机械基础直梁弯曲时横截面正应力分布规律
梁弯曲时的正应力 知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力公式: 当正应力不超过材料的比例极限 时可应用虎克定律，可得cd处的正 应力为： σ=Eε=Ey/ρ。 由上式可知，横截面上任一点的 弯曲正应力与该点到中性轴的距离 成正比，即正应力沿截面高度呈线 性变化，在中性轴处，y=0，所以正 应力也为零。
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
梁弯曲时的正应力
知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力平衡关系
4、强度条件 5、提高梁抗弯能力的措施
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
平截面规律：纯弯曲梁变形后名横截面仍保持为一平面。这个变
形规律称为。
中性层：由于变形的连续性，在伸长纤维与缩短纤维之间，必然存
解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩 图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：C点 为上压下拉，而B点为上拉下压 2、求出B截面最大应力 最大拉应力（上边缘）：
M B y1 4 10 6 52 27.26MPa 4 Iz 763 10
图（8.1)
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力的计算公式： σ=My/Iz。 其中：Iz为截面对z轴的惯性矩 最大正应力公式
max
M ymax Iz
max
M Wz
惯性矩计算
bh3 I z y 2 dA h y 2 (bdy) A 2 12 Iz I z bh2 Wz h ymax 2 6
h 2
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
直梁弯曲时的内力和应力下
M max Wz
30 103 6.48 105 109
Pa
应力强度条件。
46.3MPa [ ]
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
例7-9 如图所示的简支梁是工字钢，作用有均布
载荷，q=10kN/m，其弯曲许用应力[ ]=170MPa，试
选择工字钢的型号。
解：1）作梁的弯矩图
M max
1 8
ql 2
是理想状态，考虑到生产工艺，工程实际常采用近似 的等强度梁，如图所示的汽车板簧即为应用实例。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
第七节 计算机在梁弯曲计算中的应用简介
一、利用奇异函数作梁的弯矩图
奇异函数
如图所示，梁AB的支座反 力为FRA、FRB，作用有外力 M、F 和 q，AC、CD、DE 和ED各段的弯矩方程分别为
MC y2 Iz
4.5103 52 103 763 108
4.5103 88 103 763 108
Pa Pa
30.7MPa
max
51.9MPa
[
]
所以，梁不满足弯曲正应力强度条件。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
第六节 提高梁弯曲强度的几项措施
影响梁弯曲强度的主要因素：影响梁弯曲强度的 主要因素是弯曲正应力强度条件。
m
ax
FRA
l 2
1 2
q
l 2
2
1 ql2 2.25kN m 8
梁的最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘
处，最大正应力值为：
max
M maxymax Iz
2.25103 50103 6.67106 1012
Pa
16.9MPa
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
机械基础《直梁弯曲时横截面的正应力分布规律》课件
精选课件
8
三、新课
（二）梁纯弯曲的变形特点
2 b
1
d
a
c
2
1
1 a
2b d
c
2
1
1.横向线1-1、2-2（蓝色）在弯曲后仍为直线，仍然与轴线垂直，但是 转过了一定角度，不再平行。
请思考：横截面的变化？
横截面仍然为平面并垂直于梁轴线，但是绕某轴转过了一定角度。
精选课件
9
三、新课
（二）梁纯弯曲的变形特点？
二、导入
（一）问题：
当抓住筷子两端折断筷子时，筷子从哪里开始断裂？为什么？
精选课件
5
三、新课
1 2
3
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
精选课件
6
三、新课
（一）什么是梁的纯弯曲？
横截面上弯矩为常数
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
无剪力
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7
三、新课
（二）梁纯弯曲的变形特点？
动画：
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
梁： 发生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件
双杠：简支梁
起重机械：外伸梁
精选课件
雨棚：悬臂梁
3
一、复习
（一）梁平面弯曲的概念与特点
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
平面弯曲： 1.外力和力偶作用于梁的纵向对称平面内； 2.外力垂直于梁的轴线； 3.轴线在纵向对称面内由直线变为曲线。
精选课件
4
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
精选课件
10
三、新课
（二）梁纯弯曲的变形特点？
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
中性轴：横截面与中性层的交线
精选课件
机械基础复习知识点总结
机械基础期末备考考试题型：选择题、名词解释、判断题、填空题、简答题、计算题第一章 刚体的受力分析及其平衡规律一、基本概念☆1、强度：是指机构抵抗破坏的能力 。
2、刚度：是指构件抵抗变形的能力；3、稳定性：是指构件保持原有变形形式的能力4、力：力是物体间相互作用。
外效应：使物体的运动状态改变；内效应：使物体发生变形。
5、力的基本性质：力的可传性、力的成对性、力的可合性、力的可分性、力的可消性。
6、二力构件：工程中的构件不管形状如何，只要该构件在二力作用下处于平衡，我们就称它为“二力构件”。
7、三力平衡汇交定理：由不平行的三力组成的平衡力系只能汇交于一点。
8、约束：限制非自由体运动的物体叫约束。
约束作用于非自由体上的力称为该约束的约束反力。
9、合力投影定理：合力的投影是分力投影的代数和。
10、力矩：力与距离的乘积 (力F 对O 点之矩）来度量转动效应。
11、合力矩定律：平面汇交力系的合力对平面上一点的距，是力系各力对同点之矩的代数和。
Mo(F) = Fx ·Y + Fy ·X = Mo(Fy) + Mo(Fx)12、力偶: 一对等值、反向、力的作用线平行的力，它对物体产生的是转动效应。
13、力偶矩：构成力偶的这两个力对某点之矩的代数和。
14、力的平移定理：作用于刚体的力，平行移到任意指定点，只要附加一力偶（附加的力偶矩等于原力对指定点的力矩），就不会改变原有力对刚体的外效应，这就是力的平移定理。
（运用力的平移定理可以把任意的平面一般力系转化为汇交力系与力偶系两个基本的力系。
）yF y F Ry xF x F Rx 1221+=+=受力分析1、主动力--它能引起零件运动状态的改变或具有改变运动状态的趋势。
2、约束反力--它是阻碍物体改变运动状态的力。
（必须掌握常见约束类型）（1）柔软体约束：力的作用线和绳索伸直时的中心线重合，指向是离开非自由体朝外。
（2）光滑面约束：光滑面约束与非自由体之间产生的相互作用力的作用线只能与过接触点的公法线重合，约束反力总是指向非自由体。
机械基础(陈长生高职高专)
第二节 零件的剪切和挤压
一、剪切和挤压的概念 如图b所示，在外力FP的作用下，截面发生相对错动
的变形称为剪切变形。产生相对错动的截面m—m称为剪切 面，剪切变形是零件的一种基本变形。剪切变形的受力特 点是作用在零件两侧面的外力大小相等、方向相反、作用 线相距很近。
螺栓除受剪切作用外，还在螺栓圆柱形表面和钢板圆 孔表面相互压紧（图d），这种局部受压的现象称为挤 压。作用在挤压面上的压力叫挤压力，承受挤压作用的表 面叫挤压面，在接触处产生的变形称为挤压变形。如果挤 压变形过大，会使联接松动，影响机器正常工作，甚至造 成挤压破坏。
二、剪切和挤压的实用计算 （一）剪切强度实用计算
（包括外力和内力）； 列式求解。即列研究对象的静力平衡方程，并求解内
力。
2．轴力
与杆轴线重合的内力又称为轴力。轴力的符号规定如 下：轴力的方向与所在截面的外法线方向一致时，轴力为 正；反之为负。由此可知，拉杆的轴力为正，压杆的轴力 为负。
为了直观地反映出轴力随截面位置的变化，常用轴力 图来表示。
例2-1 试计算如图a所示等直杆的 轴力，并画出轴力图。 解： （1）求约束反力 （2）分段计算轴力 （3）绘制轴力图 轴力图不仅显示了轴力随截面位 置的变化情况和最大轴力所在截 面的位置，而且还明显地表示了 杆件各段是受拉还是受压。
2．虎克定律 实验表明，轴向拉伸或压缩的杆件，当应力不超过某
一限度时，轴线变形Δl与轴向载荷FN及杆长l成正比，与杆 的横截面面积成反比。这一关系称为虎克定律，即
引进比例常数E，则有
梁弯曲时横截面上的正应力
m
b)
n
b′
图7-12
曲变形的平面假设。
横截面对称轴 纵向对称面
由此可以推断，梁发生纯弯
曲时，横截面上只有正应力。 2、梁纯弯曲时横截面上
中性轴
c) 中性层 图7-12
正应力的分布规律 1) 中性轴上的线应变为 零，所以其正应力亦为零。
2) 距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克
定律，它们的正应力也必相等。 3) 在图7-12b所示的受力情况下，中性轴上部各点正应 力为压应力(即负值)，中性轴下部各正应力为拉应力(即正
梁弯曲时横截面上的正应力
一、纯弯曲与横力弯曲的概念
F A
a
C
l
a)
D
F
B a
如图7-11b、c所示
在CD段内的各横截面上只有弯 矩M而无剪力FQ，梁的这种弯曲称
FQ
F
F x
为纯弯曲。
在AC、DB段内各横截面上即有 弯矩M又有剪力FQ，梁在这些段内 发 生弯曲变形的同时还会发生剪切变
M
b)
x Fa r c)
值)。弯曲变形时，横截面上中性轴上下部分，正应力方向相 反。 4) 横截面上的正应力沿y轴呈线性分布，即
ky ，
k 为待定常数，如图7-13所示。
3、梁纯弯曲时横截面上的正
y
h/2 h/2 b
应力计算
z
ky
My / I z
(7-1) (7-2)
σ M / W max Z
图713
0.1 D3 32
3 4 0 . 1 D ( 1 )
4 D
图7-11
形，这种变形称为剪切变形，也称
为横力弯曲。
等直梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
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《汽车机械基础》第六章直梁的弯曲
灌南中专教师授课教案2018 /2019 学年第一学期课程汽车机械基础教学内容旧知复习：1.圆轴扭转的概念。
2.圆轴扭转的外力偶矩、扭矩的计算方法。
3.圆轴扭转的强度计算方法。
讲授新课：第六章材料力学基础第5节直梁的弯曲一、平面弯曲的概念1. 平面弯曲在工程实际中，把发生弯曲变形为主的构件称为梁，如跨江大桥两桥墩之间的横梁、汽车前梁等。
梁在自重和载荷的作用下会产生平面弯曲变形。
梁弯曲变形的受力特点：外力垂直于轴线或在轴线的平面内受到力偶的作用。
变形的特点：轴线在纵向对称平面内由直线弯曲成曲线。
2. 梁的基本类型根据支座对梁的约束，将梁简化为三种基本形式。
（1）简支梁梁的两端均用铰链支座约束，一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图6-26a所示。
（2）外伸梁简支梁的一端（或两端）伸出支座以外，如图6-26b所示。
（3）悬臂梁梁的一端为固定支座，另一端为自由端，如图6-26c所示。
3.载荷的简化作用在梁上的载荷可简化为以下三种形式。
（1）集中力集中力是将作用于梁上方的长度很短的力简化为作用于一点的力，单位为N或kN。
（2）集中力偶矩集中力偶矩是将作用于梁上方的长度很短的力偶矩简化为作用于某一截面的集中力偶矩，单位为N·m或kN·m。
（3）分布载荷分布载荷是指沿梁的长度或部分长度连续均匀分布的载荷，称为分布载荷。
单位长度上的力用q表示，称集度载荷，单位为N/m或kN/m。
二、梁弯曲变形的内力1.用截面法求梁的内力为了计算梁的强度，必须研究梁上各截面上的内力，分析内力和计算内力的方法仍旧采用截面法。
例6-8剪力和弯矩的大小、方向或转向的确定原则如下：（1）截面上剪力的大小等于此截面以左（或右）所有外力的代数和。
截面左侧的外力，向上取正号，向下取负号。
截面右侧的外力与此相反。
（2）截面上弯矩的大小等于此截面以左（或右）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
截面左侧的外力对截面形心的力矩顺时针转向为正，反之为负。
正应力的分布规律
第2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.5 提高轴抗扭能力的方法
1.合理选用截面，提高轴的抗扭截面系数Wn 2.合理安排受力情况，降低最大扭矩 除了抗扭强度的影响外，对许多轴来说，还要考虑刚度对抗扭能力的影响，即在轴满足强度条 件下，还要使轴避免产生过大扭转变形。我们把抗扭转变形的能力称为抗扭刚度。 提高抗扭刚度的方法有：
第2章 材料力学基础
2.4 圆轴扭转
2.4.2 扭矩.扭矩图
3.扭矩图: 当轴上承受多个外力偶矩作用时，各横截面上的扭矩是不同的。为了确定最大扭矩 的所在位置，以便分析危险截面，常需画出扭矩随截面位置变化的图形，这种图形称为扭矩 图。扭矩图横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示各横截面上扭矩的大小。 【例2.7】如图2.21所示，求传动轴截面1-1、2-2的扭矩，并画出扭矩图。
固定端可阻止梁移动和转动，故有一约束力和一约束力偶，这种梁称为悬臂梁。
第2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.1 概述
4.梁的类型 根据约束特点对支座简化，分为下列三种基本形式： （3）外伸梁 如右下图所示的车床主轴，它的支座可简化成与简支梁一样的形式，但梁的 一端(或两端)向支座外伸出，并在外伸端有载荷作用。这种梁称为外伸梁。 5.梁上外力形成 梁上外力包括载荷和支座两部分，梁上的载荷 常见形式有: （1）集中力F，单位是N或kN。 （2）集中力偶M，单位是N·m或kN·m。 （3）均匀分布载荷g，单位是N/m或kN/m。
方向相反的力FQ, 由于该内力切于截面, 因此称为剪力。
又由于FRA 与FQ形成一个力偶, 因此在截面处必存在一个内力偶M与之平衡, 该内力偶称为弯矩。
实验三 纯弯曲梁横截面上正应力的分布规律实验
实验三纯弯曲梁横截面上正应力的分布规律实验一、实验目的：1．测定梁在纯弯曲时横截面上正应力大小和分布规律;2．验证纯弯梁的正应力计算公式;二．实验仪器设备：1．CLDT-C材料力学多功能实验台2. XL2118A/B应力&应变综合参数测试仪3.BLK-1/1t拉压力传感器三、弯曲梁简图：图3-1已知: 、、、、在梁的纯弯曲段内（或）截面处粘贴五片电阻片，即、、、、。
贴在中性层处，实验时依次测出1、2、3、4、5点的应变，计算出应力。
四、测量电桥原理构件的应变值一般均很小，所以，应变片电阻变化率也很小，需用专门仪器进行测量，测量应变片的电阻变化率的仪器称为电阻应变仪，其测量电路为惠斯顿电桥，如图所示。
如图所示，电桥四个桥臂的电阻分别为、、和，在、端接电源，、端为输出端。
设、间的电压降为则经流电阻、的电流分别为，、，所以、两端的电压降分别为，所以、端的输出电压为当电桥输出电压时，称为电桥平衡。
故电桥平衡条件为或设电桥在接上电阻、、和时处于平衡状态，即满足平衡条件。
当上述电阻分别改变、、和时略去高阶微量后可得（当时）上式代表电桥的输出电压与各臂电阻改变量的一般关系。
在进行电测实验时，有时将粘贴在构件上的四个相同规格的应变片同时接入测量电桥，当构件受力后，设上述应变片感受到的应变分别为、、、相应的电阻改变量分别为、、和，应变仪的读数为以上为全桥测量的读数，如果是半桥测量，则读数为所谓半桥测量是将应变片和放入仪器内部，和测量片接入电桥，接入、和、组成半桥测量五、理论和实验计算理论计算、、?、、实验值计算：图3-3。
三年级机械基础第2章杆件的变形与强度复习测试题
第 2 章杆件的变形与强度复习题一、填空：1、要使零件在载荷的作用下安全、可靠地工作，零件必须具有足够的、、。
2、轴向拉伸和压缩时横截面上正应力是分布的。
3、低碳钢拉伸时的四个阶段是、、、。
4、铸铁试件压断时，其断口与轴线约成方向。
5、工作时允许的最大应力称。
6、塑性材料的极限应力是，脆性材料的极限应力是。
7、接触面为平面时挤压面积为面积，接触面为圆柱面时挤压面积为半圆柱面的面积。
8、梁的基本形式有、、。
9、弯曲受力的特点是外力垂直于杆的。
10 、弯曲变形时，横截面绕转动。
梁一侧的纤维受拉而，另一侧的纤维受压而，横截面上只有。
11、梁的横截面上任意点的正应力与该点到中性轴的距离成。
二、判断：( ) 1、拉伸与压缩受力特点是外力或外力合力沿杆的轴线作用。
( ) 2、工程上常用单位面积上内力的大小来衡量零件受力的强弱程度。
( ) 3、横截面上的应力，称为正应力。
( ) 4、由于灰铸铁的抗压强度很低，不易用做受压的杆件。
( ) 5、安全系数反应构件强度储备的情况，是合理解决安全与经济矛盾的关键。
( ) 6、当构件中的应力接近极限应力时，构件就处于危险状态。
( ) 7、细长杆失稳时的轴向压应力大于材料的极限应力。
( ) 8 、剪切的受力特点是作用在构件上的外力大小相等、方向相反，作用线平行且相距较近。
( ) 9、在零件发生剪切变形的同时，不会产生挤压变形。
( ) 10 、如果互相挤压的材料不同，应按许用应力小的材料进行强度计算。
( ) 11、圆轴在扭转变形时，各截面仍为平行于轴线的平面，且大小与形状不变、间距不变，只是绕轴线做相对转动。
( ) 12 、圆轴在扭转变形时，横截面上没有正应力，只有垂直于半径的切应力。
( ) 13、圆轴横截面上最大切应力在外边缘处(半径最大) 。
( ) 14 、圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有切应力。
( ) 15 、连接轴与齿轮的键通常发生拉伸变形。
( ) 16 、梁各横截面剪力为零，弯矩为常数时的弯曲变形，称为纯弯曲。
机械基础第2版习题答案u2
第二单元直杆的基本变形练习题一、名词解释1．杆件杆件是指纵向（长度方向）尺寸远大于横向（垂直于长度方向）尺寸的构件。
2．内力在外力作用下，材料（或杆件）产生变形，杆件内部产生阻止变形的抗力称为内力。
3．应力杆件在外力作用下，其截面上单位面积上的内力称为应力。
4．应变应变是杆件在外力作用下其内部某一点的变形程度。
5．力学性能力学性能又称为机械性能，是指材料在外力作用下所表现出来的性能。
6．抗拉强度抗拉强度是指拉伸试样拉断前承受的最大标称拉应力。
7．塑性塑性是指金属材料在断裂前发生不可逆永久变形的能力。
8．扭转变形构件受到作用面与轴线垂直的外力偶作用时，各横截面绕轴线发生相对转动的现象，称为扭转变形。
9．弯曲变形杆件受到垂直于轴线的外力或作用面在轴线所在平面内的外力偶作用时，杆件的轴线将由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。
10．交变应力随时间发生周期性变化的应力称为交变应力。
二、填空题1．杆件有两个主要几何要素，即横截面和轴线。
横截面是指垂直于杆件轴线方向的截面；轴线是指各横截面形心（几何中心）的连线。
2．根据载荷作用性质的不同，载荷分为静载荷、冲击载荷和交变载荷。
3．根据载荷作用形式的不同，载荷又可分为拉伸载荷、压缩载荷、弯曲载荷、剪切载荷和扭转载荷等。
4．杆件的基本变形形式主要有拉伸（或压缩）变形、剪切变形、扭转变形和弯曲变形。
5．通常将产生轴向拉伸变形的杆件称为拉杆，将产生轴向压缩变形的杆件称为压杆。
6．内力是杆件内部产生阻止变形的抗力，外力是作用于杆件上的载荷和约束力。
7．应力分为正应力和切应力。
8．材料的力学性能指标有强度、塑性、硬度、韧性和疲劳强度等。
9．从退火低碳钢的力（F）-伸长（l ）曲线图可以看出，拉伸试样从开始拉伸到断裂要经过弹性变形阶段、屈服阶段、变形强化阶段、缩颈与断裂四个阶段。
10．强度是材料在力的作用下，抵抗永久变形和断裂的能力。
11．材料在静拉伸试验中的强度指标主要有: 屈服强度、规定总延伸强度、抗拉强度等。
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
简述梁在产生纯弯曲时的应力分布规律。
文章标题：梁在产生纯弯曲时的应力分布规律探究概述在工程力学中，梁的弯曲是一种常见的受力情况。
当梁在受到外力作用时，会产生弯曲变形和应力分布。
了解梁在产生纯弯曲时的应力分布规律对于工程设计和结构分析具有重要意义。
本文将从简述梁受力情况和产生纯弯曲的条件入手，深入探讨梁在产生纯弯曲时的应力分布规律，以期为读者提供深度和广度兼具的知识。
梁受力情况简述在分析梁在产生纯弯曲时的应力分布规律之前，首先需要了解梁的受力情况。
梁在受到外力作用时，受到的主要受力包括弯矩、剪力和轴力。
其中，弯矩是引起梁产生弯曲的主要力，而剪力和轴力则会对梁的应力分布产生一定影响。
产生纯弯曲的条件当梁在受力时，如果剪力和轴力的影响可以忽略不计，那么梁将会产生纯弯曲。
产生纯弯曲的条件为：在梁的受力截面上任意一点处的应力向量组成一个平面，并且通过该点的法线方向上的应力为零。
在这种情况下，梁可以看作是在一个平面内受到作用的，并且弯矩引起的应力是最主要的。
梁在产生纯弯曲时的应力分布规律在梁产生纯弯曲时，其应力分布规律是可以进行理论分析和数值计算的。
根据梁的受力情况和产生纯弯曲的条件，可以得出以下应力分布规律：1. 弯矩引起的应力呈线性分布。
根据梁的横截面形状和材料性质，可以通过弯矩的大小和位置来确定不同点处的应力大小和方向。
一般情况下，梁上表面产生的应力为最大应力，而在横截面中性轴处应力为零。
2. 横向剪切应力的存在。
即使在产生纯弯曲的情况下，由于梁的形变会引起横向剪切，因此在横截面上还会存在一定的横向剪切应力。
这种应力的分布规律与弯矩引起的应力不同，需要通过横截面形状和材料性质来进行具体分析。
3. 应变能量的积累和释放。
在梁产生纯弯曲时，由于材料的弹性变形，会导致应变能量的积累。
当弯曲达到一定程度时，这些应变能量将会被释放，可能导致梁的破坏。
在工程设计中需要合理考虑应变能量的积累和释放规律，以保证梁的安全性。
总结与回顾通过对梁在产生纯弯曲时的应力分布规律进行深入探讨，我们可以得出以下结论：梁在产生纯弯曲时，其应力分布规律受到弯矩和剪切应力的共同影响，其规律是可以通过理论分析和数值计算来确定的。
梁平面弯曲时横截面上的正应力,材料力学
Iz M
1 / 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / 越小 EI 梁的抗弯刚度
3、纯弯曲时正应力公式的推导
( y) E
y
M 该点的弯矩 Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩
4、纯弯曲时正应力分布关系 对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当 横截面的弯矩为正时，则 ( y )沿截面高度 的分布规律:
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁但公式中的M应为所研 究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。
1、梁横力弯曲时横截面上的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大 的横截面上，其大小应为:
2.9 107 mm 4
y2 200 53.2 146.8 mm
4、应力计算 考察C截面，弯矩为正
C截面下边受拉上边受压
M C y1 12 106 53.2 22MPa 7 Iz 2.9 10
C
M C y2 12 106 146.8 60.74MPa 7 Iz 2.9 10
⑴
截面关于中性轴对称
z
t max
c max
M Wz
t
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
max
z
t
My max Iz
max
c
My max Iz
c
几种常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
机械基础 第四章 梁的弯曲
三、等强度梁
工程中为了减轻自重和节省材料，常常根据弯矩 沿梁轴线的变化情况，将梁制成变截面的形状，使所
有横截面上的最大正应力都大致等于许用应力[σ] 。
摇臂钻床的横臂
飞机机翼
汽车的板弹簧
阶梯轴
桥梁和厂房中的“鱼腹梁”
F
A
x1
c
B
FA
x2
2l
l
FB
Q图
F
3
M图
2F
3 2 Fl 3
例 作梁的剪力图和弯矩图
解：①求支座反力
FA
FB
m 3l
②分段列剪力方程和弯矩方程
m
Q( x1 )
FA
3l
0, l
m
M ( x1) 3l x1 0, l
Q( x1 )
m 3l
l, 3l
M
(x2 )
m 3l
(3l
x2 )
)
FA x2
F
( x2
2l )
2Fl
2 3
F x2
2l,3l
③画剪力图和弯矩图
上题中列CB段Q、M方程也可取右段为研究对象
Q(x2 )
FB
2 3
F
M ( x2 ) FB (3l x2 )
2Fl
2 3
Fx2
注意：
(2l,3l )
[2l,3l ]
集中外力作用处剪力 图有突变，幅度等于力大 小；类似地，集中力偶作 用处弯矩图有突变，幅度 等于力偶矩大小。
梁纯弯曲变形的本质：各截面都产生了绕中性轴的转动。
一、弯曲正应力及分布规律 4.梁纯弯曲时横截面上正应力分布规律
横截面上各点的正应力分布规律
二、梁弯曲时正应力强度条件及其应用
梁弯曲时的正应力
梁弯曲时的正应力§7-1 梁弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力如图7-2a 所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图加图7-2b 、c 所示。
在梁的AC 和DB 段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为剪力弯曲或横力弯曲。
在CD 段中，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
b )c )a )图7-2为了使问题简单，现以矩形截面梁为例，推导梁在纯弯曲时横截面上的正应力。
其方法和推导圆轴在扭转时的剪应力公式的方法相同，从几何变形、物理关系和静力学关系等三方面考虑。
1、几何变形为观察梁纯弯曲时的表面变形情况，在矩形截面梁的表面画上一些纵向直线和横向直线，形成许多小矩形，然后在梁两端对称位置上加集中荷载P ，梁受力后产生对称变形，在两个集中荷载之间的区段产生纯弯曲变形，如图7-3所示。
从实验中观察到如下现象：m n nma )b )d )ij i j图7-31）所有纵向直线均变为曲线，靠近顶面（凹边）的纵向线缩短，靠近底面（凸边）的纵向线伸长，如图7-3b 中的i ′—i ′和j ′—j ′。
2）所有横向直线仍为直线，只是各横向线之间作了相对转动，但仍与变形后的纵向线正交, 如图7-3b 中的m ′—m ′。
3）变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长区减小，在纵向线缩短区增大，如图7-3b 右所示。
根据以上观察到的现象，并将表面横向直线看作梁的横截面，可作如下假设：1）平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕某轴旋转了一个角度，但仍垂直于梁变形后的轴线。
2）单向受力假设：认为梁由无数微纵向纤维组成。
各纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩，各纵向纤维无挤压现象。
根据平面假设，梁变形后的横截面转动，使得梁的凸边纤维伸长，凹边纤维缩短。
由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层，如图7-3d 所示。
梁弯曲时横截面上的正应力
梁弯曲时横截面上的正应力在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。
1、纯弯曲与横力弯曲从火车轴的力学模型为图2-53a 所示的外伸梁。
画其剪力、弯矩图（见图2-53b、c）,在其 AC 、BD 段内各横截面上有弯矩M 和剪力 F Q同时存在，故梁在这些段内发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。
在其 CD 段内各段截面，只有弯矩M 而无剪力 F Q，梁的这种弯曲称为纯弯曲。
2、梁纯弯曲时横截面上的正应力如图 2-54a 所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m 和 n—n，再画两条纵向线 a— a 和 b—b，然后在其两端外力偶矩 M ，梁将发生平面纯弯曲变形（见图 2-54b)。
此时可以观察到如下变形现象：⑴横向线 m—m 和 n—n 任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。
⑵纵向线 a— a 和 b—b 弯成了曲线，且 a— a 线缩短，而 b—b 线伸长。
由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。
可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。
从图 2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。
由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点：⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。
⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。
根据胡克定律，它们的正应力也必相等。
⑶在图 2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。
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4.横截面上哪里的正应力最大？
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
三、新课
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
1
什么是梁的纯弯曲？
2
3
纯弯曲的变形特点 横截面上的正应力分布规律
三、新课
（一）什么是梁的纯弯曲？
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
横截面上弯矩为常数
无剪力
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
三、新课
（二）梁纯弯曲的变形特点？
动画：
三、新课
2 b d
（二）梁纯弯曲的变形特点 2 a c 1 1 b d 2
五、思考提高
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
（一）本课开始时提出的问题，折断筷子时为何从边缘开始断裂？
（二）试分析扁担弯曲时的变形特点与横截面正应力分布情况。
提示：
1.力偶的作用方向？绘制出弯曲简图。 2.哪一侧为凹侧，该侧纤维收缩还是伸长？受压应力还是拉应力？ 3.横截面还是不是平面？是否与轴线垂直？
双杠：简支梁
起重机械：外伸梁
雨棚：悬臂梁
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
一、复习
（一）梁平面弯曲的概念与特点
平面弯曲： 1.外力和力偶作用于梁的纵向对称平面内； 2.外力垂直于梁的轴线； 3.轴线在纵向对称面内由直线变为曲线。
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
二、导入
（一）问题：
当抓住筷子两端折断筷子时，筷子从哪里开始断裂？为什么？
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
中性轴：横截面与中性层的交线
三、新课
（三）梁纯弯曲横截面的正应力分布规律
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
横截面各点正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。 中性轴处纤维长度不变，正应力为0。纤维缩短区受压 应力，纤维伸长区受拉应力。
离中性轴最远处正应力最大。
与中性轴距离相同的各纵向纤维正应力也相同。
1
a c
1
2
1.横向线1-1、2-2（蓝色）在弯曲后仍为直线，仍然与轴线垂直，但是 转过了一定角度，不再平行。
请思考：横截面的变化？
横截面仍然为平面并垂直于梁轴线，但是绕某轴转过了一定角度。
三、新课
（二）梁纯弯曲的变形特点？规律
2 中性层 a c 1 1
1 a c
b d 2
2.纵向线a-b、c-d（黑色）弯曲成弧线，靠近凹边的ab线缩短了，靠近 凸边的cd线伸长了。中间有根线长度不变。
请思考：纵向层的变化？
各纵向层由平面弯曲成曲面，靠近凹边的纵向层缩短，靠近凸边的纵向 层伸长。缩短区和伸长区的分层既不伸长也不缩短，称为中性层。
三、新课
（二）梁纯弯曲的变形特点？
《机械基础》课程
2-7 直梁折弯（2）
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
授课教师：高巍
江苏省无锡立信中等专业学校
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
一、复习
（一）梁平面弯曲的概念与特点
梁： 发生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
一、复习
（一）梁平面弯曲的概念与特点
梁： 发生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件
中 性 轴
四、小结 （一）纯弯曲的特点是什么？ 横截面上弯矩为常数、无剪力
纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
（二）纯弯曲的变形特点是什么？ 横截面仍然为平面并垂直于梁轴线，但是绕中性轴转过了 一定角度。
各纵向纤维层由平面弯曲成曲面，靠近凹边的纤维层缩短 （受压应力），靠近凸边的纤维层伸长（受拉应力），且 呈连续变化。 （三）纯弯曲横截面正应力分布规律是什么？ 横截面各点正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。