第五章平面波函数

我们知道， pr 0 表示波向x轴的正方向传播， r 0 表示波向z轴的正方向传播； pr 0 表示波向－x方向传播， r 0 表示波向－z方向传播。
这两个参数正负值的不同组合，代表了波向不同方向传 播。
另外两个参数 和 t 是波的衰减因子（我们以前所接
触到的一般是 α > 0 ，t 0 ），当 ＝0，t ＝0时，波无
5.1.2平板介质波导
对于各向同性介质的平板介质波导，如下图所示：
波导结构以z轴对称,图其5中.1.1a平表板示介介质波质导的厚度,.上半平面在
x=/2处,下半平面在x = -/2处。ε0 , μ0和 d , d 分别为自由
空间及介质的介电常数和磁导率。
若把问题放在二维里考虑，且设在y方向波函数无变化， 即： ＝0。波沿z方向传播，用 e-jkzz 表示波沿z方向的变
第五章 平面波函数
5.1平板介质波导
5.1.1标量波函数
标量波函数是矢量波函数的基础 ，矢量波动方程的直 角分量满足标量波动方程。
在介绍平板介质波导之前，先简单介绍标量波函数。 在直角坐标系中，波动方程为：
用分离变量法解上述方程。令
（5.1.1）
代入式（5.1.1）得到： 上式中的各项相互独立，分解为：
把上面的两个方程左右两边分别相除得到：
ua tan ua = εd va 2 2 ε0 2
（ 5.1.16 ）
这个公式和前面的色散关系式（5.1.15）是决定TM模
的截止频率和 k z 的特征方程。
同样对于x的偶函数的TM模，我们选择

e d
=
A cos uxe- jkzz
x a 2

e a
=
Be-v x e- jkz z
于是基本波函数
（5.1.9）
φ = e e e - jkxx - jky y - jkzz
可写成
（5.1.10）
电磁场矢量满足矢量波动方程，其直角分量满足标量 波动方程，可以由矢量平面波对波数的迭加得到。这一 思路不仅适用于平面波函数，也适用于其它坐标系中的 波函数；不仅适用于各向同性媒质，而且适用于各向异 性媒质。
衰减地传播；
但是，当 t 0 时，表示波在沿着x方向传播时，能量
不是衰减，而是指数递增的；同理 ，当 0 时表示波
在沿z方向传播时，能量是指数递增的。
这种波我们称之为“非正规模”；而传输过程中能量衰 减的波我们称之为“正规模”。
“非正规模”在通常情况下，是不存在的，但在特殊的 区域是可以存在的。
平板介质波导的截止频率和截止波长与金属波导有一些
不同，当频率高于截止频率时，介质波导传输波是无衰
减的，这时 kz是实数。低于截止频率时，就产生衰减，
这时 k z= j 。波在传输时有衰减，就必须计算能量的
减少。由于介质波导是无损耗传输波的，那么衰减就只
能是波在传输过程中向周围辐射引起的。也就是说介质
kd2
-
k
2 0
，解特征方程可以得到：
tan( a 2
cot( a 2
k
2 d
-
k02
)
=
0
k
2 d
-
k
2 0
)
=
0
（5.1.24）
以上结果对于TM和TE模都适用。它们需满足的条件是:
a 2
kd2
-
k
2 0
=
n
2
,
n = 0,1, 2.... （5.1.25）
同时，我们还可以得到截止波长：
c
=
（5.1.15）
把上面的分离参数方程代入公式（5.1.12）就得到方程
Ez

A u2 sin uxe jkzz
j d
H y = -Au cos uxe- jkzz
Hy = Bve-v x e-jkzz
Ez
=
-B jωε0
v2e-vxe- jkzz
Ez
=
B jωε0
v2evxe- jkzz


覆盖有介质的导体的TM模的特征方程是：
ua tan ua = εd va 2 2 ε0 2
（5.2.1）
用t代替上式中a/2, t是介质的覆盖厚度。
相应地，TE模的特征方程是：
也需用t代替上式中a/2。 覆盖有介质的导体的表面波导，用t替代
n fc = 4t εdμd - ε0μ0
中的a/2，就得到其截止频率为：
（5.3.5）
（5.3.6）
对于这个表达式，它的等相位面由下列式子给出：
（5.3.7）
它的等振幅面由下列式子给出： （5.3.8）
根据式子（5.3.5），我们可得到下面的结论：等相位面 和等振幅面是实相互正交的。用方程表示为：
（5.3.9）
下面我们用图来表示上面的结论 ：
图5.3.1 复波
现在我们研究波的传输特点,根据
kx 当 为纯虚数时，上述两波变为凋落场（急速衰减）。
kx
对于 h(kx ) = coskxx,sinkxx ：
当
k
为实数时代表纯驻波；当
x
k
为复数时代表局部驻波。
x
分别称为沿x,y,z方向的波数,用一个矢量表示
为kx , k y , kz
(5.1.8)
k = kxex kyey +kzez
（5.3.2）
把方程（5.3.2），带入方程（5.3.1）中，得到 ：
p2 + kz2 = k2
（5.3.3）
在通常情况下，p和 kz是复数，可以设为以下形式：
p = pr - jt kz = r - j
（5.3.4）
把上式带入方程（5.3.3），得到以下的关系：
pr2 -t2 r2 - 2 = k2 prt r = 0 把方程（5.3.2）重新整理可以得到 ：
x a 2
（5.1.17）
它的分量参数公式依然是公式（5.1.15）。而它的场量
也由公式（5.1.12）给出。
根据 Ez 和 H y在 x a 2处的连续性条件，我们得到：
- ua cot ua = εd va 2 2 ε0 2
（5.1.18）
该公式就是决定偶TM模的截止频率和 k z的特征方程。
x<a 2

x >a 2
xa 2
x-a 2
根据 Ez 和 H y 在 x a 2 处需满足的条件，也就是电 场和磁场在边界处连续，即在边界处电场和磁场分别相等。
由此得到下面的方程：
A u2 sin ua = -B v e2 -va/2
εd
2 ε0
Au cos ua = -Bve-va/2 2
-Bevxe- jkzz ,
xa 2
x-a 2
（5.1.14）
这里A、B、u、v为常数，这时波在介质中是无衰减传播
的。u和v不为实数时的情况将在第三节讲述。
选择 k0 jv 和 kd u ，使公式更简洁些。
从上面的公式可以得到分离参数方程为
u2 + kz2 = kd2 = ω2εdμd -v2 + kz2 k02 = ω2ε0μ0
u2
+
v2
=
k
2 d
-
k
2 0
=
ω2 (μdεd
- μ0ε0)
（5.1.28）
利用这个关系式，重新改写TE模的特征方程，得到 ：
μ0 μd μ0
ua tan 2 ua co
ua 2 t ua


μd 2
2
(a )2
2
(μ d ε d
-
μ0ε0
)

(ua )2 2
按照上述方程作出下图：
基本波函数加权求和或求积分后，仍是波动方程的解。
对于有界问题， kx , k y 等取离散值，有
（5.1.6）
φ =
B(kx , ky )h(kxx)h(kyx)h(kzx)
对于有界问题，kx ky 等取连续值，有
kx , ky
φ = kx kyf(kx , ky )h(kxx)h(kyx)h(kzx)dkxdky （5.1.7）
fc = 4t
n εdμd - ε0μ0
（5.2.4）
在上面的公式中，对于 TMn 模n取0,2,4….。而对于 TEn
模，n取1,3,5…..，传输的主模是TM0模，对于覆盖有介质 的导体平板波导，它能在所有的频率下无衰减的传输。
下面我们仔细的看一看，该主模是如何从无介质覆盖的 金属边界向远处衰落的。
（5.1.29）
图5.1.2 平板介质波导的图形解
由两类曲线的交点利用公式：
u2 + kz2 = kd2 = ω2εdμd -v2 + kz2 k02 = ω2ε0μ0
（5.1.30）
就可以确定 k z 的值。
从图中可以看出，波数 kd的值越大，圆的半径也就越大，
那么两类曲线的交点也就越多，得到的结论就是导行波的 模式也就越多，也就是高于截止频率的模越多。
y
化。 •对于TM波，我们取Ａ＝ｕｘφ ｍ，得到场的分量表达式 如下：
（5.1011）
（具体可参考横磁波与横电波的推导公式）
其中：
。特别地，y＝0，我们有，
Ex
=
-kz ωε
m x
Ez
=
1 (k2 jωε
- kz2 )m
Hy
=
-
m x
（5.1.12）
这里只给出TM模的求解过程，TE模的求解与之类似。
假设 u(x, z)为自由空间的向z方向传播的模。