信息学奥赛一本通第4章第5节并查集(C 版)课件

引例
• • 【算法分析】 将每个人抽象成为一个点，数据给出M个边的关系，两个人是亲戚的时 候两点间有一条边。很自然的就得到了一个N个顶点M条边的图论模型，注意 到传递关系，在图中一个连通块中的任意点之间都是亲戚。对于最后的Q个提 问，即判断所提问的两个顶点是否在同一个连通块中。 • 用传统的思路，可以马上反应过来，对于输入的N个点M条边，找出连通 块，然后进行判断。但这种实现思路首先必须保存M条边，然后再进行普通的 遍历算法，效率显然不高。再进一步考虑，如果把题目的要求改一改，对于 边和提问相间输入，即把题目改成： • 第一行是N，M。N为问题涉及的人的个数(1≤N≤20000)。这些人的编 号为1,2,3,…, N。下面有M行(1≤M≤2 000 000)，每行有三个数ki,ai, bi。 ai, bi表示两个元素，ki为0或1，ki为1时表示这是一条边的信息，即ai, bi是 亲戚关系；ki为0时表示是一个提问，根据此行以前所得到的信息，判断ai, bi是否亲戚，对于每条提问回答Yes或者No。 • 这个问题比原问题更复杂些，需要在任何时候回答提问的两个人的关系， 并且对于信息提示还要能立即合并两个连通块。采用连通图思想显然在实现 上就有所困难，因为要表示人与人之间的关系。
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并查集的基本思想
1、什么叫并查集 并查集（union-find set）是一种用于分离集合操作的抽象数据类型。它所处 理的是“集合”之间的关系，即动态地维护和处理集合元素之间复杂的关系，当给 出两个元素的一个无序对(a,b)时，需要快速“合并”a和b分别所在的集合，这其 间需要反复“查找”某元素所在的集合。“并”、“查”和“集”三字由此而来。 在这种数据类型中，n个不同的元素被分为若干组。每组是一个集合，这种集合叫 做分离集合（disjoint set）。并查集支持查找一个元素所属的集合以及两个元素 各自所属的集合的合并。பைடு நூலகம்例如，有这样的问题：初始时n个元素分属不同的n个集合，通过不断的给出元 素间的联系，要求实时的统计元素间的关系（是否存在直接或间接的联系）。这时 就有了并查集的用武之地了。元素间是否有联系，只要判断两个元素是否属于同一 个集合；而给出元素间的联系，建立这种联系，则只需合并两个元素各自所属的集 合。这些操作都是并查集所提供的。 并查集本身不具有结构，必须借助一定的数据结构以得到支持和实现。数据结 构的选择是一个重要的环节，选择不同的数据结构可能会在查找和合并的操作效率 上有很大的差别，但操作实现都比较简单高效。并查集的数据结构实现方法很多， 数组实现、链表实现和树实现。一般用的比较多的是数组实现。
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引例
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引例
• • • 【例4-9】、亲戚(relation) 【问题描述】 或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲戚。他可能是你的曾祖父的外公的 女婿的外甥女的表姐的孙子。如果能得到完整的家谱，判断两个人是否亲戚 应该是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代，使得家谱 十分庞大，那么检验亲戚关系实非人力所能及。在这种情况下，最好的帮手 就是计算机。为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如Marry和 Tom是亲戚，Tom和Ben是亲戚，等等。从这些信息中，你可以推出Marry和 Ben是亲戚。请写一个程序，对于我们的关于亲戚关系的提问，以最快的速 度给出答案。 【输入格式】 输入由两部分组成。 第一部分以N，M开始。N为问题涉及的人的个数(1≤N≤20000)。这些人的编 号为1,2,3,…, N。下面有M行(1≤M≤1 000 000)，每行有两个数ai, bi，表示已 知ai和bi是亲戚。 第二部分以Q开始。以下Q行有Q个询问(1≤Q≤1 000 000)，每行为ci, di，表 示询问ci和di是否为亲戚。
第五节 并查集
引入
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在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一 个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其 间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息 学的国际国内竞赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常 的数据结构来描述的话，往往超过了空间的限制，计算机无法承受；即使在 空间上能勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本不可能在比赛规定的运 行时间内计算出试题需要的结果，只能采用一种特殊数据结构——并查集来 描述。
引例
用集合的思路，对于每个人建立一个集合，开始的时候集合元素是这个人本 身，表示开始时不知道任何人是他的亲戚。以后每次给出一个亲戚关系时， 就将两个集合合并。这样实时地得到了在当前状态下的集合关系。如果有提 问，即在当前得到的结果中看两元素是否属于同一集合。对于样例数据的解 释如下图1： 输入关系 分离集合 初始状态 {1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8}{9}{10} (2,4) {1}{2,4}{3}{5}{6}{7}{8}{9}{10} (5,7) {1}{2,4}{3}{5,7}{6}{8}{9}{10} (1,3) {1,3}{2,4}{5,7}{6}{8}{9}{10} (8,9) {1,3}{2,4}{5,7}{6}{8,9}{10} (1,2) {1,2,3,4}{5,7}{6}{8,9}{10} (5,6) {1,2,3,4}{5,6,7}{8,9}{10} (2,3) {1,2,3,4}{5,6,7}{8,9}{10} 图1 由图1可以看出，操作是在集合的基础上进行的，没有必要保存所有的边， 而且每一步得到的划分方式是动态的。 那么，如何来实现以上的算法思想呢？我们就用到并查集。