理科数学2010-2019高考真题分类训练31专题十 计数原理第三十一讲 二项式定理—附解析答案

3.（2019天津理10）
2x
1 8x3
8
是展开式中的常数项为
.
2010-2018 年
一、选择题
1．(2018 全国卷Ⅲ) (x2 2)5 的展开式中 x4 的系数为 x
A．10
B．20
C．40
D．80
2．（2017
新课标Ⅰ）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A．15
B．20
C．30
21．10【解析】由 (2x
x )5 得 Tr1 C5r (2x)5r (
x )r
25r
C5r
5
x
r 2
，令 5
r 2
3得 r
4，
此时系数为 10．
22．40【解析】由通项公式，Tr1 C5r 25r xr ，令 r = 3 ，得出 x3 的系数为 C35 22 40 ．
23．3【解析】 (1+ x)4 展开式的通项为Tr1 C4r xr ，由题意可知，
14．B【解析】(1 2x)5 的展开式中含 x2 的系数等于 C52 (2x)2 40x2 ，系数为 40.答案选 B．
15．C【解析】 Tr1 C6r (4x )6r (2x )r C6r 22x(6r) 2xr C6r 212x3xr ，
令12x 3xr 0 ，则 r 4 ，所以T5 C64 15 ，故选 C．
号成立．
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27． 1 2
【解析】通项
C8r
x
8r
(
3
a x
)
r
C8r
a
r
8r r
x3
8
4r 3
4r
3, C83a3
7a
1 2
所以 1 ． 2
28．20【解析】 (x2 1 )6 的展开式中第 k 1 项为 x
．(用数字填写答案)
25．（2014 新课标 2） x a10 的展开式中， x7 的系数为 15，则 a =___．(用数字填写答案)
26．（2014
山东）若
ax2
b x
6
的展开式中
x3
项的系数为
20，则
a2
b2
的最小值为
．
27．（2013
安徽）若
x
a 3x
8
的展开式中
x4
的系数为
7，则实数
A．－20
B．－5
C．5
D．20
10．（2013
辽宁）使得
3x
x
1
x
n
n
N
的展开式中含常数项的最小的
n
为
A． 4
B． 5
C． 6
D． 7
11．（2013
江西）
x2
2 x3
5
展开式中的常数项为
A．80
B．－80
C．40
D．－40
12．（2012
安徽） (x2
1 2)( x2
1)5 的展开式的常数项是（
．
30．（2011 浙江）设二项式 (x a )6 (a 0) 的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为 B，若 x
B=4A，则 a 的值是
．
31．（2010 安徽） ( x y )6 展开式中， x3 的系数等于
．
yx
专题十 计数原理
第三十一讲 二项式定理 答案部分 2019 年
1. 解析 (1 2x2 )(1 x)4 的展开式中 x3 的系数为1 C34 1 2 C14 13 12 ．故选 A．
4 ，得 r
2 ，所以
x4
的系
数为 C52 22 40 ．故选 C．
2．C【解析】 (1
1 x2
)(1
x)6
展开式中含
x2
的项为1 C62 x2
1 x2
C64 x4
30x2
，故
x2
前系
数为 30，选 C．
3．C【解析】 (2x y)5 的展开式的通项公式为：Tr1 C5r (2x)5r ( y)r ，
专题十 计数原理
第三十一讲 二项式定理
2019 年
1.（2019 全国 III 理 4）（1+2x2 ）（1+x）4 的展开式中 x3 的系数为
A．12
B．16
C．20
D．24
2．（2019 浙江 13）在二项式 ( 2 x)9 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的
项的个数是_______.
a
______．
28．（2012 广东） (x2 1 )6 的展开式中 x3 的系数为______．（用数字作答） x
29．(2012 浙江)若将函数 f (x) x5 表示为 f (x) a0 a1(1 x) a2 (1 x)2
a5 (1 x)5 ，其中 a0 ， a1 ， a2 ，…， a5 为实数，则 a3
A． 20
二、填空题
B． 15
C．15
D．20
16．(2018 天津)在 (x 1 )5 的展开式中， x2 的系数为
．
2x
17．(2018 浙江)二项式 ( 3 x 1 )8 的展开式的常数项是___________． 2x
18．（2017 浙江）已知多项式 (x 1)3(x 2)2 = x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5 ，则 a4 =___，
a5 =___．
19．（2017 山东）已知 (1 3x)n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54 ，则 n
．
20．(2016 年山东)若 (ax2 1 )5 的展开式中 x5 的系数是-80，则实数 a=_______． x
21．(2016 年全国 I) (2x x)5 的展开式中，x3 的系数是
2．解析：二项式
2x
9
的展开式的通项为 Tr 1
C9r (
9r
2)9r xr 2 2 C9r xr ．
由 r 0 ，得常数项是T1 16 2 ；当r=1，3，5，7，9时，系数为有理数，所以系数为有理
数的项的个数是5个．
3.解析
由题意，可知此二项式的展开式的通项为 Tr+1
C8r
2
x
8r
16．
5 2
【解析】 Tr1
C5r x5r (
1 )r 2x
C5r
5 3r
x2
(
1)r 2
，令 5
3 2
r
2 ，得 r
2，
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所以
x2
的系数为 C52 (
1)2 2
5 2
．
17．7【解析】 Tr1
8r
C8r x 3
( 1 )r 2x
C8r
(
1 2
)r
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故选 A．
5．D【解析】因为 (1 x)n 的展开式中的第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以 C3n C7n ， 解得 n =10 ，所以二项式 (1 x)10 的展开式中奇数项的二项式系数和为 1 210 29 ． 2
6．C【解析】由 (x 1)n (1 x)n 1 Cn1x Cn2x2 Cnn xn ，知 Cn2 15 ，
19．4【解析】Τr1 Cnr 3xr Cnr 3r xr ，令 r 2 得： C2n 32 54 ，解得 n 4 ．
20． 2 【解析】因为 Tr1 C5r (ax2 )5r (
1 )r x
C5r a5r
10 5 r
x2
，所以由10
5 2
r
5
r
2
，
因此 C52a52 80 a 2.
．（用数字填写答案）
22．（2015 北京）在 2 x5 的展开式中， x3 的系数为
．（用数字作答）
23．（2015 新课标 2） (a x)(1 x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，
则 a =______．
24．（2014 新课标 1）(x y)(x y)8 的展开式中 x2 y7 的系数为
x2
，常数项满足条件
n
5 r ，所以 r 2
2
时 n 5 最小．
11．C【解析】 Tr1
C5r (x2 )5r (
2 )r x3
(2)r C5r x105r ，令10 5r
0 ，解得 r
2 ，所
以常数项为 (2)2C52 40 ．
12．D【解析】第一个因式取
x2
，第二个因式取
1 x2
得：1 C51 (1)4
，当10
r
7 时， r
3，
T4
C130 a3 x7
，则 C130a3
15 ，故 a
1 2
．
26．2【解析】 Tr1
ห้องสมุดไป่ตู้
C6r
(ax
2
)6r
(
b x
)r
C6ra6rbr x123r ，令12 3r
0 ，得 r
3，
故 C63a3b3 20 ，∴ ab 1, a2 b2 ≥ 2ab 2 ，当且仅当 a b 1 或 a b 1 时等
D．35
3．（2017 新课标Ⅲ） (x y)(2x y)5 的展开式中 x3 y3 的系数为
A． 80
B． 40
C．40
D．80
4．(2016 年四川) 设 i 为虚数单位，则 (x i)6 的展开式中含 x4 的项为
A．－15 x4
B．15 x4
C．－20 ix4
D．20 ix4
5．（2015 湖北）已知 (1 x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二
1 8x3
r
C8r 28r
1 8
r
x8r
1 x3
r
C8r
．
1 r 284r x84r
所以当8
4r
0
，即
r
2
时， Tr1
为常数项，此时
T3
T21
C82
1
2
2842
．
28
2010-2019 年
1．C【解析】 Tr1
C5r
(
x2
)5
r
(
2 x
)r
C5r 2r
x103r ，由10 3r
）
A． 3
B． 2
C．
13．（2012 天津）在 (2x2 1 )5 的二项展开式中， x 的系数为 x
A．10
B．－10
C．40
D．－40
D．
14．（2011 福建） (1 2x)5 的展开式中， x2 的系数等于
A．80
B．40
C．20
D．10
15．（2011 陕西） (4x 2x )6 （ x R）展开式中的常数项是
∴ n(n 1) 15 ，解得 n 6 或 n 5(舍去)，故选 C． 2
7．D【解析】 Tr1
C5r
(1)r
ar
5 r
x2
，令
r
1 ，可得
5a
30
a
6
，故选
D．
8．C【解析】由题意知 f (3, 0) C36C04 ， f (2,1) C62C14 ， f (1, 2) C16C42 ， f (0,3) C06C34 ，
因此 f (3,0) f (2,1) f (1, 2) f (0,3) 120 ．
9．A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项 T4
C53
(
1 2
x)2 (2 y)3
20x2 y3
，故
x2
y3
的系数为－20，选 A．
10．B【解析】通项 Cnr (3x)nr ( x 1 x )r
Cnr
3nr
n5r
84r
x3
，令 8 4r 3
0
，解得 r
2 ，所以所求
常数项为
C82
( 1 )2 2
7
．
18．16,4【解析】将 (x 1)3(x 2)2 变换为 (1 x)3(2 x)2 ，则其通项为 C3r13r xrCm2 22m xm ，
取 r 0, m 1和 r 1, m 0 可得，
a4 C30C12 2 + C13C02 22 4 12 16 ，令 x 0 ，得 a5 4 ．
a(C41 C43) C40 C42 C44 32 ，解得 a 3．
24．－20【解析】 (x y)8 中 Tr1 C8r x8r yr ，令 r 7 ，再令 r 6 ，
得 x2 y7 的系数为 C87 C86 20 ．
25．
1 2
【解析】二项展开式的通项公式为 Tr 1
C1r0 x10r ar
当 r 3时， x(2x y)5 展开式中 x3 y3 的系数为 C35 22 (1)3 40 ，
当 r 2 时， y(2x y)5 展开式中 x3 y3 的系数为 C52 23 (1)2 80 ，
所以 x3 y3 的系数为 80 40 40 ．选 C．
4．A【解析】通项 Tr1 C6r x6rir (r 0,1, 2,,6) ，令 r 2 ，得含 x4 的项为 C62x4i2 15x4 ，
项式系数和为
A． 212
B． 211
C． 210
D． 29
6．（2015 陕西）二项式 (x 1)n (n N ) 的展开式中 x2 的系数为 15，则 n
A．4
B．5
C．6
D．7
7．（2015 湖南）已知 (
x
a
3
)5 的展开式中含 x 2 的项的系数为 30，则 a
x
A． 3
B． 3
C．6
5 ，第一个因式取 2
，
第二个因式取 (1)5 得： 2 (1)5 2 展开式的常数项是 5 (2) 3 ．
13．D【解析】∵Tr+1=C5r (2x2 )5-r ( x1)r = 25-r ( 1)rC5r x10-3r ，∴10 3r=1，即 r=3 ， ∴ x 的系数为 40 ．
D．－6
8．（2014 浙江）在 (1 x)6 (1 y)4 的展开式中，记 xm yn 项的系数为 f (m, n) ，
则 f (3, 0) f (2,1) f (1, 2) f (0,3) =
A．45
B．60
C．120
D． 210
9．（2014 湖南） (1 x 2 y)5 的展开式中 x2 y3 的系数是 2