矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log
矩阵乘法运算 人工智能
矩阵乘法运算人工智能人工智能在现代科技领域中扮演着重要的角色，其应用范围涵盖了各个领域。
其中，矩阵乘法运算作为人工智能的一个重要技术之一，在人工智能的发展中扮演着重要的角色。
本文将以矩阵乘法运算为主题，探讨其在人工智能中的应用和意义。
一、矩阵乘法的基本概念和原理矩阵乘法是线性代数中的一个基本运算，也是人工智能中常用的计算方法之一。
矩阵乘法的定义是，对于两个矩阵A和B，其乘积C 的第i行第j列元素等于A的第i行向量与B的第j列向量的内积。
矩阵乘法运算可以表示为C = A * B。
矩阵乘法运算在人工智能中的应用十分广泛。
例如，在图像处理中，矩阵乘法可以用来进行图像的特征提取和图像识别。
在自然语言处理中，矩阵乘法可以用来进行词向量表示和语义分析。
在机器学习中，矩阵乘法可以用来进行参数优化和模型训练。
可以说，矩阵乘法运算是人工智能中不可或缺的一部分。
二、矩阵乘法在图像处理中的应用在图像处理中，矩阵乘法可以用来进行图像的特征提取和图像识别。
例如，我们可以将图像表示为一个像素矩阵，然后通过矩阵乘法将图像与特定的滤波器进行卷积运算，从而提取出图像的特征。
通过对提取出的特征进行矩阵乘法运算，可以实现图像的分类和识别。
三、矩阵乘法在自然语言处理中的应用在自然语言处理中，矩阵乘法可以用来进行词向量表示和语义分析。
例如，我们可以将文本表示为一个词矩阵，其中每一行代表一个词的向量表示。
通过矩阵乘法运算，可以将文本中的词向量进行组合和计算，从而得到整个文本的语义表示。
这种语义表示可以用于文本分类、情感分析等任务。
四、矩阵乘法在机器学习中的应用在机器学习中，矩阵乘法可以用来进行参数优化和模型训练。
例如，在神经网络中，通过矩阵乘法运算可以将输入数据与权重矩阵进行相乘，得到隐藏层的输出。
通过反向传播算法，可以通过矩阵乘法来更新神经网络中的权重，从而优化模型的性能。
总结起来，矩阵乘法运算在人工智能中的应用非常广泛，涵盖了图像处理、自然语言处理和机器学习等多个领域。
斐波那契数列快速算法-概述说明以及解释
斐波那契数列快速算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述斐波那契数列作为一个经典的数学问题，一直以来都受到广泛的研究和关注。
它的定义是：每个数都是前两个数的和，即第n个数为第n-1个数与第n-2个数的和。
斐波那契数列的前几个数字是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34等。
常规算法是通过递归或循环生成斐波那契数列，但在求解大数列时，这些算法存在效率低下的问题。
因此，我们需要寻找一种更快速的算法来计算斐波那契数列。
本文将详细介绍一个快速算法，该算法可以快速地生成斐波那契数列的任意项，而不需要进行递归或循环。
通过使用矩阵的乘法，我们可以将斐波那契数列的计算转化为矩阵的幂运算。
本文的目的是介绍这种快速算法并分析其优势。
通过对比常规算法和快速算法的运行时间和空间复杂度，我们可以看到快速算法在求解大数列时的优势。
在接下来的章节中，我们会首先介绍斐波那契数列的基本概念和问题背景。
然后，我们将详细讨论常规算法的实现原理和缺点。
接着，会逐步引入快速算法的原理和实现方法，并进行算法效率的对比分析。
最后，在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，并重点强调快速算法的优势。
我们希望通过这篇文章的阐述，读者可以更深入地了解斐波那契数列的快速算法，以及在实际应用中的意义和价值。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述文章的主要内容和组织结构，下面是一个例子:1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分，每个部分都有自己的目标和重点。
下面将对每个部分的内容进行详细介绍。
1. 引言部分旨在引入斐波那契数列快速算法的背景和相关概念。
首先，我们将概述斐波那契数列的定义和特点，以及为什么需要快速算法来计算斐波那契数列。
其次，我们将介绍本文的结构，并列出各个部分的主要内容和目标。
最后，我们明确本文的目的，即通过快速算法探索斐波那契数列的计算方法。
2. 正文部分是本文的核心内容，将详细介绍斐波那契数列以及常规算法和快速算法的原理和实现。
[南开大学]19秋学期(1709至1909)《并行程序设计》在线作业答案1
![[南开大学]19秋学期(1709至1909)《并行程序设计》在线作业答案1](https://img.taocdn.com/s3/m/9820f51b0066f5335b812129.png)
[南开大学]19 秋学期（1709、1803、1809、1903、1909）《并行程序设计》在线作业试卷总分:100 得分:100【题目】两个矩阵相乘,若矩阵总规模小于 cache 大小,则优化访存的最佳方法是____。
A、先将两个矩阵读入 cache 再进行乘法B、先转置第一个矩阵再进行乘法C、先转置第二个矩阵再进行乘法D、以上皆错参考选择是:A【题目】对矩阵乘法串行程序的主体三重循环,我们选择最内层循环进行向量化的原因是____。
A、它最后执行B、外层循环中没有计算操作C、是随意选择的D、它的连续循环步是对不同元素进行相同运算参考选择是:D【题目】MPI 预定义数据类型不包括____。
A、MPI_DOUBLEB、MPI_LONG_LONGC、MPI_BYTED、MPI_PACKED参考选择是:B【题目】推动 GPU 应用于通用高性能计算爆发式增长的开发工具是____。
A、OpenGLB、OpenCLC、DirectXD、CUDA参考选择是:D【题目】pthread_join 通过____指定要等待的线程。
A、pthread_create 返回的线程句柄B、线程的系统 IDC、创建线程时设置的线程号D、创建线程时设置的线程名参考选择是:A【题目】对于加速比 S 和处理器数量 p,下列说法正确的是____。
A、有可能 SpB、必然 SpC、不可能 S=pD、两者无关联参考选择是:A【题目】关于 pthread_create 函数,下列说法错误的是____。
A、它返回是线程创建成功与否的错误码B、线程属性参数使用空指针表示使用默认参数C、它成功创建线程后立刻执行线程函数等待其结束后返回D、可通过它将参数传递给线程函数参考选择是:C【题目】MPI 组通信操作不包括哪类____。
A、通信B、同步C、点对点D、计算参考选择是:C【题目】我国首次获得戈登•贝尔奖是在____年。
A、2015B、2016C、2017D、2018参考选择是:B【题目】n 个节点的线性阵列构造成本为____。
矩阵及矩阵运算
矩阵及矩阵运算矩阵：⼀个m×n的矩阵就是m×n个数排成m⾏n列的⼀个数阵。
由于它把许多数据紧凑的集中到了⼀起，所以有时候可以简便地表⽰⼀些复杂的模型。
在数学中，⼀个矩阵说穿了就是⼀个⼆维数组。
单位矩阵：从左上⾓到右下⾓的对⾓线（称为主对⾓线）上的元素均为1。
除此以外全都为0。
对称矩阵：如果⽅阵满⾜，即，则称A为对称矩阵．它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等．矩阵加减法：两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减，满⾜交换律和结合律。
只有对于两个⾏数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可⾏的．矩阵乘法：矩阵乘法是⼀种⾼效的算法可以把⼀些⼀维递推优化到log（ n )，还可以求路径⽅案等，所以更是⼀种应⽤性极强的算法。
1.矩阵与数的乘法：数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每⼀个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．满⾜结合律和分配律。
2.矩阵与矩阵的乘法：只有当矩阵A的列数与矩阵B的⾏数相等时A×B才有意义。
⼀个m×n的矩阵a（m,n)左乘⼀个n×p的矩阵b（n,p)，会得到⼀个m×p的矩阵c（m,p)，矩阵乘法满⾜结合率，但不满⾜交换率。
⼀个n⾏m列的矩阵可以乘以⼀个m⾏p列的矩阵，得到的结果是⼀个n ⾏p列的矩阵。
⽅阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．单位阵在矩阵乘法中的作⽤相当于数1在我们普通乘法中的作⽤。
运算规则： 设，，则A与B的乘积是这样⼀个矩阵： (1) ⾏数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第⾏第列的元素由A的第⾏元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．(3)两个⾮零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．矩阵转置：将矩阵A的⾏换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．第i⾏变第J列。
Aij变成Aji。
运算性质（假设运算都是可⾏的） (1) (2) (3) (4) ，是常数．矩阵⾏列式：基于矩阵所包含的⾏列数据计算得到的⼀个标量；⼆维矩阵[{a,c},{b,d}]的⾏列式等于：det(A) = ab-cd。
浅谈矩阵的应用
浅谈矩阵的应用作者摘要：矩阵是数学的重要研究工具之一，其应用很广泛，矩阵的应用对于矩阵理论以及数学发展有着非常重要的作用。
本论文主要讨论了矩阵在不同领域中的应用，有非常重要的理论及现实意义。
本研究的开展以文献研究法为基础，通过具体实例来将矩阵在不同领域当中的应用问题解决。
主要讨论的矩阵应用领域主要有经济生活、密码学、交通运输、文献管理以及在解方程组、矩阵秩、在计算机中、向量组秩领域。
关键词：矩阵；应用；线性方程组1 引言在汉代《九章算术》当中就已经提出了矩阵的概念，但并非为独立概念，主要是在实际的问题当中进行应用。
至19世纪末，其概念逐渐形成。
到了20世纪开始，矩阵迅速发展，且遍布生活的每个领域当中，随着现代科学的发展，矩阵在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一，矩阵的应用是具备重要的现实意义的，在不同领域当中都会有它的身影[1]。
高校中的必须科目就是代数学，而矩阵的应用也是代数学的重要载体之一。
因此，了解且掌握矩阵的应用，对于解决代数学等问题尤为重要。
本文也将对有关矩阵应用的内容进行了解，并通过具体的例子来说明矩阵在经济学、密码学、交通运输、文献管理以及在解方程组、矩阵秩、在计算机中、向量组秩等方面的应用。
2.预备知识由nm 个数a(1,2,..j.=1.2...n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m行n矩阵。
只有一行的矩阵A=aa...a)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。
矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。
这一问题在数学上虽然简单,但从计算_上来看却是十分丰富的。
矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计算上的几种线性代数的“级”。
如果一个矩阵具有某种结构，则它常常可以加以利用。
例如一个对称矩阵，只需要一个一般矩阵的一半空间即可储存。
在矩阵乘向量中如果矩阵有许多零元素，则可减少许多时间。
矩阵计算是基于线性代数运算的，点积运算包括标量的加法和乘法。
优化方法及其工程应用中的斐波那契法
优化方法及其工程应用中的斐波那契法斐波那契法是一种常见的数学算法，被广泛应用于计算机科学和工程领域。
然而，随着问题规模的增大，斐波那契法的效率往往变得低下。
因此，研究人员提出了一系列优化方法来改进斐波那契法，并将其应用于各种工程项目中。
一、优化方法1. 迭代法：传统的斐波那契法使用递归方式计算，但递归会导致大量重复计算，影响效率。
迭代法是一种基于循环的计算方法，通过保存中间结果避免了重复计算，从而提高了效率。
2. 矩阵乘法：斐波那契数列可以通过矩阵乘法的方式来计算。
将斐波那契数列的递推关系转化为矩阵形式，可以利用矩阵乘法的高效性质来加速计算过程。
3. 存储优化：斐波那契法中的关键是保存中间结果，以避免重复计算。
传统的方法使用数组或列表来保存中间结果，但随着问题规模的增大，存储空间的需求也会增加。
因此，研究人员提出了一些存储优化的方法，如使用位操作或只保存最近的几个中间结果。
4. 并行计算：斐波那契法可以通过并行计算的方式来提高效率。
将斐波那契数列的计算任务划分为多个子任务，并行地计算这些子任务，最后将结果合并得到最终的结果。
通过利用多核处理器或分布式计算系统，可以进一步提高计算速度。
二、工程应用1. 金融领域：斐波那契数列在金融领域有广泛应用，如股票价格预测、期权定价等。
优化的斐波那契法可以提高计算效率，减少计算时间，为金融决策提供更快速、准确的支持。
2. 图像处理：斐波那契数列的特性被应用于图像处理领域，如生成斐波那契序列的图案、图像压缩算法等。
通过优化斐波那契法，可以加快图像处理的速度，提高图像处理的效果。
3. 编码算法：斐波那契数列的特性被广泛应用于编码算法中，如霍夫曼编码、动态规划等。
通过优化斐波那契法，可以改进编码算法的性能，提高编码效率。
4. 算法设计：斐波那契法作为一种经典的算法，被广泛应用于算法设计和分析中。
优化的斐波那契法可以提高算法的效率和性能，为解决实际问题提供更好的解决方案。
动态规划算法的常见实例
动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。
在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。
一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。
例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。
使用动态规划方法来解决LCS问题。
首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。
然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。
2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。
3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。
最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。
二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。
具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。
一种解决方案是使用动态规划方法。
定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。
然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。
2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。
最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。
三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。
它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。
对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。
矩阵连乘和strassen矩阵乘法
矩阵连乘和strassen矩阵乘法矩阵连乘问题和 Strassen 矩阵乘法是计算机科学中的两个重要问题。
矩阵常常被用来表示线性算法问题，而矩阵的乘法则是表示两个矩阵之间运算的一种方法。
本文将对这两个问题分别进行介绍，以便更深入地了解矩阵的应用和计算方法。
矩阵连乘问题矩阵连乘问题是指给定一组矩阵，求其乘积的最小计算次数，并构造出相应的计算方法。
在算法中，我们通常采用递归的思想来解决这个问题。
递归过程中，我们根据矩阵的大小将矩阵划分成更小的子矩阵，然后再对这些子矩阵进行计算。
设矩阵连乘的矩阵序列为 A1, A2, A3, ..., An，其中矩阵 Ai 的行数和列数分别为 pi - 1 和 pi。
那么，计算这个矩阵序列的最小计算次数可以表示为递推式：m[i,j] = min{m[i,k] + m[k+1,j] + pi-1 * pk * pj} (i <= k < j)这个式子的意思是将矩阵序列Ai, Ai+1,...,Aj-1, Aj划分为两个子序列Ai, Ai+1,...,Ak和Ak+1,...,Aj，然后在这两个子序列中分别计算矩阵乘积所需的最小计算次数，其中pi-1 * pk * pj表示计算Ai到Aj乘积时需要的乘法次数。
由此，我们可以得出矩阵连乘的递归算法：Matrix Chain Multiply(A, p, i, j)if i == jreturn A[i]elsek = iM = Matrix Chain Multiply(A, p, i, k)N = Matrix Chain Multiply(A, p, k+1, j)return M * N其中，A是矩阵序列，p是矩阵的行列数，i和j表示矩阵序列的起止下标。
在递归过程中，我们用k将矩阵序列划分为两个部分，并分别计算左边和右边的矩阵乘积。
最后将两个部分的计算结果相乘即可。
这种算法的时间复杂度为O(n^3)，在处理大规模的矩阵乘积时效率较低。
c++ 矩阵快速幂 斐波那契数列
c++ 矩阵快速幂斐波那契数列摘要：一、矩阵快速幂与斐波那契数列的关系二、矩阵快速幂求解斐波那契数列的方法三、矩阵快速幂求解斐波那契数列的优点与局限性四、总结正文：一、矩阵快速幂与斐波那契数列的关系矩阵快速幂是一种高效的矩阵乘法算法，它可以在较低的时间复杂度下完成矩阵的幂运算。
而斐波那契数列是一种著名的数列，它的每一项都是前两项的和。
矩阵快速幂与斐波那契数列之间的关系在于，矩阵快速幂可以应用于求解斐波那契数列。
二、矩阵快速幂求解斐波那契数列的方法矩阵快速幂求解斐波那契数列的方法是将斐波那契数列的递推关系式转换为矩阵乘法形式。
具体来说，设斐波那契数列的递推关系式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)我们可以将这个关系式转换为矩阵乘法形式，即：[F(n), F(n-1)] = [F(n-1), F(n-2)] * [1, 1]这样，我们就可以使用矩阵快速幂算法来求解斐波那契数列的第n 项。
三、矩阵快速幂求解斐波那契数列的优点与局限性矩阵快速幂求解斐波那契数列的优点在于，它可以在较低的时间复杂度（O(logn)）下完成计算。
相比之下，递归方法的时间复杂度为O(2^n)，循环方法的时间复杂度为O(n)。
因此，对于较大的n，矩阵快速幂方法具有较大的优势。
然而，矩阵快速幂方法也存在局限性。
首先，它需要预先计算矩阵的逆元，这可能会导致精度损失。
其次，矩阵快速幂方法在某些情况下可能会出现数值稳定性问题。
最后，矩阵快速幂方法的实现较为复杂，需要处理较多的细节问题。
四、总结矩阵快速幂是一种高效的矩阵乘法算法，它可以应用于求解斐波那契数列。
相较于递归方法和循环方法，矩阵快速幂方法具有较低的时间复杂度，因此在处理较大的斐波那契数列时具有较大的优势。
然而，矩阵快速幂方法也存在局限性，如需要预先计算矩阵的逆元、可能出现数值稳定性问题等。
矩阵乘法递推的优化
a2 0 1 0 . . . 0 0
a3 0 0 1 . . . 0 0
··· ··· ··· ··· .. . ··· ···
ak −1 0 0 0 . . . 1 0
ak 0 0 0 . . . 0 0
hk−1 hk−2 hk−3 . . X= . h2 h1 h0 1 (k+1)×1 a1 1 0 Y = MX = 0 . . . 0 0 a2 0 1 0 . . . 0 0 a3 0 0 1 . . . 0 0 ··· ··· ··· ··· .. . ··· ··· ak −1 0 0 0 . . . 1 0 ak 0 0 0 . . . 0 0 h h b n k −1 k hk−2 hk−1 0 hk−3 hk−2 0 . . . . 0 . = . h2 h3 . . . h2 h1 0 h0 h1 1 1 1
k ∑ i=1
ai · pn + bn
2 利用矩阵乘法计算递推数列的某一项
2.1 构造递推矩阵
设数列 {hn } 满足 k 阶常系数线性递推关系： hn = a1 hn−1 + a2 hn−2 + a3 hn−3 + · · · + ak hn−k 构造矩阵 a1 1 0 M=0 . . . 0 0 与初始值向量 a2 0 1 0 . . . 0 0 a3 0 0 1 . . . 0 0 ··· ··· ··· ··· .. . ··· ··· ak −2 0 0 0 . . . 1 0 ak −1 0 0 0 . . . 0 1 ak 0 0 0 . . . 0 0 k×k
矩阵乘法
矩阵乘法编辑矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（n )，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。
矩阵，是线性代数中的基本概念之一。
一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。
由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。
矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。
中文名矩阵乘法外文名Matrix multiplication基本性质结合性等类别对称矩阵等应用学科数学应用领域代数1适用范围2C语言程序3相关符号4基本性质5特殊类别6经典题目7乘法算法1适用范围编辑只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。
一个m×n的矩阵a(m,n)左乘一个n×p的矩阵b(n,p)，会得到一个m×p的矩阵c(m,p)。
左乘：又称前乘，就是乘在左边(即乘号前)，比如说,A左乘E即AE。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和约去律一般的矩乘要结合快速幂才有效果。
（基本上所有矩阵乘法都要用到快速幂的）在计算机中，一个矩阵实际上就是一个二维数组。
一个m行n列的矩阵与一个n行p 列的矩阵可以相乘，得到的结果是一个m行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数为第一个矩阵第i行上的n个数与第二个矩阵第j列上的n个数对应相乘后所得的n个乘积之和。
比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。
其中，结果矩阵的那个4（结果矩阵中第二（i）行第二（j)列）=2（第一个矩阵第二(i)行第一列）*2（第二个矩阵中第一行第二(j)列）+0（第一个矩阵第二(i)行第二列）*1（第二个矩阵中第二行第二(j)列）：2C语言程序编辑#include<stdio.h>int p, q, k;int fun(float A[][2], float B[][1]{float C[2][1] = { 0 };for (p = 0; p < 2; ++p){for (q = 0; q < 1; ++q){for (k = 0; k < 2; ++k)C[p][q] += A[p][k] * B[k][q];}}for (p = 0; p < 2; p++){for (q = 0; q < 1; q++){printf("%f", C[p][q]);printf("\n");}}return 0;}int main(){float A[2][2] = { 1, 1, 2, 1 }, B[2][1] = {2, 1}; printf("矩阵A*矩阵B为:\n"); // 计算两个矩阵相乘；以[2][2]*[2][1]为例fun(A, B);system("pause");return0;}程序运行结果示例：一般矩乘的代码：function mul( a , b : Tmatrix ) : Tmatrix;vari,j,k : longint;c : Tmatrix;beginfillchar( c , sizeof( c ) , 0 );for k:=0 to n dofor i:=0 to m dofor j:=0 to p dobegininc( c[ i , j ] , a[ i , k ]*b[ k , j ] );if c[ i , j ] > ra then c[ i , j ]:=c[ i , j ] mod ra;end;mul:=c;end;这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。
稀疏矩阵乘法
稀疏矩阵乘法
稀疏矩阵乘法是指矩阵乘法，其中一个或两个输
入矩阵都是稀疏矩阵。
稀疏矩阵是指当矩阵中大
多数元素都是零时，用较少数据表示矩阵的数据
结构。
稀疏矩阵乘法把空间和时间复杂度降低了。
一、什么是稀疏矩阵乘法?
稀疏矩阵乘法(sparse matrix multiplication)，是指
当一个（或两个）输入矩阵中的大多数元素为零时，采用较少数据表示矩阵的数据结构，在一些
应用场景中，可以减少计算的方法及时间覆盖率。
它可以把空间和时间复杂度降低了。
二、稀疏矩阵乘法的特点
（1）它需要少量的额外空间，可以节省很大的内存空间，而且速度也会提高。
（2）它可以显著提高矩阵乘法的效率，使得矩阵乘法可以在稀疏矩阵计算方面大大提高，且运算时间短、耗能少。
（3）它可以增加乘积矩阵的稀疏程度，并能同时得到多个稀疏乘积结果。
三、稀疏矩阵乘法的优势
（1）稀疏矩阵乘法的运算时间较矩阵乘法短，比其它计算方法更快。
（2）稀疏矩阵乘法可以高效地利用现有存储器结构，并将所需数据传送到存储器中。
（3）它可以明显降低计算开销，并在数据库查询大量数据时有显著优势。
四、稀疏矩阵乘法的应用
（1）稀疏矩阵乘法应用于搜索引擎，复杂的数据
挖掘任务，图像处理，矩阵乘积，矩阵运算，特征提取及分类。
（2）稀疏矩阵乘法也广泛应用于大规模数据的处理，如金融业决策支持，视频监控，天气预测，密码学等。
（3）它还可以应用于深度学习，机器学习，机器人控制及人工智能等领域，以便快速解决多项复杂问题。
矩阵strassen算法
矩阵strassen算法
矩阵Strassen算法是一种用于快速计算矩阵乘法的算法。
它是由Volker Strassen在1969年提出的。
矩阵乘法是一种常见的数学运算，但是传统的矩阵乘法算法在处理大型矩阵时会消耗大量的时间和资源。
Strassen算法通过将矩阵乘法分解成更小的子问题，并利用这些子问题之间的关系来减少乘法的次数，从而实现了更高效的计算。
具体来说，Strassen算法将两个n×n的矩阵A和B分别划分成四个n/2×n/2的子矩阵，并通过一系列加法和减法操作来计算出所需的乘积矩阵C。
这种分治的策略使得算法的时间复杂度降低到O(n^log7)（约等于O(n^2.81)），比传统的矩阵乘法算法的时间复杂度O(n^3)更低。
然而，尽管Strassen算法在理论上具有更好的时间复杂度，但在实际应用中却并不总是比传统算法更快。
这是因为Strassen算法虽然减少了乘法的次数，但引入了更多的加法和减法操作，而且在实际计算机中，矩阵乘法的常数项对于算法的效率也有很大影响。
此外，由于Strassen算法涉及到矩阵的分解和递归计算，对于
小规模矩阵来说，并不能带来明显的性能提升。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况权衡选择使用传统的矩阵乘法算法还是Strassen算法。
总的来说，矩阵Strassen算法是一种重要的矩阵乘法算法，它
通过分治和递归的思想，实现了对传统矩阵乘法算法的优化。
然而，在实际应用中需要综合考虑算法的时间复杂度、常数项影响以及实
际问题的规模等因素，来选择合适的算法。
矩阵乘法时间复杂度
矩阵乘法时间复杂度
矩阵乘法作为一种广泛应用的数学运算，它的时间复杂度是非常重要的。
矩阵乘法的时间
复杂度是O(n3)，即矢量空间用于存储矩阵数据时间和空间复杂度之比。
其中n表示矩阵
的维数。
时间复杂度与两个矩阵的维数直接相关，它表明算法的执行次数与矩阵的维数乘积成正比。
只有当矩阵的维数增加，矩阵的乘积才会增加，算法的时间复杂度也会随之增加。
所以，
在进行矩阵乘法的时候，最好尽量减少矩阵的维数，以减少运算的时间。
此外，矩阵乘法可以使用迭代法来计算，从而降低时间复杂度。
常见的矩阵乘法迭代法有Strassen方法、变体法和蝴蝶法等。
比如，Strassen方法可将矩阵乘法时间复杂度降低
到O(nlog2 7)。
另外，有一种叫做“乘积定理”的算法，其时间复杂度可以降低到O(n2)，但比较偏门也
很难掌握。
这种算法通过分解矩阵乘积，使其仅有三次循环，从而降低运算时间。
总之，矩阵乘法的时间复杂度为O(n3)，它与两个矩阵的维数成正比。
这使得当处理大规
模矩阵乘法时，执行效率可能会非常低。
因此，在处理矩阵乘法时，最好尽量减少矩阵的
维数，并尝试使用Strassen等迭代方法以及"乘积定理"等算法，以降低运算时间。
人工智能基础(习题卷31)
人工智能基础(习题卷31)第1部分：单项选择题，共50题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。
1.[单选题]下列选项中能够正确说明大数据价值密度低的是A)100TB数据中有50TB有效数据B)1TB数据中有1KB有效数据C)100PB数据中有100PB有效数据答案:B解析:2.[单选题]Python中字典类型，它的特点不包括（）A)键和值可以是任意数据类型B)字典是存储可变数量键值对的数据结构C)字典中键值对没有先后顺序D)字典中的键值对可以重复答案:D解析:3.[单选题]下列哪个不是专门用于可视化时间空间数据的技术 ( )A)等高线图B)饼图C)曲面图D)矢量场图答案:B解析:4.[单选题]深度学习是当前很热门的机器学习算法，在深度学习中，涉及到大量的矩阵相乘，现在需要计算三个稠密矩阵A,B,C的乘积ABC,假设三个矩阵的尺寸分别为m*n,n*p,p*q,且mA)（AB）CB)AC（B）C)A（BC）D)所以效率都相同答案:A解析:5.[单选题]以下()不属于数据统计分析工具。
A)WekaB)SASC)SPSSD)Matlab答案:A解析:6.[单选题]坐标为（21,13）和坐标为（22,12）的两个像素在空间上存在什么邻接关系？D)4-邻接答案:B解析:7.[单选题]机器视觉工业应用广泛，主要具有如下功能( )。
①引导和定位②外观检测③高精度检测④识别A)①②③B)①②③④C)②③④D)①②答案:B解析:8.[单选题]欲动态地给一个对象添加职责，宜采用()模式。
A)适配器(Adapter)B)桥接(Bridge)C)组合(posite)D)装饰器(Decorator)答案:D解析:9.[单选题]假设你使用log-loss函数作为评估标准。
下面这些选项，哪些是对作为评估标准的log-loss的正确解释。
()A)如果一个分类器对不正确的分类很自信，log-loss会严重的批评它。
B)对一个特别的观察而言，分类器为正确的类别分配非常小的概率，然后对log-loss的相应分布会非常大。
矩阵快速幂斐波那契复杂度
矩阵快速幂斐波那契复杂度1.引言1.1 概述矩阵快速幂是一种高效计算矩阵幂的方法，它通过将原始矩阵进行分解和不断求平方的方式，使得计算复杂度大大降低。
斐波那契数列是一种常见的数学数列，它的每一项都是前两项的和。
本文将会探讨矩阵快速幂在求解斐波那契数列中的应用，并对其复杂度进行分析。
首先，本文将在引言部分介绍矩阵快速幂和斐波那契数列的基本概念及其应用背景。
接着，正文部分将详细介绍矩阵快速幂算法的原理和步骤，并结合斐波那契数列的特性，给出相应的实例和运算过程。
在复杂度分析中，我们将详细讨论矩阵快速幂算法和传统递归算法在计算斐波那契数列时的时间复杂度差异，并通过实验数据进行对比和验证。
最后，在结论部分，我们将总结矩阵快速幂斐波那契算法的复杂度优势，并探讨其在其他领域中的应用前景和潜力。
通过本文的研究和探讨，读者将全面了解矩阵快速幂斐波那契算法的原理和应用，并对其复杂度有更为深入的认识。
同时，本文也将为读者提供一种新的思路和方法，以便在实际问题中更高效地求解斐波那契数列或其他相关问题，为科学和技术的发展做出贡献。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分主要介绍了本文的章节划分和各个章节的主要内容。
通过对文章结构的介绍，读者可以更好地了解整个文章的框架和内容安排。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
概述部分简要介绍了矩阵快速幂斐波那契复杂度的主题，并提出了该主题的重要性和研究价值。
文章结构部分介绍了本文的章节划分和各个章节所涵盖的内容。
引言、正文和结论三个部分分别承担着不同的功能。
引言部分主要通过概述引入主题，给出了研究该主题的目的并介绍了文章的整体结构。
正文部分详细介绍了矩阵快速幂和斐波那契数列的相关知识，包括定义、性质和算法等方面的内容。
结论部分对本文进行总结，并对矩阵快速幂斐波那契复杂度的研究结果进行了复杂度分析和评价。
通过以上章节划分和内容安排，本文的结构清晰合理，层次分明。
矩阵快速幂算法
矩阵快速幂算法1. 算法介绍矩阵快速幂算法（Matrix Exponentiation）是一种用于求解递推关系的高效算法。
它通过将递归计算转化为矩阵乘法的形式，大大提高了计算效率。
该算法在解决一些数学问题、动态规划问题以及图论问题中具有重要应用。
2. 原理解析2.1 矩阵乘法在介绍矩阵快速幂算法之前，我们首先需要了解矩阵乘法的定义和性质。
给定两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以定义它们的乘积C为：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][k]*B[k][j]其中，C是一个新的矩阵，其大小为A的行数乘以B的列数。
2.2 矩阵快速幂现在我们来介绍矩阵快速幂算法。
假设我们有一个递推关系：f(n) = a*f(n-1) + b*f(n-2) + ... + k*f(n-k)其中，f(0), f(1), …, f(k-1)是已知的初始条件，a, b, …, k是给定的常数。
我们可以将上述递推关系转化为矩阵形式：F[n] = A*F[n-1]其中，F[n]是一个列向量，表示f(n)到f(n-k+1)的值，A是一个k×k的矩阵，其元素为递推关系中的系数。
通过观察可以发现：F[0] = A^0 * F[0]F[1] = A^1 * F[0]F[2] = A^2 * F[0]...F[n] = A^n * F[0]其中，A^x表示A的x次幂。
根据上述观察结果，我们可以使用矩阵快速幂算法来高效地计算出F[n]。
3. 算法步骤矩阵快速幂算法的步骤如下：1.将递推关系转化为矩阵形式，并确定初始条件。
2.创建一个k×k的单位矩阵I。
3.将初始条件赋值给列向量F[0]。
4.将递推关系中的系数赋值给矩阵A。
5.如果n小于k，则直接返回初始条件中对应位置的值。
6.将n转化为二进制形式。
7.从右向左遍历n的二进制形式的每一位，如果为1，则将当前的A乘以F[0]。
揭开矩阵乘法的面纱_华清远见
揭开矩阵乘法的面纱矩阵乘法的本质简介矩阵的乘法，本质是一种运动。
下面我们就来揭开矩阵乘法的面纱，给新手做一个矩阵乘法的本质简介，希望对大家有帮助。
矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。
它只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有意义。
一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。
一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。
由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。
二维数组无论在数值计算领域还是在非数值计算领域都是一种相当基本、重要且抽象的数据结构。
二维数组在数学中的表现形式是矩阵，因此研究矩阵的基本运算本质上就是在研究二维数组的运算。
显然，尽可能地提高矩阵运算速率对于编程而言是十分重要的工作。
矩阵加法和矩阵乘法是矩阵中最基本的矩阵运算。
设A、B是两个n×n的矩阵。
矩阵的加法表示两个矩阵对应位置元素之和，因此它们的和仍然是一个n×n的矩阵，记为C=A+B。
显然，矩阵加法的时间复杂度为O(n2)。
如果设矩阵A与B的乘积为矩阵C，即C=A×B，显然矩阵C也是一个n×n的矩阵。
则矩阵C的第i行第j列的元素C(I,j)等于矩阵A的第i行和矩阵B的第j 列对应元素乘积的和。
可表示为：按这个公式计算C(i,j)需要n次乘法与n-1次加法，而矩阵C中有n×n个元素，因此，由矩阵乘法定义而直接产生的矩阵相乘算法时间复杂度为O(n3) 。
人们长期对矩阵的乘法计算的改进工作做着不懈的努力，做出不少尝试，也试图设计或改进这个算法，但无论怎样改进都囿于O(n3)数量级的时间复杂度，没有显著地提速。
1969年，斯特拉森(V.Strassen)利用分治策略并加上数学处理设计出了一种时间复杂度是O(n2.81)(准确地说是O(nlog7))的矩阵相乘算法，宣称在时间复杂度数量级上有所突破。
卡拉杰克矩阵的概念
卡拉杰克矩阵的概念卡拉杰克矩阵是一种用来加速矩阵乘法运算的方法，主要利用矩阵的分块技术和递归思想来优化运算速度。
卡拉杰克矩阵的提出是为了减少传统矩阵乘法所带来的浮点运算和内存访问次数，从而提高乘法运算的效率。
卡拉杰克矩阵的核心思想在于将原始矩阵的乘法运算转化为更小规模的矩阵乘法运算。
为了达到这个目的，首先将原始矩阵等分为4个子矩阵，并对子矩阵进行递归操作，直到子矩阵的规模足够小不再划分。
然后通过一系列的加法和减法运算，将子矩阵的运算结果组合成最终的矩阵。
具体来说，假设需要计算的两个矩阵分别是A和B，它们的维度分别为n×n。
首先将A和B分别划分为4个大小相等的子矩阵，即A11, A12, A21, A22和B11, B12, B21, B22。
然后根据卡拉杰克递推公式，计算出7个中间矩阵P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7。
这7个矩阵的计算公式如下：P1 = A11 * (B12 - B22)P2 = (A11 + A12) * B22P3 = (A21 + A22) * B11P4 = A22 * (B21 - B11)P5 = (A11 + A22) * (B11 + B22)P6 = (A12 - A22) * (B21 + B22)P7 = (A11 - A21) * (B11 + B12)然后通过一系列的加法和减法运算，将上述7个矩阵P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7计算出最终结果。
具体运算过程如下：C11 = P5 + P4 - P2 + P6C12 = P1 + P2C21 = P3 + P4C22 = P5 + P1 - P3 - P7最后，将得到的4个子矩阵C11, C12, C21, C22以合适的顺序组合成最终的乘积矩阵C。
卡拉杰克矩阵的核心优点在于它利用递归的方式将矩阵的规模逐渐减小，从而减少乘法的次数。
在传统的矩阵乘法中，需要进行n次乘法运算，而卡拉杰克矩阵只需要进行7次乘法运算。
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矩阵运算是属于线性代数里的一个重要内容，上学期学完后只觉得矩阵能解线性方程，不过高中的时候听说过矩阵能优化常系数递推以及将坐标上的点作线性变换，于是找了些资料研究了一下，并把许多经典题以及HDU shǎ崽大牛总结的矩阵乘法的题目[1]、[2]和开设的矩阵乘法DIY Contest给做完了，感觉收获颇丰。
一个矩阵就是一个二维数组，为了方便声明多个矩阵，我们一般会将矩阵封装一个类或定义一个矩阵的结构体，我采用的是后者：最特殊的矩阵应该就是单位矩阵E了，它的对角线的元素为1，非对角线元素为0。
若A为n×p矩阵，B为p×m矩阵，则它们的乘积AB(有时记做A·B)将是一个n×m矩阵。
其乘积矩阵AB的第i行第j列的元素为：一般矩阵乘法采用朴素的O(n^3)的算法：矩阵加法就是简单地将对应的位置的两个矩阵的元素相加：在ACM的题目中，我们一般考虑的是n阶方阵之间的乘法以及n阶方阵与n维向量（把向量看成n×1的矩阵）的乘法。
矩阵乘法最重要的性质就是满足结合律，同时它另一个很重要的性质就是不满足交换率，这保证了矩阵的幂运算满足快速幂取模（A^k % MOD）算法：假设k = 27，则k的二进制表示为11011，所以按二进制展开，乘以相应的权值，可以看出：k的二进制的每一位矩阵A都要平方，在k二进制为1的位：末矩阵×平方后的A，在k二进制为0的位则末矩阵×E（单位矩阵），即不变。
代码如下：重载按位与(乘方)和加法时注意，加法的优先级高于按位与*->+->^许多题目还要求S = A + A2 + A3+ … + A k.。
其实再作一次二分即可：只需计算log(n)个A 的幂即可。
()()343251A6231=+++++将二分+⨯+AAAeA+AAAAA若A中=m表示从i到j有m条有向边，则kA中=n表示从i经过k条有向边到达j，这样的走法有n种矩阵在ACM 里用处最大的就是加速常系数递推方程的计算，最经典的例子就是Fibonacci 数列，如果普通的递推，计算第n 项复杂度为o(n)，显然对于10^9左右的数据就力不从心了。
如果用矩阵快速幂递推的话，计算第n 项的复杂度为o(k 3*log(n))，对应一般的题目已经绰绰有余了，有的题目可以根据矩阵的特殊性进行优化，可以达到o(k 2*log(n))。
由fffn n nba21--+=常系数递推式右边有两项，所以向量和矩阵的规格都为2。
容易如下递推：实现计算Fibonacci 数列第k 项的代码如下：在朴素递推公式中()()()21-+-=n f n f n f 采用线性递推，耗时()n O ，而采用矩阵快速幂时是将n 二进制分解，耗时()()n O log⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------ff b a ff ff f ff f f f n n n n n n n n n n nb ab a 1222112112101010()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----12340100100001110143210100010000111013214f f f f n f n f n f n f n f n f n f n f n()2332222122232211222121121212144244442------------------=--+-+=+--+=+-+=+=∑=-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n i n i n n n n a a ta ta S S a a a ta t ta S a a ta ta S a S a S a ta a恰好可以将324---n n a ta 消去，最后有不能由2a去套矩阵凑kA AAA ++++ 321，注意矩阵乘法不满足交换律()13222124824-----+-+=n n n n n S S t StS t S矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（n )，还可以求路径方案等，所以更是是一种应用性极强的算法。
矩阵，是线性代数中的基本概念之一。
一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。
由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。
矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。
基本性质1.结合性（AB)C=A(BC）．2.对加法的分配性（A+B)C=AC+BC，C(A+B）=CA+CB ．3.对数乘的结合性k(AB）=（kA)B =A(kB）．4.关于转置(AB)'=B'A'．制作步骤制作矩阵图一般要遵循以下几个步骤：①列出质量因素：②把成对对因素排列成行和列，表示其对应关系③选择合适的矩阵图类型④在成对因素交点处表示其关系程度，一般凭经验进行定性判断，可分为三种：关系密切、关系较密切、关系一般（或可能有关系)，并用不同符号表示⑤根据关系程度确定必须控制的重点因素⑥针对重点因素作对策表。
编辑本段经典题目给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。
操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。
其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。
如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。
利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。
假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。
预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。
给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。
由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。
我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。
这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。
例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。
根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。
POJ3233题目大意：给定矩阵A，求A + A^2 + A^3 + ... + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。
输出的数据mod m。
k<=10^9。
这道题两次二分，相当经典。
首先我们知道，A^i可以二分求出。
然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。
比如，当k=6时，有：A + A^2 + A^3 + A^4 + A^5 + A^6 =(A + A^2 + A^3) + A^3*(A + A^2 + A^3)应用这个式子后，规模k减小了一半。
我们二分求出A^3后再递归地计算A + A^2 + A^3，即可得到原问题的答案。
VOJ1049题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。
m<=10, k<2^31。
首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。
注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。
例如，将1 2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。
我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。
做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。
《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）大家自己去看看吧，书上讲得很详细。
解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。
给定n和p，求第n个Fibonacci数mod p的值，n不超过2^31根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2 x 2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。
每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。
那么，我们把这个2 x 2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。
不用多想，这个2 x 2的矩阵很容易构造出来：VOJ1067我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。
例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n) = 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项：利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。
这里给出的例题是系数全为1的情况。
给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数mod p的值把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。
令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。
类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。
同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。
经典题目9用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案，M<=5，N<2^31，输出答案mod p的结果我们以M=3为例进行讲解。
假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一列一列地进行填充。
其中前n-2列已经填满了，第n-1列参差不齐。
现在我们要做的事情是把第n-1列也填满，将状态转移到第n列上去。
由于第n-1列的状态不一样（有8种不同的状态），因此我们需要分情况进行讨论。
在图中，我把转移前8种不同的状态放在左边，转移后8种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。
注意为了保证方案不重复，状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌（例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态），否则这将与另一种转移前的状态重复。
把这8种状态的转移关系画成一个有向图，那么问题就变成了这样：从状态111出发，恰好经过n 步回到这个状态有多少种方案。