3.3 行列式与矩阵的逆

3. 行列式的乘积法则 4. 分块三角行列式的计算公式 5. Cramer 法则．
因此
A1 x a, A
A3 A2 y b, z c, A A
即三个平面的交点为(a, b, c).
行列式与矩阵的逆
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内容小结
1. 逆矩阵 A1存在 |A| 0． 2. 求逆矩阵的方法 (1) 待定系数法; (2) 伴随矩阵法; (3) 初等变换法．
1 A A. | A|
1
当 | A | 0 时, 称 A 为奇异矩阵, 否则称 A 为非奇异矩阵. 因此, A 为可逆矩阵当且仅当 A 为非奇异矩阵. 由定理3.11, 可得求逆矩阵的伴随矩阵法.
行列式与矩阵的逆
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1 2 3 例3.5 求矩阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3
x y z a b c, 2 2 2 ax by cz a b c , bcx cay abz 3abc .
行列式与矩阵的逆
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该方程组的系数行列式
1
1
1
A a b c a ba c b c2 c1 bc ca ab bc c(a b) a (b c )
Em C
0 B
| B|.
行列式与矩阵的逆
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因此由行列式乘积法则及前面两个式子, 可得
A 0 A 0 Em C B C E n 0
A C 0 Em En 0
0 B
0 A B . B
根据上式及定理3.10即得
A D | A|| B | . 0 B
于是 因此
6 4 2 A 3 6 5 . 2 2 2 6 4 2 1 1 1 5 . A A 3 6 2 | A| 2 2 2
行列式与矩阵的逆
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3.3.2 行列式乘积法则
定理3.12 设 A, B 均为 n 阶矩阵, 则 | AB | | A | | B | . 证 对于矩阵 A, 必有初等矩阵 P1, P2, , Pl 和阶梯矩 阵 H, 使得 A P1P2 Pl H. 若 A不可逆, 则 H 的最后一行全为零, 从而 HB 的最后 一行全为零, 故 | H | 0, | HB | 0, 于是
予上式右端的矩阵一个名称.
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定义3.2 设 A [aij] 为 n 阶矩阵, n 2, 行列式 | A| 中各
元 aij 的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵
A11 A 12 A1n
A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
0 0 7 7
0 1 2 7 8 0 (8) 224. 8 3 4 7 6 6
行列Biblioteka Baidu与矩阵的逆
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3.3.3 Cramer 法则
定理3.14 (Cramer 法则) 若 nn 线性方程组 Ax b 的 系数行列式 | A| 0, 则方程组有唯一解
An A1 A2 x1 , x2 , , xn , A A A
将 | Aj| 按第 j 列展开, 得
A21 A22 A2 n
An1 b1 An 2 b2 . Ann bn
b1A a1, a1n, 1, j 1 j 1 a11 Aj b1a A b b A 1j 2 2j n nj n a21 a2, j 1 b2 a2, j 1 a1n bk Akj Aj 从而 k 1 Aj a 1a a b a xj (nb n bn A )1 11 A n ,2j j 1 n ,nj j ,nnj 1, 2,, n. 1 j b2 A
A P 1 P 2 P l H 0,
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AB P 1 P 2 P l HB 0,
即
| AB | | A | | B | .
若 A 可逆, 则 H E, 于是
AB P 1 P 2 P l B ( P 1 P 2 P l B
1 a a 1 b 1
c1 bc2 cc3
a
1
1
c a A , bc ca ab
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1
abc
2 2 2
1 c b A , ab
A2 a a b c bc 3abc
1
1
abc
A3 a b a 2 b 2 c 2 c A , bc ca 3abc
c3 c2
1
0
0
ba c b (a b)(b c)(c a), c(a b) a(b c)
由 Cramer 法则知, 当 a, b, c 互不相等时, |A| 0, 方程组 有唯一解. 并且
行列式与矩阵的逆
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abc
1
1
A1 a 2 b 2 c 2 b c a 2 b c 3abc ca ab abc ca ab
| Α|| B | .
注 1815年 Cauchy 得到推广的矩阵乘积的行列式公式. 1812年 Binet 曾叙述过上述公式但没有给出证明.
行列式与矩阵的逆
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例3.6 设 A 是三阶可逆矩阵, 且 | A| a, 求行列式
|( 2 A)1 Α | .
解 因 A 可逆, 故 | A| a 0, 且
解 因 | A | 2
2 1 2 0, 故 A1存在. 3 4 3
2 2 2 1 2 1 2, A11 2, A12 3, A13 3 4 4 3 3 3
同理可得
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A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2.
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进一步有, n n 线性方程组 Ax b有唯一解的充要条件
是系数行列式 | A| 0.
n n 齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是系 数行列式 | A| 0. Cramer 法则既给出了n n 线性方程组解的一个简洁表 达式, 也提供了一种求解方法. 不过, 用 Cramer 法则求解线性方程组的计算量要比消 元法大得多, 因此Cramer 法则重要的是理论价值.
第3章 行列式
3.1 n 阶行列式的概念 3.2 行列式的性质
3.3 行列式与矩阵的逆
3.4 行列式的计算 3.5 行列式与矩阵的秩
3.3 行列式与矩阵的逆
3.3.1 伴随矩阵与矩阵的逆 3.3.2 行列式乘积法则 3.3.3 Cramer 法则
内容小结
行列式与矩阵的逆
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3.3.1 伴随矩阵与矩阵的逆
行列式与矩阵的逆
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1 7 0 例3.7 计算行列式 | A | 0 0 0
2 6 0 0 0 0
3 5 1 3 5 9
4 4 2 4 6 8
5 3 0 0 7 7
6 2 0 . 0 8 6
解 将| A | 分块, 再应用推论3.13, 得
1 1 2 3 | A| 7 6 5 9
2 4 6 8
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例3.8 已知三个平面的方程分别为
x y z abc , ax by cz a 2 b 2 c 2 , bcx cay abz 3abc ,
试问 a, b, c 满足什么条件时, 三个平面交于一点?
请求出它们的交点.
解 三个平面交于一点等价于下列方程组有唯一解:
| Α|
A
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再证唯一性. 由 A 可逆知 rankA n. 而
rankΑ rank[Α b] n,
于是
rankΑ rank[Α b] n,
故方程组 Ax b 有唯一的解.
注 1750年, Cramer发表用行列式解线性方程组的方法.
1729 年 Maclaurin 也得到过这个法则.
其中 | Aj| 是用常数项向量 b 替代 A 中第 j 列得到的 n 阶 行列式.
1 证 因 | A| 0, 故 A 的逆矩阵 A1存在, 所以 x A b 是
方程组的解, 即
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x1 A11 x A 2 Α1b 1 Αb 1 12 | Α| | Α| xn A1n
“两调一除”法求二阶矩阵 A [aij] 的逆矩阵的公式:
a22 a12 1 A a a a11a22 a12 a21 21 11
1
1 A11 | A A12
A21 . A22
为了将逆矩阵的这种表达式推广到 n 阶矩阵, 首先给
从而
1 1 (2 A) A , Α | A | A1 aA1 , 2
1
1 1 1 1 1 | (2 A) Α | A aΑ a A 2 2
1
3 (1 2 a ) 1 . a | A1 | 8a 2
称为 A 的伴随矩阵, 记作 A . 于是对二阶可逆矩阵 A, 有
1 A A. | A|
1
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定理3.11 设 A 为 n 阶矩阵, 则当 n 2时, 有
AA A A | Α | E .
进一步, A 可逆的充要条件是 | A| 0. 且当 n 2时, 有
3
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已知: 三角行列式等于主对角元之积.
问: 分块三角行列式是否也有类似的性质呢?
推论3.13 对任意 m 阶矩阵 A 和任意 n 阶矩阵 B, 有
A C
0 B
| A|| B | ,
A D 0 B
| A|| B | .
证 应用按行(列)展开法则, 可得
A C
0 En
| A |,