ∵点P （3,0）在该椭圆上∴2

91a

=即29a =又3a b =，∴2

1b =∴椭圆的方程为

2219x y +=.

②若焦点在y 轴上，设方程为

()22

22

10y x a b a b +=>>， ∵点P （3,0）在该椭圆上∴2

91b

=即29b =又3a b =，∴2

81a =∴椭圆的方程为221819y x +=

方法二：设椭圆方程为

()2210,0,Ax By A B A B +=>>≠.∵点

P （3,0）在该椭圆上∴9A=1，即

1

9

A =

,又3a b =∴1181

B =或，2

81a =∴椭圆的方程为2219x y +=或221819y x +=.

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x 轴上，设方程为()22

2210x y a b a b +=>>，若焦点在y 轴上，设方程为()22

2210y x a b a b

+=>>，有时为了运算方便，也可设为221Ax By +=，其中 0,0,A B A B >>≠.

例2.点A 、B

分别是椭圆

120

362

2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，

PF PA ⊥。

（1）求点P 的坐标；

（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||

MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

【分析】①列方程组求得P 坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围. 解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

设点P(x ,y ),则AP u u u r =（x +6, y ）,FP uu u r

=（x －4, y ）,由已知可得 22

213620

(6)(4)0

x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩

则22

x +9x －18=0, x =23或x =－6. 由于

y >0,只能x =

2

3

,于是y =

235. ∴点P 的坐标是(

23,

2

3

5)

(2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0. 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是

2

6+m .

于是

2

6

+m =

6m -,又－6≤m ≤6,解得m =2. 椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有

222222549

(2)4420()15992

d x y x x x x =-+=-++-=-+,

由于－6≤m ≤6, ∴当x =2

9

时,d 取得最小值15

点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.

【反馈练习】 1.如果

222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（0，1）

2.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

1

3.椭圆3

1222y x +

=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的7倍

4.若椭圆

22

15x y m

+=的离心率5e =,则m 的值为25

33

或

5.．椭圆

13

42

2=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离为2

6.与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，的椭圆的标准方程是22186x y +=或22

3412525

y x += 7.椭圆14

162

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是10

8. 已知

P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为

3

5

4和

3

52，过

P 点作焦点所在轴的垂线，

它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a 和b （或2

a 和2

b ）的值．从而求得椭圆方程．

解：设两焦点为1F 、2F ，且3

541=

PF ，

3

522=

PF ．

从椭圆定义知

52221=+=PF PF a ．即5=

a ． 从

21PF PF >知

2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，2

1

sin 1

22

1=

=

∠PF PF F PF ， 可求出6

2

1π

=

∠F PF ，3

526

cos

21=

⋅=π

PF c

，从而3102

22=-=c a b ．