层次分析法原理

,
w2 ,..., wn )
叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
小石块W1 小石块W2 … 小石块Wn
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a. 将A的每一列向量归一化得： ij
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数） n ~ a /a w
P 1 P2 P3
相对于旅途
P 1 P2 P3
P 1 3 4 1 B4 P2 1 / 3 1 1 P3 1 / 4 1 ` 1
P 1 1 1/ 4 1 B5 P2 1 1 1 / 4 P3 4 4 1
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（3）层次单排序
0.559 0.082 0.429 0.633 0.166 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668
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（5）层次总排序
常 规 思 维 过 程
确定这些准则在你心目中各占的比重多大；
就每一准则将三个地点进行对比；
将这两个层次的比较判断进行综合，作出选择。
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（1） 建立层次结构模型
目标层Z 选择旅游目的地
拟解决的问题 （总目标）
准则层C
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
为实现总目标 而采取的措施 和方案
方案层P
P1
P2
P3
用于解决问题 的备选方案
选择旅游地的层次结构
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（2）构造判断矩阵
通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩 阵。在层次分析法中，为使矩阵中的各要素的重要性能够进行 定量显示，引进了矩阵判断标度（1～9标度法） : 标度 含义 1 3 表示两个元素相比，具有同样的重要性 表示两个元素相比，前者比后者稍重要
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次 各因素的重要性的排序。 具体计算是：对于判断矩阵B，计算满足 BW max W 的 特征根与特征向量。
W 式中 max 为 B 的最大特征根， 为对应于 max 的正规化 W 的特征向量， 的分量 i 即是相应元素单排序的权值。
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基本概念
层次分析法原理
章牧
暨南大学 旅游实验教学中心 暨南大学深圳旅游学院 地理信息系统与旅 游信息技术实验室
背景介绍
AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运 筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多 方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将 定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把 决策过程层次化、数量化。
ij
~ ~ ~ b. 对 wij 按行求和得：wi wij n
i 1
n
i 1
ij
~ ~ j ~ 归一化 wi wi / wi , w1 ( w1 , w2 ,..., wn ) T，即为近似特征根（权向量） c. 将 wi
n 1 ( Aw ) i d. 计算 n i 1 wi
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设准则层包含5个准则，景色：C1，费用：C2，居 住：C 3 ，饮食：C 4 ，旅途：C 5 。相对于目标层：选择 旅游地，进行两两比较打分。 选择旅游目的地
景 色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
C1 C2
C1 1 C2 2 A C3 1 / 4 C4 1 / 3 C5 1 / 3 1
相对于费用
P P2 P3 1 P 1 1/ 3 1/ 8 1 B2 P2 3 1 1 / 3 P3 8 3 ` 1
相对于居住
P P2 1 P 1 1 1 B3 P2 1 1 P3 1 / 3 1 / 3 P3 3 3 ` 1
相对于饮食
所对应的特征向量分别为：
max( 4) 3.009 ,
max( 5) 3.
W2( 3)
0.082 0.429 0.633 0.166 ( 3) ( 3) ( 3) 0.236 W3 0.429 , W4 0.193 , W5 0.166 . 0.682 0.142 0.175 0.668
该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定 量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活 简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能 源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到 了广泛的重视和应用。
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层次分析法的基本思路：先分解后综合
整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析 有机结合，实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要 达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素 间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合， 形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、 措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的 权值或相对优劣次序的问题。
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第一步：自上而下，先求判断矩阵A的最大特征 根与特征向量。
1 2 A 1 / 4 1 / 3 1 / 3
1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3
3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
max 5.073 对应于 max 的正规化的特征向量为：
前述计算得到了最大特征跟： max 5.073
CI
max - n
n -1

5.073 - 5 0.01825 5 -1
查表知平均随机一致性指标RI，从而可检验矩阵一致性：
CR CI 0.01825 0.016295 0.1 RI 1.12
同理，对于第二层次的景色、费用、居住、饮食、旅途五 个判断矩阵的一致性检验均通过。
什么是权重（权系数）？ 在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn 的线性组合： z w x + w x + L + w x
n
其中 w i 0 , w i . 1 则 标Z的权重， i 1
1 1
2
2
n
n
n
w 1 , w 2 ,..., w
T
叫各因素对于目
w ( w1
，作为最大特征根的近似值。
0.6 0.615 0.545 按行求和 0.3 0.308 0.364 0.1 0.077 0.091 1.760 0.972 0.268
1 2 6 列向量 A 1 / 2 1 4 归一化 例： 1 / 6 1 / 4 1
W ( 2) (0.263,0.475,0.055,0.099 ,0.110 )T
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第二步：计算与准则层各准则相关的判断矩阵最大特征 跟及权向量：
相对于景色
P 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P2
P3
P1 1 2 5 B1 P2 1 / 2 1 2 P3 1 / 5 1 / 2 ` 1
n RI 1 0 2 0 3 4 5 6 7 8 9 1.45 10 11
0.58 0.90 1.12 1.24
1.32 1.41
1.49 1.51
（3）一致性比率（用于确定A的不一致性的容许范围） CI CR RI 当CR<0.1时，A的不一致性程度在容许范围 内，此时可用A的特征向量作为权向量。
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矩阵与向量的乘积计算：
a11 AW a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a33 W1 W3 a 23 W2
AW1 a11 W1 + a12 W2 + a13 W3 AW2 a 21 W1 + a 22 W2 + a 23 W3 AW3 a31 W1 + a32 W2 + a33 W3
P2
0.429 0.429 0.142
P3
0.633 0.193 0.175 0.166 0.166 0.668
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以 Wk(3)为列向量构成矩阵：
W (3) (W1(3) ,W2(3) ,W3(3) ,W4(3) ,W5(3) )
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7 9
表示两个元素相比，前者比后者明显重要
表示两个元素相比，前者比后者极其重要 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要
2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值
倒数：若元素i和元素j的重要性之比为aij,那么元素j与元 素i的重要性之比为aji=1/aij 对于要比较的因子而言，你认为一样重要就是1:1，强烈重 要就是9:1，也可以取中间数值6:1等，两两比较，把数值填入， 并排列成判断矩阵（判断矩阵是对角线积是1的正反矩阵即可）。
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用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：
（1） 建立层次结构模型；
（2）构造判断矩阵； （3）层次单排序； （4）一致性检验； （5）层次总排序。
其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
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实例：人们在日常生活中经常会碰到多目标决策问题，例如 假期某人想要出去旅游，现有三个目的地（方案）：风光绮 丽的杭州（P1）、迷人的北戴河（P2）和山水甲天下的桂林 （P3）。假如选择的标准和依据（行动方案准则）有5个： 景色，费用，饮食，居住和旅途。则常规思维的方式如下：
C3 C4
3 7
C5
1/ 2 4 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3
3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1
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构造所有相对于不同准则的方案层判断矩阵
相对于景色
P P2 1 P1 1 2 B1 P2 1 / 2 1 P3 1 / 5 1 / 2 P3 5 2 ` 1
经计算得：max 3.005
W1( 3)
对应于 max 的正规化的特征向量为：
0.595 0.277 0.129
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第三步，算出 B2 , B3 , B4 , B5 的最大特征值分别为：
max( 2) 3.002 , max( 3) 3,
1 Aw 1 / 2 1 / 6
2
1
1/ 4
6 4 1
0 . 587 0 . 324 0 . 089

1 . 769 0 . 974 0 . 268

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判断矩阵的一致性检验
判断矩阵通常是不一致的，但是为了能用它的对应于特 征根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应 在容许的范围内.如何确定这个范围？ CI=0 时A一致； CI - n （1）一致性指标： n -1 CI 越大，A的不一致性程度 越严重。 （2）随机一致性指标RI：
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利用层次结构图绘出从目标层到方案层的计算结果：
选择旅游地
0.263 景 色
0.475 费 用
0.055 居 住
0.099 饮 食
0.110 旅 途
P1
0.595 0.277 0.129 0.082 0.236 0.682
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（4）一致性检验
1 2 A 1 / 4 1 / 3 1 / 3 1/ 2 4 1 7 1/ 7 1 1/ 5 2 1/ 5 3 3 5 5 1 / 2 1 / 3 1 1 1 1 3
a14 3, a43 2
a13 a14 a43 3 2 6.
1.769 0.587 归一化 0.324 w Aw 0.974 0.268 0.089
1 ( 1.769 + 0.974 + 0.268 ) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, max=3.009