2021年高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲平行关系知能训练轻松闯关文北师大版

2021年高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲平行关系知能训练轻松闯

关文北师大版

1．(xx·河北省衡水中学调研)已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.因为直线l不在平面α内，且直线l上有两个点到平面α的距离相等，所以直线l∥α或l与α相交．当l与α平行时，此时存在两点到平面α的距离相等．所以“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．

2．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，所有的点C( )

A．不共面

B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面

C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面

D．不论A，B如何移动都共面

解析：选D.根据平面平行的性质，不论A，B如何运动，动点C均在与α，β都平行的平面上．

3．(xx·惠州模拟)已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是( )

A．lα，mα，且l∥β，m∥β

B．lα，mβ，且l∥m

C．l⊥α，m⊥β，且l∥m

D．l∥α，m∥β，且l∥m

解析：选C.借助正方体模型进行判断．易排除选项A，B，D，故选C.

4．(xx·东莞模拟)已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：

①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；

②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；

③若m，n为异面直线，nα，n∥β，mβ，m∥α，则α∥β.

其中正确命题的个数是( )

A．3个B．2个

C．1个D．0个

解析：选B.①若n⊥α，n⊥β，则n为平面α与β的公垂线，则α∥β，故①正确；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，三点可能在平面β的异侧，此时α与β相交，故②错误；③若n，m为异面直线，nα，n∥β，mβ，m∥α，根据面面平行的判定定理，可得③正确．故选B.

5．(xx·长沙模拟)用a，b， c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b.

其中真命题的序号是( )

A．①②B．③

C ．①③

D ．②

解析：选D.若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 或a 与c 相交或a 与c 异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，所以③是假命题，故选D.

6.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB

＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )

A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形

B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形

C ．HG ∥平面AB

D ，且四边形EFGH 是菱形

D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形

解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 綊15BD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 綊12

BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形． 7.如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND

，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是__________．

解析：在平面ABD 中，AM MB ＝AN ND

， 所以MN ∥BD .

又M N ⃘平面BCD ，BD 平面BCD ，

所以MN ∥平面BCD .

答案：平行

8．棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．

解析：由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线，所以截面是梯形

CD 1MN ，易求其面积为92

. 答案：92

9．设α，β，γ是三个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a γ.如果命题“α∩β＝a ，b γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．

解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③.

答案：①或③

10．(xx·周口一模)已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于A ，B ，交β于C ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为________． 解析：若P 在α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB ∥CD ，则PA PC ＝

PA PA ＋AC ＝AB CD ，可求得CD ＝20；若P 在α，β之间，则AB CD ＝

PA PC ＝PA AC －PA

可求得CD ＝4. 答案：20或4

11.

如图，斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．

(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC

的值． 解：(1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，

此时

A 1D 1D 1C 1

＝1. 连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.

由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．

在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，

所以OD 1∥BC 1.

又因为OD 1平面AB 1D 1，BC 1⃘平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1.

所以A 1D 1D 1C 1

＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，

且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，

平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O .

因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1.

所以A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1＝DC AD

. 又因为A 1O OB

＝1， 所以DC AD ＝1，即AD DC ＝1.

1.如图所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a

3

，过B 1、D 1、P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________．

解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P

∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥PQ .

又因为B 1D 1∥BD ，

所以BD ∥PQ ，

设PQ ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ，

所以△APM ∽△DPQ . 所以PQ PM ＝PD

AP

＝2，即PQ ＝2PM .

又知△APM ∽△ADB ，