全国版2019版高考数学一轮复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法学案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲一元二次不等式及其解法
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 一元二次不等式的解法
1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
2．计算相应的判别式．
3．当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
4．利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
考点2 三个二次之间的关系
[必会结论]
1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2
－4ac ≤0.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．[课本改编]不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≤1或x ≥2} C ．{x |1
答案 A
解析 因为(x －1)(2－x )≥0，所以(x －2)(x －1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤x ≤2.故选A.
3．[2018·辽阳统考]不等式
x －2
x ＋1
≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1,2]
答案 D 解析
x －2
x ＋1
≤0⇔(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1,2]．故选D. 4．若不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)，则不等式b (x 2
－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－43，1 B ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由不等式ax 2
＋bx ＋c >0的解集为(－4,1)， 知a <0且－4,1是方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的两根．
∴－4＋1＝－b
a ，且－4×1＝c a
，即b ＝3a ，c ＝－4a .则所求不等式转化为3a (x 2
－1)＋
a (x ＋3)－4a >0，
即3x 2
＋x －4<0，解得－43
5．不等式(a －2)x 2 ＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2,2] C ．(－2,2) D ．(－∞，2) 答案 B 解析 ∵⎩⎪⎨ ⎪⎧ a －2<0，Δ<0， ∴－2 2 板块二 典例探究·考向突破 考向 一元二次不等式的解法 例 1 解下列关于x 的不等式： (1)0 －x －2≤4； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 解 (1)原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 －x －2>0，x 2－x －2≤4 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 －x －2>0，x 2 －x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)>0， (x －3)(x ＋2)≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2 a ； ③当a >1时，其解为1 a ④当a ＝1时，无解； ⑤当a <0时，不等式化为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x －1a (x －1)>0，其解为x <1a 或x >1. 综上所述a ＝0时，不等式解集为{x |x >1}；