23猜想型试题(含答案)

猜想型试题

例1．（2005年常州）如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、

F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证

明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程． 分析：本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，

灵活运用三角形全等的判定及性质进行结论猜想。求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。

解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD ，AF=BD=CE ， 事实上，∵△ABC 与△DEF 都是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD ， 又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120° ∴∠AEF=∠CDE ，同理，得∠CDE=∠BFD ， ∴△AEF ≌△BFD ≌△CDE （AAS ），所以AE=BF=CD ，AF=BD=CE 。

（2）线段AE 、BF 、CD 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF 、BD 、CE 它们绕△ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°,可互相得到。

说明：

1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、分

析问题的能力.

2.因为几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态．它不仅拓展了学生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直观具有发现的功能．这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近几年中考试题的考点及热点问题。

练习一 1.（2005年北京丰台）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 是BD 延长线上一点，F 是DB 延长线上一点，且DE=BF 。请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。

（1）连结____________；

（2）猜想：______=______； （3）证明：

F

E D C B

A

2．（2005年河北）如图10－1－2（1），10－1－2（2），四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

⑴如图10－1－2（1），当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；

③请证明你的上述两猜想。

⑵如图10－1－2（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。

是等边三角形，C、3．（2005年河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，ABG

D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）

4．（2005年潍坊）如图，已知平行四边形ABCD 及四边形外一直线l ，四个顶点A 、B C 、、D 到直线l 的距离分别为a b c d 、、、．

（1）观察图形，猜想得a b c d 、、、满足怎样的关系式？证明你的结论． (2)现将l 向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．

5.（2005年锦州）如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE.

(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； (4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现

.

例题2．（2005年福建三明市）已知二次函数q px x y ++=2

(q p ,为常数，△=042

>-q p )的图象与x 轴相交于A ()0,1x ，B ()0,2x 两点，且A ，B 两点间的距离为d ，

例如，通过研究其中一个函数652

+-=x x y 及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。

⑴在表内的空格中填上正确的数；

⑵根据上述表内d 与△的值，猜想它们之

间有什么关系？再举一个符合条件的二次

函数，验证你的猜想； ⑶对于函数：

q px x y ++=2(q p ,为常数，△=042>-q p )证明你的猜想。

分析：⑴用求根公式进行“两根差“的运算，也可以得到相应猜想的证明；

⑵无论是先用⑶的证明，还是先用⑴的证明，只要两种证明都正确。

解：⑴第一行 0,01==x q ；2

1=

d 第三行 1=p ，△=9，12=x ； ⑵猜想：=2

d △

例如：22

--=x x y 中；9,2,1=∆-=-=q p ；由022

=--x x 得

9,3,1,2221==-==d d x x ，∴=2d △ …

⑶证明。令0=y ，得02

=++q px x ，∵△>0 设02

=++q px x 的两根为1x ，2x 则1x +2x p -=，q x x =∙21